Тема 5 неінерціальні системи відліку
5.1 Основні поняття і співвідношення
Другий закон Ньютона в неінерціальних системах відліку має вигляд:
,
де - сума всіх сил, що діють на дане тіло з боку інших тіл, - сила інерції, - прискорення тіла в неінерціальній системі відліку.
В системах відліку, що рухаються поступально , де - прискорення, з яким рухається неінерціальна система відліку.
В системах відліку, що обертаються діють :
Відцентрова сила інерції: , та сила Коріоліса .
5.2. Методичні вказівки до розв’язування задач
В задачах, в яких розглядаються фізичні процеси, що відбуваються всередині тіла, що рухається прискорено (вагоні, ліфті і таке інше), розв’язок, який ґрунтується на застосуванні другого закону Ньютона, спрощується, якщо розглядати явище в неінерційній системі відліку, зв’язаної з тілом, що рухається прискорено. Відповідно двом рухам тіла – поступальному і обертальному – застосовують неінерціальні системи відліку, що рухаються поступально і обертально. В неінерціальних системах відліку, що рухаються поступально, другий закон Ньютона виражається рівнянням (1) , де - сума всіх сил, що діють на дане тіло з боку інших тіл, - сила інерції, - прискорення тіла в неінерціальній системі відліку. Це ж рівняння можна застосовувати і в системах відліку, що обертаються при умові, що матеріальна точка (частинка) в цій системі знаходиться в стані спокою. Тоді у виразі (1) , - доцентрове прискорення тієї точки системи відліку, що обертається, в якій знаходиться дана частинка. Величину називають відцентровою силою інерції.
Сила інерції, що входить у рівняння (1) існує тільки в неінерціальній системі відліку і для неї не можна вказати тих конкретних тіл, з боку яких вона діє.
5.3 Приклади розв’язування задач.
Неінерціальні системи координат, що рухаються прямолінійно
Розв’язок: Застосовуються рівняння руху.
Неінерціальна система координат, що рухається зі сталою кутовою швидкістю.
Розв’язок: Застосовуються рівняння руху.
Перший тип задач.
|
Рис. 5.1 |
Розв’язок. Виберемо систему відліку, пов’язану з похилою площиною. Поки площина перебуває в стані спокою, на тіло діють три сили: сила тяжіння , сила нормального тиску опори і сила тертя спокою , які зрівноважують одна одну. Як тільки починається прискорений рух площини і «прив’язана» до неї система відліку стане неінерціальною, з’явиться четверта сила, що діє не тіло, - сила інерції . Рівновага порушиться і тіло почне ковзати вниз по похилій площині з прискоренням . Оскільки шуканий час визначається відомою формулою шляху рівноприскореного руху без початкової швидкості:
, (1)
то необхідно знайти прискорення . Для цього запишемо другий закон Ньютона в неінерціальній системі відліку:
. (2)
Виберемо осі проекцій, як показано на рисунку. Проектуючи всі вектори, що входять в рівняння (2), на осі і , одержимо відповідно два скалярних рівняння:
(3)
(4)
Розв’язавши системі (3),(4) з урахуванням , знайдемо прискорення.
Тепер за формулою (1) маємо:
.
Підставивши числові значення величин, знайдемо:
Приклад 5.2. Посудина з рідиною обертається навколо вертикальної осі зі сталою кутовою швидкістю . Визначити форму поверхні рідини.
Розв’язок. Кожна точка посудини з рідиною, що обертається має прискорення, що напрямлене до осі обертання, яке рівне , де - відстань точки від осі обертання. Розглянемо явище в неінерціальній системі відліку, прив’язаної до посудини, що обертається. В ній рідина буде нерухомою. Розв’яжемо задачу двома способами, що відповідають двом методам пояснення поведінки тіла в неінерціальній системі відліку:
|
Рис. 5.2 а |
1) сила тяжіння ;
2) відцентрова сила інерції ; сила реакції сусідніх частинок рідини.
Рівнодійна зовнішніх сил, що діють на частинку рідини в стані спокою, повинна бути напрямлена по нормалі до поверхні рідини в даній точці (тут зовнішніми є сили і , а сила - їх рівнодійна). Інакше існувала б напрямлена по дотичній складова сили , яка викликала б ковзання частинки по поверхні рідини.
Звідси можна знайти кут нахилу дотичної до лінії горизонту (осі ). Як видно з рисунка:
.
Враховуючи, що , отримаємо диференціальне рівняння кривої, обертання якої навколо осі утворює поверхню рідини:
,
Звідки
(1)
Очевидно, при заданому виборі осі стала =0
З формули (1) випливає, що крива – парабола. Отже, поверхня рідини є параболоїдом обертання.
|
Рис. 5.2 б |
Виберемо точку поверхні рідини, рис. 5.2 б, розташовану на відстані від осі обертання. Нехай вектори і утворюють в цій точці кут . Оскільки поверхня рідини в стані спокою завжди нормальна до напрямку сили тяжіння, то, як видно з рисунка, між дотичною і лінією горизонту (віссю ) також буде кут , при цьому
.
Подальший хід розв’язку співпадає з тим, що отримано в першому способі.
|
Рис. 5.3 |
Розв’язок. В неінерціальній системі координат до сил взаємодії і необхідно додати силу інерції - . Для рівнянь руху в цьому випадку маємо:
де - вага циліндра, - натяг двох ниток, - момент інерції циліндра відносно його осі, - кутове прискорення, - радіус циліндра. При ці рівняння дають:
.
|
Рис. 5.4 |
Розв’язок. В неінерціальній системі відліку до звичайних сил взаємодії (натяг нитки , сила тяжіння і ) необхідно додати силу інерції - .
