4.4. Диференційне рівняння нерозривності

Виокремимо в просторі деякий нерухомий елементарний об’єм у формі паралелепіпеда зі сторонами dx, dy, dz та дослідимо умови протікання рідини скрізь його бічні грані. Будемо вважати, що через вертикальну грань abcd рідина втікає в паралелепіпед, а через грань a’b’c’d’ витікає з нього. Приймаємо, що рідина є нестисливою, однорідною та суцільною, а її швидкість змінюється безперервно при переході від однієї точки простору до іншої.

Припустимо, що швидкість в точці е на грані abcd дорівнює v. ЇЇ проекцію на вісь х позначимо v_х. В точці е’ на грані a’b’c’d’ проекція швидкості дорівнює: .

Маса рідини, що втікає в паралелепіпед через грань abcd в одиницю часу (масова витрата), може бути визначена як: .

Маса рідини, що витікає з паралелепіпеду через грань a’b’c’d’:

.

Зміна маси рідини в паралелепіпеді в одиницю часу в напрямку осі х, складає:

Аналогічні вирази можна отримати для зміни маси рідини по осям y та z:

Повна зміна маси рідини в об’ємі паралелепіпеда за одиницю часу дорівнює:

Але, маючи на увазі прийняту умову про нестисливість та суцільність рідини, слід вважати, що маса рідини всередині паралелепіпеда повинна залишатися незмінною. Повна зміна маси рідини в паралелепіпеді повинна дорівнювати нулю:

=0

Після скорочень отримуємо:

Це і є диференційне рівняння нерозривності і являє собою математичний вираз закону збереження маси.

5. Рівняння д. Бернуллі

5.1. Рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини

Розглянемо усталену течію, що знаходиться під дією лише однієї масової сили – сили тяжіння та виведемо для цього випадку рівняння, що пов’язує поміж собою тиск в рідині та швидкість її руху.

Візьмемо одну із елементарних струминок, що складають потік, та виділемо перетинами 1 та 2 частину цієї струминки довільної довжини (рис. 17). Нехай площа першого перерізу дорівнює dS₁, швидкість в перетині v₁, тиск р₁, а висота розташування центра тяжіння перетину від довільної горизонтальної площини порівняння, z₁. Для другого перерізу відповідні величини дорівнюють: dS₂, v₂, p₂, z₂.

За нескінченно малий відрізок часу dt виокремлений відрізок струминки переміститься в положення 1’-2’.

Застосуємо до маси рідини в об’ємі 1-2 теорему механіки про те, що робота сил, прикладених до тіла, дорівнює приросту кінетичної енергії цього тіла. Такими силами в даному випадку є сили тиску, що діють нормально до поверхні виокремлено частини струминки та сила тяжіння.

У перетині 11 робота сили тиску співпадає із напрямком переміщення, тому вона є додатною: p₁dS₁v₁dt.

Робота сили тиску в перетині 22 має знак “мінус”, тому що вона має зворотній напрямок по відношенню до напрямку руху: -p₂dS₂v₂dt.

Сили тиску, що діють на бічну поверхню відрізка струминки, роботи не виконують, тому що вони є нормальними до цієї поверхні, і як наслідок, нормальні до напрямку переміщення.

Робота сил тиску: p₁dS₁v₁dt- p₂dS₂v₂dt.

Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенційної енергії положення об’єму струминки. Тому з енергії положення рідини в об’ємі 1-2 треба відняти енергію положення рідини в об’ємі 1’-2’. При цьому енергія положення проміжного об’єму 1’-2 скоротиться і залишиться лише різність енергії елементів 1-1’, 2-2’.Якщо врахувати рівняння витрати, то неважко побачити, що об’єми і, як наслідок, сили тяжіння елементів 1-1’ та 2-2’ дорівнюють одне одному: dG=ρgv₁dS₁dt=ρgv₂dS₂dt.

Тоді робота сили тяжіння буде мати вираз як добуток різниці висот та сили тяжіння dG: (z­₁ – z₂)dG.

Для того, щоб підрахувати приріст кінетичної енергії розглядає мого об’єму струминки за час dt, необхідно з кінетичної енергії об’єму 1’-2’ відрахувати кінетичну енергію об’єму 1-2. При відрахуванні енергія проміжного об’єму 1’-2 скоротиться і залишиться лише різниця кінетичних енергій елементів 2-2’ та 1-1’, сили тяжіння яких дорівнює dG.

Таким чином, приріст кінетичної енергії дорівнює: (v₂² – v₁²)dG/(2g).

Склавши роботу сил тиску та роботу сил тяжіння та прирівнюючи цю суму приросту кінетичної енергії, отримаємо: p₁dS₁v₁dt- p₂dS₂v₂dt+(z­₁ – z₂)dG=(v₂² – v₁²)dG/(2g) (*).

Розділемо це рівняння на dG та після скорочень отримаємо:

Згрупуємо члени, що відносяться до першого перетину, в лівій частині рівняння, а члени, що відносяться до другого перетину, в правій:

,

де z - геометрична висота чи геометричний напір, p/(ρg) – п’єзометрична висота чи п’єзометричний напір, v²/(2g) – швидкісна висота чи швидкісний напір.

Отримане рівняння називається рівнянням Бернуллі для елементарної струминки ідеальної нестисливої рідини.

- повний напір.

Так як перетини взяті довільно, тому для будь якого іншого перетину цієї ж струминки повний напір буде мати тож саме значення:

(вздовж струминки). (**)

Для ідеальної рухомої рідини сума трьох напорів (висот): геометричного, п’єзометричного та швидкісного є величина стала вздовж струминки.

Це положення ілюструється графіком, де зображено зміну всіх трьох висот уздовж струминки.

Рівняння Бернуллі можна записати у двох формах. Розділемо рівняння (*) на масу dm відрізка, що дорівнює ρv₁dS₁dt=ρv₂dS₂dt та зробимо перетворення, подібні вищенаведеним. Тоді отримаємо:

Розглянемо енергетичний зміст цього рівняння. Домовимося називати питомою енергією рідини енергію, віднесену до одиниці маси.

Неважко показати, що члени цього рівняння є різними формами питомої механічної енергії рідини, а саме: gz – питома енергія положення, так як частинка рідини масою Δm , находячись на висоті z, має енергію положення, рівну Δmgz, а на одиницю маси припадає енергія Δmgz/Δm= gz, р/ρ – питома енергія тиску рухомої рідини, так як частинка рідини масою Δm при тиску р має здібність піднятися на висоту р/ρg та мати енергію положення Δmgр/( ρg) (після ділення на Δm отримуємо р/ρ), gz+ р/ρ – питома потенціальна енергія рідини, v²/2 – питома кінетична енергія рідини,

Нg= gz+ р/ρ+ v²/2- повна питома механічна енергія рухомої рідини.

Таким чином, енергетичний зміст рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини полягає в тому, що вздовж струминки повна питома енергія рідини залишається сталою.

Рівняння Бернуллі пишуть також у вигляді 3-ої форми. Поділемо всі члени рівняння (*) на об’єм dV=dG/(ρg), після перетворень отримаємо:

Тепер всі члени рівняння Бернуллі мають розмірність тиску (Па) та називаються так: ρgz – ваговий тиск, р – гідромеханічний тиск (чи просто тиск), ρυ²/2 – динамічний тиск.

Члени останнього рівняння являють собою різні види механічної енергії рідини, віднесені до одиниці об’єму, а члени рівняння (**) – ті ж самі види енергії, але віднесені до одиниці ваги.