16. Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения сау. Теоремы Ляпунова.

Пусть динамика линейной САУ описыв. ур-ем: [a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀]*Y(p)= [b_mp^m+b_m-1p^m-1 +…+ b₁p+ a₀]*X(p). Применим к системе внешнее воздействие Х(р) т.е выведем ее из равновесия, а затем снимем внешнее воздействие. Это соотв-ет правой части равное 0. [a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀]*Y(p)=0. Это ур-е будет описывать собств. движение системы. В общем случае выходная вел-на Y(p)≠0, тогда a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0 – это ур-е характеристическое ур-е. Через корни харак-го ур-я можно представить решения исходного диф. ур-я. Каждому корню будет соотв. составляющая. Рассмотрим влияние корней на переходные процессы в системе: 1) веществ. корень p_i. В решении будет составл. веществ. A_ie^pit. а) p_i>0 =>e_t→∞ ^pit→∞ расход. процесс, система не устойчива; б) p_i<0 =>e_t→∞ ^pit→0 сход. перех. процесс, система устойчива; в) p_i=0 =>Аe^pit=А_i – перех. процесса нет.

2) пара комплексно сопряженных корней p_1,2=α_i±jβ_i. Ему в решении будет соотв-ть составл.

вида:c₁e^p1t+c₁e^p2t= A_ie^αit*sin(β_it+φ_i),где e^(α+jβ)t, e^(α-jβ)t, c₁,c₂, A_i, φ_i-постоянная интегрирования. а) α_i>0, тогда e_t→∞ ^αit→∞. Имеем расход. переходный процесс, система будет неустойчива:

б) α_i<0, тогда e_t→∞ ^αit→0. Этому соотв. график:

в) α_i=0, p_1,2=±jβ_i, A_isin(β_it+φ_i), этому соотв. график:

г) α_i=0, β_i=0, c₁+c₁= A_i*sinφ_i=const. Имеем нейтрально устойчивую систему т.е

переходного процесса нет:

Вывод: для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы все корни харак-го ур-я имели отрицат. вещественную

часть т.е они распол. в левой плоскости. Реальные системы не линейны и мы их линеаризуем. Теоремы Ляпунова: 1) Если линеариз. система автомат. управл-я устойчива, то не какие из отображенных при линеаризации корней не могут сделать ее неустойчивой. 2) Если линеар. САУ неустойчива, то никакие из отброшенных корней при линеариз. не могут сделать ее устойчивой 3) Если линеариз. САУ находиться на границе устойчивости, то отброшен. при линеаризации корни могут сделать ее как устойчивой так и нет.

17. Алгебраические критерии устойчивости(Рауса, Гурвица и т.Д)

Def: К.У. – называются признаки по которым можно судить об устойчивости САУ без решения диф. ур-ий динамики системы и без нахождения корней. Все критерии делятся на 2 группы: а) Алгебраические, которые основаны на анализе коэф. харак-го ур-я.; б) частотная, которая основана на анализе частот. характ-к системы. Простейший алгебраический критерии Стодолы. Простейшим необходимым, но недостаточным крит. уст. яв-ся требование, чтобы все коэфф. характ-го ур-я имели одинаковый знак. Док-во: Пусть мы имеем устойчивую систему с хар. ур-ем a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0 (1) , для устойчивости системы все корни имеют отриц. Вещественную часть. p₁=-α₁, p₁=-α₂, p_3,4=α₃±jβ₃,…, p_n=-α_n, где α и β – неотр. числа, тогда ур-е (1) можно записать a_n(p-p₁)*(p-p₂)*(p-p₃)…(p-p_n)=0, подставив значение корней a_n(p+α₁)*(p+α₂)*(p+α₃-jβ₃) * (p+α₃+jβ₃)…(p+α_n)=0. a_n(p+α₁)*(p+α₂)*[(p+α₃)²jβ₃²] …(p+α_n)=0. Раскроем скобки и приведем к исходному виду(1). Перемножая и складывая положит. числа нельзя получить отрицательные т.е все коэфф. будут положительными ур-я (1) или отрицат. в зависимости от знака а_n. Для систем I и II порядков этот критерий явл-я необходимым и достаточным. Для систем более высоких порядков(III и выше) этот критерий яв-ся необходимым т.е если хотя бы один коэф. характ-го ур-я имеет знак отличный от знака других коэф-ов, то можно сразу сказать что система не устойчива и никаких других исследов. проводить не нужно. Недостаточность критерия состоит в том что для некоторых неустойчивых систем мы можем получить все коэфф. одного знака и требуется дополнит. исследования. Были разработаны другие алгеб. критерии устойчивости которые яв-ся как необходимыми так и достаточными. Наиб. распростран. получили критерий Рауса и критерий Гурвица. Оба эти критерия в конце концов приводят к одной и той же системе неравенств. Критерий Рауса: правило постр. определителя Рауса a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n=0. 1-я строка: заполняется коэфф. с четными индексами , 2-я строка: заполняется коэфф. с нечетными индексами ,