Сума моментів сил відносно точки дає:
,
де - половина довжини стержня.
Для величини шуканого прискорення одержимо:
Рівняння моментів відносно центра мас стержня дає:
,
де - момент інерції стержня відносно точки центра мас, - кутове прискорення обертання стержня. Оскільки =0, то при , одержимо, що =0.
Для визначення прискорення можна скористатися рівняннями:
,
де - маса стержня, - прискорення вільного падіння. Ці рівняння дають:
.
|
Рис. 5.5 |
Розв’язок. В неінерціальній системі координат крім сили тяжіння і натягу нитки необхідно врахувати силу інерції - . Сума моментів всіх трьох сил відносно точки дорівнює нулю. Для рівняння обертового руху маятника це дає:
,
де - момент інерції маятника, - кут відхилення маятника, - його кутове прискорення. З цього рівняння випливає, що =0. Маятник буде обертатися зі сталою кутовою швидкістю:
.
В інерціальній системі для координат маятника
Для рівнянь руху
Для компонентів прискорення отримаємо:
Вважаючи, що , , , з рівнянь руху отримаємо:
Ці два рівняння сумісні, якщо:
і .
Перше рівняння дає величину сили , прикладеної до кульки. Друге призводить до сталої кутової швидкості обертання маятника:
.
Другий тип задач.
Приклад 5.6. Вигнутий стержень ОА, рис. 5.6, може обертатися навколо вертикальної осі . На стержні є кільце С, яке може вільно, без тертя переміщуватися по стержню. Визначити рівняння (форму) стержня, при якому кільце при будь-якій кутовій швидкості обертання стержня не буде по ньому переміщатися.
|
Рис. 5.6 |
Щоб кільце перебувало в стані спокою при будь-якій кутовій швидкості обертання стержня, необхідно, щоб сума всіх сил вздовж напрямку можливого переміщення була рівна нулю, тобто:
,
де - прискорення сили тяжіння, - кут між дотичною до лінії стержня в точці, де знаходиться кільце, і віссю . З цього рівняння отримуємо:
.
Інтегрування дає рівняння параболи:
.
2. В інерціальній системі координат доцентровою силою буде векторна сума сил тяжіння і реакція опори кільця. Маємо:
.
Інтегрування дає, як і в попередньому випадку, рівняння параболи:
|
Рис. 5.7 |
Розв’язок. В неінерціальній системі координат, що обертається разом зі стержнем, до кожного елементу довжини стержня буде прикладена елементарна відцентрова сила інерції
,
де - площа поперечного перерізу стержня, - його густина, - відстань елемента стержня від осі обертання.
Момент цієї сили відносно точки О буде:
,
де - відстань елемента маси від осі обертання.
Сума моментів цих сил буде:
.
В розглядуваній системі координат стержень знаходиться в стані спокою – момент сили інерції повинен дорівнювати моменту сили тяжіння . Рівність моментів сил дає:
.
Це рівняння для шуканої величини кута дає два розв’язки:
,
Розв’язок не відповідає реальним умовам задачі (нестійкий рух).
В інерціальній системі відліку обертання стержня можна розглядати як рух конічного фізичного маятника. Його рух в цьому випадку можна звести до руху також конічного, але математичного маятника. Періоди коливань математичного маятника і стержня повинні дорівнювати:
де - довжина математичного маятника, - момент інерції стержня відносно точки О.
Для величини (відстань від точки прикладання сумарної доцентрової сили, що діє на стержень, до точки О) одержимо:
.
Для радіуса обертання цієї точки маємо:
.
Рівняння руху стержня буде:
.
або, як і раніше:
.
Приклад 5.8. Обертання Землі навколо своєї осі викликає відхилення поверхні води в ріці від її горизонтального положення. Визначити, біля якого берега і на яку величину рівень води буде вищий. Ріка тече в північній півкулі з півночі на південь. Ширина річки , швидкість течії , широта місцевості , кутова швидкість обертання Землі . Відцентровою силою інерції знехтувати.
Розв’язок. 1. В неінерціальній системі відліку, пов’язаною із Землею, крім сили тяжіння необхідно врахувати силу інерції Коріоліса:
Рівняння руху для частинки води буде:
,
|
Рис. 5.8 |
.
Рівень води буде вищим біля правого берега річки на величину, яка визначається з останнього рівняння.
Маємо:
.
2. В інерціальній системі відліку рух частинок води слід розглядати як складний, що складається одночасно з відносного і переносного рухів. Першим є рух по меридіану зі швидкістю . Переносний рух зумовлений обертанням Землі з кутовою швидкістю . Різниця рівнів води пояснюється впливом правого берега ріки.
Для рівняння руху в цьому випадку маємо
де - прискорення відносного руху, - прискорення Коріоліса.
|
Рис. 5.9 |
Розв’язок. 1. В неінерціальній системі координат кім звичай них сил взаємодії, а саме сили тяжіння поїзда і реакції зв’язку , необхідно враховувати відцентрову силу інерції і силу інерції Коріоліса . Для рівняння руху маємо:
,
де - радіус Землі.
Для шуканої величини одержимо:
2. В інерціальній системі відліку рух слід розглядати як складний з відносною швидкістю і переносною . Повне прискорення в цьому випадку буде:
Для рівняння руху в цьому випадку маємо
З цього рівняння, як і в попередньому випадку, одержимо: