§ 5.2. Приведение математических моделей сау к виду, удобному для моделирования

Приведение к виду, удобному для моделирования, одинаково необходимо как при моделировании на АВМ, так и при моделировании на ЦВМ, поскольку непосредственная реализация исход­ных ММ САУ оказывается практически невозможной из-за несо­ответствия этих ММ средствам их воспроизведения на ЭВМ (су­ществующие численные методы интегрирования, соответствующие лингвистические и программные компоненты, возможности самих ЭВМ). Такое несоответствие устраняется путем понижения по­рядка исходных уравнений, замены переменных и других эквива­лентных преобразований с целью исключения неустойчивых звень­ев, операций дифференцирования, «не реализуемых» на ЭВМ нелинейных звеньев.

Средствами подсистемы САПР САУ «Упрощение и преобразо­вание ММ» (см. § 4.3) удается в значительной степени автомати­зировать преобразования ММ. В дополнение к этим средствам рассмотрим здесь ряд типичных методов и алгоритмов приведе­ния исходных ММ САУ к. виду, удобному для моделирования.

В том случае, когда исходная ММ соответствует верхнему уровню представления САУ и задана в виде структурной схемы или графа (см. § 4.1, рис. 4.1), ввиду того что численные методы моделирования на ЭВМ разработаны, как правило, для форм ММ (3.10), (3.15), возникает необходимость преобразования структур­ных и графовых ММ к этим формам. Наиболее удобной формой ММ, широко применяемой при математическом моделировании, является форма Коши (3.10). Последовательность операций соот­ветствующего алгоритма продемонстрируем на примере.

Пример 5.2. Приведение к форме Коши ММ, заданной участком структурной схемы САУ ЛА по тангажу (рис.5.1,б).

Следуя принятой на структурной схеме (рис.5.1,б) последовательности звеньев, запишем уравнения операторов в нормальной форме: для первого звена

для второго звена

Переписывая эти уравнения в матричной форме (3.15), получим

где

ММ в форме графов приводятся к форме Коши аналогично, толь­ко преобразованиям подвергаются операторы дуг графа.

Рассмотрим способы приведения к форме Коши (3.10), (3.11) обобщенных стохастических уравнений (3.7) и форм (3.8), (3.12) — (3.14). Начнем с общей формы (3J7). Прямой ввод в ЦВМ случайных процессов X(t) при большей размерности век­тора X приводит к быстрому заполнению памяти ЦВМ и сниже­нию ее быстродействия. Значительные затруднения также вызы­ваются случайным характером вектора начальных условий Y₀ и вектора параметров λ, которые приходится задавать раздельно.

В процессе приведения (3.7) к виду, удобному для моделиро­вания, стремятся избавиться от этих недостатков.

Для придания однородности исходной форме (3.7) введем начальные условия в число параметров с помощью замены Тогда вместо (3.7) получим

(5.1)

Введем новый вектор параметров  большей размерности

тогда вместо (5.1) можем записать

(5.2)

Учитывая, что каждая составляющая вектора Х(t) задается ансамблем своих реализаций

где N – номер эксперимента, случайную функцию x_i(t) можно рассматривать как функцию двух переменных x_i(t,N).На ЭВМ функцию x_i(t, N) воспроизводят с помощью программ — генераторов случайных величин — либо с помощью генераторов реализаций случайных функций.

Оба указанных способа применяются при моделировании на АВМ. При моделировании на ЦВМ предпочитают первый способ. Но для реализации этого способа требуется приведение случай­ных функций к случайным величинам. В настоящее время разра­ботаны способы представления случайных функций как детерми­нированных зависимостей от случайных величин. При этом сле­дует стремиться к получению возможно меньшего количества слу­чайных величин с целью экономии ресурсов ЦВМ.

Случайный процесс x_i(t) представляют в виде

(5.3)

где m_i(t) — математическое ожидание; V_k — независимые случайные величины;

φ_k — детерминированные функции, обычно ортого­нальные на отрезке 0<t<=T (например, функции в ряде Фурье). Однако представление (5.3) требует весьма большого числа величин V_k и, следовательно, генераторов этих величин. Поэтому вместо линейного разложения (5.3) используется нелинейное

(5.4)

с конкретной реализацией функции  в виде

(5.5)

Тогда после известных преобразований

(5.6)

где А, ,  - случайные величины, а уравнение (5.») перепишем в виде

(5.7)

где

(5.8)

ММ (5.7) уже достаточно удобна для реализации на ЭВМ с помощью генераторов случайных величин, однако перед последу­ющими этапами ее реализации на ЭВМ необходимо осуществить приведение к форме Коши (3.10). Для упрощения такого приве­дения будем считать, что (5.7)—детерминированная система дифференциальных уравнений, и поскольку векторы U и μ в даль­нейшем не влияют на преобразования, (5.7) перепишем в виде

Если уравнение (5.9) разрешено относительно Z’’, то приведение в форме Коши выполняется средствами подсистемы «Построение ММ» и сводится к алгоритму

Уравнения в форме (5.10) удобны при математическом моде­лировании, так как в большинстве случаев именно для этой фор­мы составляются соответствующие стандартные программы чис­ленного интегрирования.

В том случае, когда уравнение (5.9) не разрешено относи­тельно старшей производной, вместо (5.10) получим

Приведение этого уравнения к форме Коши в общем случае — "весьма сложная задача. Один из подходов в решении этой зада­чи состоит в следующем. Для разрешения последнего уравнения системы (5.11) относительно Z’₂ воспользуемся формулой Ньютона по отношению к Z’₂. Положим Тогда

где

(5.12)

Заменяя последнее уравнение системы (5.11) на уравнение (5.12), получим систему в «псевдоформе» Коши:

(5.13)

Процесс решения системы (5.13) складывается из численного ин­тегрирования системы (5.13) и итерационной последовательности для последнего алгебраического уравнения на каждом шаге.

Определенные приемы необходимы для приведения уравнений (3.12) — (3.14) к виду, удобному для моделирования на ЦВМ. Приведение к форме Коши уравнений (3.13), (3.14) в том слу­чае, когда правая часть содержит только функцию возмущений X(t)_, осуществляется просто. Трудности возникают при наличии в правой части (3.13), (3.14) производных от X(t), как, напри­мер, для широко распространенного скалярного уравнения вида

де b₀(t), b₁(t), ..., b_n(t)—коэффициенты, аналогичные a₀(t), a₁(t), ..., a_n(t). Рассмотрим приведение к форме Коши такого уравнения, ограничиваясь здесь дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Приведение в этом случае осу­ществляется с помощью последовательной замены переменных. Введем новые переменные и₁, u_2, ..., и_п по формулам

(5.15)

Тогда

(5.16)

Переписывая (5.16) в матричной форме для матриц А и В получим выражения

(5.17)

Рассмотрим теперь приведение к форме Коши линейных дифференциальных уравнений в форме (3.16):

(5.18)

В (5.18) матрицы можно представить в виде

(5.19)

где s – порядки производных. Из (5.19) следует порядок действий приведения к форме Коши:

(5.20)

Разрешая это уравнение относительно старшей производной, найдем

(5.21)

Уравнение (5.21) имеет вид одиночного скалярного уравнения, поэтому с ним поступим аналогично скалярному случаю. Введем обозначения:

(5.22)

где

Тогда (5.22) в обобщенной форме будет иметь вид

где

В том случае, когда требуется исключить производные от правых частей в (5.21), строим алгоритм аналогичный (5.16), вводя новые переменные.