3-я строка и последующая получ. вычислением из предыдущих двух строк. Каждый элемент получ. перекрестным умножением элементов двух предыдущих строк

иделением элемента предыдущей строки:c_i,k=( c_i-2,k+1*c_i-1,1- c_i-2,1*c_i-1,k+1)/ c_i-1,1. Всего строк в таблице будет n+1. Постепенно справа появ-я нули и число значущих элементов умножается. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы коэфф. 1-ого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и положительны (c_i,1≠0; c_i,1>0). Если хотя бы появ-ся 0 то система находится на границе устойчивости, если отриц. число то система неустойчива. Критерий Гурвица: Правило состав. опред. Гурвица. Главная диагональ определ. послед. заполняется коэфф. харак. ур-я начиная с коэфф. при (n-1) производной т.е p^n-1 и до свободного члена. Столбцы вверх от диагонали заполняют последоват. коэфф. по убыв. степ; вниз по возраст. степеням “p”. На месте коэфф. индексы котор. ( >n и <0) ставят 0. a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n=0.

Def: Для того чтобы хар-ое ур-е системы имело все корни с отриц. веществ. частью необходимо и достаточно, чтобы главный определ. Гурвица (∆n) и все его

диагональные миноры (∆_n-1, ∆_n-2, ∆₁) имели один знак с коэфф. при старшей производной (а_n>0).

Пример: а) системаI-порядка D(p)=a₁p+ a₀=0, ∆_n= |a₀|=a₀. {^a1>0_a0>0; б) система II-порядка D(p)= a₂p²+ a₁p+a₀ =0, ∆₂= |^{a1 0}_{a2 0} |, ∆₁=|a₁|=a₁; {^a2>0a1>0_a0>0; в) система III-порядка D(p)= a₃p³+a₂p²+ a₁p+a₀ =0, ∆₂= |^{a2 a0 0} a3 a1 0 _{0 a2 a0} |= a₀*∆₂=a₀* |^{a2 0}_{a3 a1} |, ∆₂=

|^{a2 0}_{a3 a1} |=a₂ *a₁ – a₀ *a₃. ∆₁=|a₂|=a₂.

W_зу(р)=((К_nK₀)/p(T₀₂²p²+T₀₁p+1))/(1+((К_nK₀)/p (T₀₂²p²+T₀₁p+1)))= (К_nK₀)/(T₀₂²p³+T₀₁p²+p+ К_nK₀ + 1), где а₃=T₀₂²p³, а₂=T₀₁p³, а₁=p, а₀=К_nK₀.

а₁а₂>а₃а₀, T₀₁>T₀₂²*К_nK₀,

К_n ≤ T₀₁/ T₀₂²*К_nK₀. При равенстве система будет находиться на границе устойчивости. Значение варьированного параметра при которой

система наход. на границе устойчивости назыв. критическими. Недостаток алгебр. критерия: они дают ответ устойчива система или нет и ничто не говорят что надо сделать чтобы система стала устойчивой. С инженерной точки зрения более удобным оказываются частотные критерии.