Лекция 10.
Глава 4. Матрицы.
В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений.
§4.1. Основные понятия.
4.1.1. Определение.
Матрицей
размеров
называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая
строк и
столбцов. Числа
и
называются размерами
матрицы. Введем обозначение матрицы
Числа
,
называются элементами матрицы.
Таким образом, элемент
расположен на пересечении строки
и столбца
.
4.1.2. Определение. Две
матрицы
и
одинаковых размеров
называются равными,
если все их соответствующие элементы
равны между собой, т.е.
4.1.3. Определение. Матрица,
все элементы которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается
:
,
4.1.4. Определение.
Матрица называется квадратной,
если количество ее строк равно количеству
столбцов, т.е.
.
4.1.5. Определение. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол.
4.1.6. Определение. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний угол.
4.1.7. Определение. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все ее элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.
4.1.8. Определение. Квадратная матрица называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.
4.1.9. Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, отличные от нуля, расположены на главной диагонали.
4.1.10. Определение. Диагональная матрица называется скалярной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны между собой.
4.1.11.
Определение.
Диагональная матрица называется
единичной,
если все ее элементы, расположенные на
главной диагонали, равны единице.
Единичная матрица обозначается
.
Таким образом,
4.1.12. Определение. Матрица называется ступенчатой, если для любой ее строки под первым слева ненулевым элементом и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
Примеры:
или
.
4.1.13.
Определение.
Операция над матрицей
размеров
,
в результате которой ее строки и столбцы
меняются местами с сохранением порядка
следования, называется операцией
транспонирования.
Матрица размеров
,
полученная в результате транспонирования
матрицы
,
называется транспонированной
по отношению к ней и обозначается
.
При этом
Замечание.
Легко показать, что в результате
повторного транспонирования мы получим
исходную матрицу, т.е.
.
§4.2. Линейные операции над матрицами
4.2.1. Определение.
Суммой
матриц
и
одинаковых размеров
называется матрица
тех же размеров, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц
и
:
,
Замечание. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров. Если размеры двух матриц не совпадают, то операция их сложения не определена.
4.2.2. Теорема. (Свойства операции сложения матриц)
Для произвольных матриц , , одинаковых размеров справедливы следующие свойства:
1.
2.
3.
;
4.
.
Доказательство этих очевидных свойств непосредственно вытекает из определения операции сложения матриц.
4.2.3. Определение.
Разностью
матриц
и
одинаковых размеров
называется матрица
тех же размеров, такая, что
.
4.2.4. Определение.
Произведением
матрицы
размеров
на число
называется
матрица
тех же размеров, каждый элемент которой
равен произведению соответствующего
элемента матрицы
на число
:
,
4.2.5. Теорема. (Свойства операции умножения матрицы на число)
Для произвольных матриц
и
одинаковых размеров
и любых действительных чисел
справедливы следующие свойства:
1.
2.
3.
4.
Доказательство очевидным образом вытекает из определений 4.2.1 и 4.2.4.
Замечание.
Из приведенных
свойств ясно, что множество
матриц размеров
образует линейное пространство
относительно введенных операций сложения
матриц и их умножения на числа. В качестве
базиса можно, например, взять
,
… ,
.
Очевидно, любая матрица
размеров
может быть представлена в виде линейной
комбинации приведенных базисных матриц
Таким образом, размерность этого
линейного пространства
