Использование сфер в качестве вспомогательных поверхностей

При построении линии пересечения криволинейных поверхностей в качестве вспомогательных поверхностей часто используют сферы. Их применение в большой мере основывается на особенности пересечения соосных поверхностей вращения.

Соосными называют поверхности вращения, имеющие общую ось вращения. Соосные поверхности пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения.

Н а рис. 1.49 а показано наглядное изображение, а на рис. 1.49 б дан чертеж цилиндра с диаметром D₁ и конуса с вершиной S и с диаметром D₂ окружности основания. Поверхности имеют общую ось вращения, параллельную фронтальной плоскости проекций. Как было указано выше, такие поверхности пересекаются по окружности (в рассматриваемом примере по окружности m⁰). Но, т.к. ось вращения параллельна плоскости V, а плоскость окружности перпендикулярна к оси вращения, то плоскость окружности, по которой пересекаются цилиндр и конус, перпендикулярна к плоскости V. Поэтому окружность проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m' (рис. 1.49 б), ограниченного точками пересечения очерковых образующих заданных поверхностей.

Н а рис. 1.50 приведены примеры пересечения сферы 1 с некоторыми поверхностями вращения: цилиндром 2, конусом 3, тором 4 и сферой 5. Во всех случаях пересекающиеся поверхности являются соосными, поскольку за ось вращения сферы можно принять любую прямую, проходящую через ее центр. Следовательно, поверхности 2...5 пересекаются со сферой 1 по окружностям. Т.к. общие оси вращения сферы  с каждой из заданных поверхностей параллельны фронтальной плоскости проекций, то плоскости этих окружностей перпендикулярны к плоскости V, поэтому окружности проецируются на нее в виде отрезков прямых, перпендикулярных к проекциям осей вращения. Положения проекций окружностей определяются точками пересечения очерковых образующих каждой пары соосных поверхностей.

Использование вспомогательных сфер не ограничивается возможностью образования соосных поверхностей вращения и, как будет показано далее, целесообразно и в некоторых других случаях. Однако для того, чтобы в качестве вспомогательных поверхностей могли быть применены сферы, задаваемые поверхности должны отвечать следующим необходимым условиям.

1. Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.

2. Пересекающиеся поверхности могут быть представлены как множество окружностей.

В качестве вспомогательных могут быть использованы сферы с постоянным центром (концентрические сферы) и сферы с переменным центром (эксцентрические сферы).

Вспомогательные поверхности в виде сфер, имеющих общий центр, применяются для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

П усть необходимо построить проекцию линии пересечения прямого кругового конуса с вершиной S (рис. 1.51) и с диаметром основания D₁ и прямого кругового цилиндра с диаметром D₂. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке О и параллельны фронтальной плоскости проекций.

Наличие фронтальной плоскости симметрии пересекающихся поверхностей, определяемой осями конуса и цилиндра, позволяют заключить, что фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения должны совпадать.

Пересечем заданные поверхности сферой с радиусом R и с центром в точке О. Найдем линии, по которым вспомогательная поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. Введенная сфера, центр О которой располагается на оси конуса, образует с последним соосные поверхности вращения. Такие поверхности пересекаются по окружностям. А вследствие того, что ось конуса параллельна фронтальной плоскости проекций, фронтальные проекции этих окружностей – отрезки m'₁ и m'₂. Поскольку центр вспомогательной сферы располагается на оси цилиндра, то сфера с цилиндром также образует соосные поверхности вращения, и фронтальная проекция окружности, по которой они пересекаются – отрезок n'₁.

Окружности m⁰₁ и n⁰₁, принадлежащие одной и той же сфере, пересекаются в двух точках, фронтальные проекции 1' и 1'₁ которых совпадают. Пересечение окружностей m⁰₂ и n⁰₁ дает еще две точки, общие для цилиндра и конуса; фронтальные проекции этих точек – 2' и 2'₁.

Очерковые образующие конуса и цилиндра лежат в общей плоскости симметрии и потому пересекаются. Точка 3⁰ – наиболее высокая точка линии пересечения, а точка 4⁰ – самая низкая.

Вводя новые вспомогательные сферы с центром в точке О и повторяя описанные построения, можно найти проекции других точек, соединив которые плавной кривой, получить фронтальную проекцию линии пересечения конуса и цилиндра.

Размеры используемых сфер должны удовлетворять двум условиям: а) они должны пересекать заданные поверхности, и б) образующиеся при пересечении с заданными поверхностями окружности должны пересекаться между собой. Поэтому максимальный радиус вспомогательных сфер не должен превышать расстояния от центра сферы до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В рассматриваемой задаче – это расстояние от точки О до точки 3⁰. Минимальный радиус вспомогательной сферы выбирается из сравнения размеров двух сфер, каждая из которых вписана в одну из пересекающихся поверхностей. Из этих двух сфер выбирается сфера большего радиуса. Такой сферой в обсуждаемой задаче является сфера с радиусом R_min, вписанная в конус. Для определения ее радиуса необходимо выяснить точку касания главного меридиана сферы к очерковой образующей конуса, поэтому из точки o' на очерк опущен перпендикуляр, величина отрезка которого определила минимальный радиус вводимой сферы. Сфера с радиусом R_min касается конуса по окружности m⁰₃, а цилиндр пересекает по окружности n⁰₂. Пересечение их проекций m'₃ и n'₂ позволяет построить проекции точек 5' и 5'₁.

Для использования в качестве вспомогательных поверхностей сфер с переменным центром заданные поверхности должны отвечать одному из следующих условий.