§ 2. Структура і види теорем
План
Структура теореми.
Види теорем.
Найпростіші схеми правильних міркувань.
1. Структура теореми
Теорема – це твердження, істинність якого доводять. Теорема містить умову і висновок.
А
В
А – умова, В – висновок.
Можна сказати, що теорема – це висловлення про те, що з властивості А слідує властивість В. Істинність цього висловлення встановлюється шляхом доведення.
Не
кожна ознака А, необхідна для В, є і
достатньою, так само як і не кожна
достатня ознака є необхідною. Наприклад,
щоб число ділилось на 3, достатньо, щоб
воно ділилось на 9, але це не є необхідною
умовою, наприклад 6
3,
але 6 не
9 (знак «
»
– знак подільності). Щоб число ділилось
на 6, необхідно, щоб воно ділилось на 2,
але цього не достатньо, необхідно також
щоб воно ділилось і на 3. Отже, щоб число
ділилось на 6, необхідно і достатньо,
щоб воно ділилось і на 2, і на 3. За допомогою
складеного висловлення символічно це
можна записати так:
а
6
(а
2)
(а
3).
Інакше а ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли а 2 і а 3.
Якщо і умова теореми, і її висновок є простими висловленнями, то теорема називається простою.
Якщо умова або висновок теореми, або і те, і друге – складені висловлення, то теорему називають складеною. Попередня теорема, що виражає ознаку подільності на 6, є складеною. Її можна записати у вигляді А В С. Тут умова є кон’юнкцією двох висловлень А і В, а висновок – висловлення С.
Приклад аналогічної структури теореми: «Якщо дві прямі площини перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою»
або
(а
с)
( в
с)
а
║в.
Приклад теореми, в якій і умова, і висновок є кон’юнкціями: «В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні». Інакше: «Якщо чотирикутник – паралелограм (тобто протилежні сторони попарно паралельні), то його протилежні сторони попарно рівні».
Тобто (а║с) (b║d) ( a = c) (b = d)
До сталих компонентів структури теореми належать такі:
1 2 3
Роз’яснювальна
(вихідна) частина
Умова
Висновок
5 4
Набір
логіко-математичних операцій над
об’єктами 1, 2, 3
Квантори
загальності та існування -
Логічні операції
6
Структурна сталість компонентів 1, 2, 3 зумовлена тим, що питання про істинність теореми всіма розв’язується однозначно, набір же логічних операцій (4), послідовності їх використання можуть бути різними. Тут великі можливості для творчої розумової діяльності, для формування інтелектуальних умінь в процесі доведення теорем.