I. Линейная алгебра.
Задача 1. Даны матрицы А и В:
,
1. Найти матрицу А-1, обратную для матрицы А:
а) с помощью элементарных преобразований
б) с помощью алгебраических дополнений
2. Решить матричное уравнение АХ=В
РЕШЕНИЕ:
1. а)
Проверка:
Обратная матрица была найдена верно.
б)
2.
Ответ:
Задача 2. Найти значение многочлена f(x)=2x2–x+1 от матрицы А.
РЕШЕНИЕ:
1)
2)
3)
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение над полем комплексных чисел
x2 - (4-6i)x + (10-20i) = 0
РЕШЕНИЕ:
1)
2) , где k=0; 1.
3) Пусть , где . Тогда
Таким образом, при k=0 . Тогда
Если k=1, то и
Ответ: ,
Задача 4. Решить систему уравнений над полем комплексных чисел:
2x + (1+i)y = 1-i,
ix - 3y = 2i.
РЕШЕНИЕ:
Ответ: (1, i)
Задача 5. Найти все значения корней и изобразить их на плоскости.
РЕШЕНИЕ:
Тогда , где k=0, 1, 2, 3, 4.
Если k=0, то
Если k=1, то
Если k=2, то
Если k=3, то
Если k=4, то
Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и решить ее. Найти общее и два любых частных решений.
-
x 1
+
x2
+
x3
+
x4
+
x5
=
5,
2x1
+
3x2
+
x3
+
x4
–
3x5
=
4,
x1
+
2x3
+
2x4
+
6x5
=
11,
x1
+
2x2
–
4x5
=
-1
Решение:
1) Найдем ранг матрицы системы:
Rg(A)=2.
2) Найдем ранг расширенной матрицы:
Rg( )=2.
3) Rg(A) = Rg( ), значит, система совместна, и в ней лишь два уравнения являются линейно независимыми. Запишем укороченную систему:
-
x 1
+
x2
+
x3
+
x4
+
x5
=
5
x1
+
2x3
+
2x4
+
6x5
=
11
Пусть x1 и x2 – базисные переменные, а x3 = с1, x4 = с2, и x5 = с3 – свободные. Тогда
-
x1
+
x2
=
5
–
с1
–
с2
–
с3,
x2
=
11
–
2с1
–
2с2
–
6с3.
Имеем общее решение:
Пусть с1=0, с2=0, с3=0, то
Пусть с1=1, с2=1, с3=1, то
Ответ: , ,
Задача 7. Найти общее и какую-либо фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.
x 1 |
+ |
x2 |
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ |
x5 |
= |
0, |
-3x1 |
+ |
2x2 |
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ |
3x5 |
= |
0, |
6x1 |
+ |
x2 |
+ |
2x3 |
+ |
2x4 |
+ |
|
= |
0, |
-x1 |
+ |
4x2 |
+ |
3x3 |
+ |
3x4 |
+ |
5x5 |
= |
0. |
Решение:
Найдем ранг матрицы системы:
Ранг матрицы равен трем, следовательно, три из четырех уравнений системы являются линейно независимыми. Запишем укороченную систему:
-3x1 |
+ |
2x2 |
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ |
3x5 |
= |
0, |
6x1 |
+ |
x2 |
+ |
2x3 |
+ |
2x4 |
+ |
|
= |
0, |
-x1 |
+ |
4x2 |
+ |
3x3 |
+ |
3x4 |
+ |
5x5 |
= |
0. |
Пусть x1, x2 и x3 – базисные переменные, тогда x4 = с1, и x5 = с2 – свободные. Имеем:
- 3x1 |
+ |
2x2 |
+ |
x3 |
= |
с1 |
- |
3с2 |
6x1 |
+ |
x2 |
+ |
2x3 |
= |
–2с1 |
|
|
-x1 |
+ |
4x2 |
+ |
3x3 |
= |
–3с1 |
– |
5с2 |
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса:
Имеем:
Итак, общее решение:
или
, где и .
Ответ: ,