§ 6.3. Машинно-аналитический метод анализа

Методы третьей группы из перечисленных в § 6.1 разработаны в наименьшей степени, хотя преимущества аналитических форм в смысле общности результатов, удобства и глубины анализа, вы­явления качественно новых свойств исследуемых САУ вряд ли вызывают сомнения. При решении многих практических задач чис­ленный анализ нелинейных САУ на основе моделирования часто оказывается единственным методом. В этом случае обычно прост­ранство параметров разбивают сеткой, а затем в ее узлах произ­водят численное интегрирование системы дифференциальных урав­нений, определяющих движение данной системы. Такой способ при исследовании систем большой размерности громоздок и дли­телен. Выбор путей решения задач анализа значительно облегча­ется, если получены в достаточно полном объеме зависимости между характеристиками процессов S и параметрами системы Λ в виде некоторых соотношений S = Ф(Λ), При этом желательна именно аналитическая форма таких зависимостей, поскольку по­является возможность перейти от рассмотрения одного конкрет­ного движения к рассмотрению всей совокупности возможных движений в заданной области. Нахождение таких аналитических зависимостей оказывается особенно важным при исследовании САУ ввиду существенной негрубости этих систем, противоречиво­сти и многоплановости задач анализа. Для получения функций S = Ф(Λ) и последующего анализа САУ предложен машинно-аналитический метод, даны его теоретическое обоснование и основные алгоритмы реализации.

Принцип построения этого метода представлен на рис.6.5. Реализация такого метода состоит из следующих этапов:

а) численное решение исходных уравнений движения ММ на ЭВМ – получение машинных решений;

б) аппроксимация машинных решений аналитическими формулами;

в) составление определяющих уравнений, связывающих характеристики процессов с параметрами системы: подстановка аппроксимирующих аналитических формул в исходные уравнения, представленные также в аналитическом виде; алгебраические преобразования;

г) анализ системы по определяющим уравнениям путем реализации соответствующих вычислительных алгоритмов на ЭВМ.

Из определяющих уравнений находятся зависимости между характеристиками процессов и параметрами системы в первом приближении. В случае его недостаточной точности организуется процесс последовательных приближений более высокого порядка. Покажем принципы машинно-аналитического метода на простейшем примере.

Машинно-аналитический метод при анализе нелинейных САУ позволяет обоснованно выбирать пути решения задач анализа бла­годаря получению с помощью ЭВМ аналитических зависимостей характеристик процессов от параметров системы типа (6.63). При этом анализ нелинейных САУ сводится, по существу, к анализу этих аналитических зависимостей. Задача параметрического син­теза, традиционно связанная с поисковыми процедурами миними­зации функционала, заменяется в машинно-аналитическом методе более простой процедурой решения систем определяющих урав­нений, поэтому этот метод положен в основу построения комплек­са программ подсистемы САУ «Анализ».

Схема алгоритмизации машинно-аналитического метода для САПР САУ приведена на рис. 6.7.

На первом этапе алгоритмизации по исходной ММ, заданной в форме

с помощью инструмента «Моделирование» определяется частное машинное решение для заданного набора параметров Л и началь­ных условий Y₀.

На втором этапе осуществляется аппроксимация этого машин­ного решения. Аппроксимация сводится к последовательному ре­шению таких задач:

— выбор класса аппроксимирующих функций;

— выбор критерия аппроксимаций;

— определение параметров аппроксимирующей функции;

— оценка точности аппроксимации.

При выборе класса аппроксимирующих функций обычно руко­водствуются видом машинного решения Y (t), простотой выбирае­мых функций, а также целью их дальнейшего использования.

Собственные и вынужденные движения в САУ — это зачастую процессы, близкие по форме к затухающим или расходящимся гармоническим колебаниям. Учитывая это обстоятельство, а так­же требования, вытекающие из теории машинно-аналитического метода (независимость, дифференцируемость аппроксимирующих функций, принадлежность их к одному классу вместе со своими производными), аппроксимирующие функции выбирают в классе решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому для аппроксимации машинных решений будем использовать обобщенный полином

Аппроксимирующие функции, используемые в процедуре (6.25), (6.26), входят в класс функций (6.65).

Указанный класс функций обладает тем достоинством, что зна­ния параметров обобщенного полинома удобны для разработчика САУ, так как связаны с физикой протекающих процессов. При выборе критериев аппроксимации решений Y(t) предпочтение от­дается среднеквадратичной норме:

Если машинное решение представлено таблицей, дающей n+1 значений Y(t), то дискретный аналог (6.66) принимает вид

На третьем этапе строятся определяющие уравнения. На вы­ходе блока аппроксимации машинных решений (рис. 6.7) получа­ем числовые значения параметров обобщенного полинома

Для того чтобы избежать ошибок при составлении системы определяющих уравнений, предусмотрена оценка погрешности при­ближения. Исходной информацией для контроля служат числовые значения аргументов S* аппроксимирующих функций q_N (S*, t). Пусть один из элементов вектора S* считается неизвестным (S₁*). Найдем его новое значение (S*_1n) путем подстановки в систему (6.70) остальных (S₂*, ..., S_n*).

Тогда относительная ошибка δ(S*₁, S*_1n), полученная в силу уравнений (6.70), позволяет судить о возможности их дальнейше­го использования. Если ошибка превосходит некоторое заданное значение, то составляют систему определяющих уравнений во вто­ром приближении. Для получения определяющих уравнений во втором и последующем приближениях разработаны две процедуры.

В первой процедуре (рис. 6.7) точность получения определяю­щих уравнений связана с улучшением точности аппроксимации машинных решений за счет увеличения числа членов обобщенногополинома. Вторая процедура основана на организации процесса последовательных приближений Ч. Э. Пикара (французский ма­тематик, 1856—1941)

Эта процедура оперирует с исходными аппроксимирующими вы­ражениями q_N (S⁽¹⁾, t). Процесс итерации продолжается до тех пор, пока не добиваются удовлетворительной точности δ. На практике этот процесс обычно заканчивается при k=1, 2.

На четвертом этапе по составленной системе определяющих уравнений осуществляется анализ и параметрический синтез ис­ходной нелинейной системы.

В том случае, когда ММ САУ представлена системой диффе­ренциальных уравнений невысокого порядка с одной (двумя) нелинейностями, из системы определяющих уравнений удается най­ти простые аналитические соотношения, связывающие характери­стики процессов с параметрами модели.

Более общие случаи анализа нелинейных САУ приводят к сис­теме алгебраических и трансцендентных уравнений. Для ее ре­шения применяются итерационные методы. Успешное применение этих методов зависит от выбора начального приближения. Началь­ным приближением для решения систем определяющих уравнений служат числовые значения S*, полученные в результате аппрокси­мации машинных решений (6.67). Наличие такого начального приближения значительно увеличивает скорость сходимости ите­рационных методов и тем самым облегчает весь процесс анализа САУ по определяющим уравнениям.

Существенно упрощается и задача параметрического синтеза, сводящаяся теперь к решению системы определяющих уравнений при заданных в ТЗ показателях на разработку качества системы (характеристик процесса).

Программная реализация машинно-аналитического метода осу­ществляется на основе компонентов подсистемы «Моделирова­ние»— процедур «Численное интегрирование», «Аналитические пре­образования»— и излагаемых далее программных модулей обра­ботки и оптимизации.