Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

9.-

9.1. ¤ ç ¬®¤ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï

à ªâ¥à ¯¥à¥å®¤­ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ á¨á⥬¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à á- ¯®«®¦¥­¨¥¬ ª®à­¥© si ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ . 1

¥©á⢨⥫쭮, à¥è¥­¨¥ y(t) ®¤­®à®¤­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®- £® ãà ¢­¥­¨ï n-£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ¢¨¤ y(t) = Pni=1 Ciyi(t) £¤¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ Ci ®¯а¥¤¥«повбп ­ з «м­л¬¨ гб«®¢¨п¬¨, б®- бв ¢«пой¨¥ yi(t) ("¬®¤ë") ¨¬¥îâ ¢¨¤ yi(t) = esit - ¯à¨ ¯à®áâëå si ¨«¨ yi(t) = Pi(t)esit { ¯à¨ ªà â­ëå ª®à­ïå (§¤¥áì Pi(t) { ¬­®- £®з«¥­л, бв¥¯¥­¨ ª®в®але ®¯а¥¤¥«повбп ªа в­®бвмо ª®а­п).

®í⮬㠮¡¥á¯¥ç¥­¨¥ "å®à®è¨å" ¯¥à¥å®¤­ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ á¨- á⥬¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®á⨣­ãâ® ¥á«¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®- £®ç«¥­ ¨¬¥¥â § ¤ ­­ë¥ ª®à­¨. â® ­¥¯®á।á⢥­­® ¯à¨¢®- ¤¨â ª ãá«®¢¨î ¯®«ã祭¨ï § ¤ ­­ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ å à ªâ¥- à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë. ¥£ã«ïâ®àë, ¯®áâ஥­­ë¥ ¨áå®¤ï ¨§ 㪠§ ­­®£® âॡ®¢ ­¨ï, ­ §ë¢ îâáï

¬®¤ «ì­ë¬¨ ॣã«ïâ®à ¬¨.

9.2. ®¤ «ì­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ ¯® á®áâ®ï­¨î ®¡ê¥ªâ

áᬮâਬ ¢­ ç «¥ à¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¯®«­®¬ ¨§¬¥- ७¨¨ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ . «ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥- ­¨ï ¡ã¤¥¬ â ª¦¥ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ã¯à ¢«¥­¨¥ ᪠«ïà­®¥,

u(t)2R:

ãáâì ¤¨­ ¬¨ª ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥- ­¨¥¬

x(t) = Ax(t) + Bu(t):

(9.1)

¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) ®¡ê¥ªâ (9.1) áç¨â ¥¬ ¤®áâã¯­ë¬ ¨§¬¥- ७¨î. áᬮâਬ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¢¨¤

u(t) = ;Kx(t)

(9.2)

£¤¥ K { ¯®¤«¥¦ é ï ®¯à¥¤¥«¥­¨î n l-¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥­- ⮢ ॣã«ïâ®à (¢ ­ 襬 á«ãç ¥ m = 1): ¬ª­ãâ ï á¨á⥬ ®¡ê¥ªâ-ॣã«ïâ®à ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

x(t) = (A ; BK)x(t): (9.3)

1 ¤¥áì à áᬠâਢ îâáï áâ 樮­ à­ë¥ á¨á⥬ë.

202

â ¢¨âáï § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ॣã«ïâ®à (í«¥- ¬¥­â®¢ ¬ âà¨æë K) â ª¨å, çâ® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®-

I

ç«¥­ det(s n ;A+BK) = D(s) = sn +d1sn;1 +: : : +dn;1 +dn ¨¬¥« § ¤ ­­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë di: ਭ樯¨ «ì­ ï ¢®§¬®¦­®áâì à¥- 襭¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¤«ï ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ëå ®¡ê¥ªâ®¢ á«¥¤ã¥â ¨§ 㪠§ ­­®£® ¢ 7.2. ᢮©á⢠4. 2

áᬮâਬ ¯à®æ¥¤ãàã ᨭ⥧ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.।¯®«®¦¨¬ ¢­ ç «¥, çâ® ãà ¢­¥­¨ï (9.1) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ

ã¯à ¢«ï¥¬®¬ã ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î, â.¥. ¬ âà¨æë

A B ¨¬¥îâ ¢¨¤

0

1

: : :

0

3

2

0

3

2

0

0

1

0

: : :

0

0

A = .

;

;

;

5

B = .

5

(9.4)

4

;

4

6

0

0

0

: : :

1

7

6

0

7

an

an;1

an;2 : : :

a1

1

det(sIn ;A) = sn +a1sn;1 + +an: ਠ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ॣã«ï-

â®à

(9.2) á ¬ âà¨æ¥© K = [k1

k2 : : : kn] ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï

­¥¯®á।á⢥­­®© ¯®¤áâ ­®¢ª®©, ¬ âà¨æ

A ; BK § ¬ª­ã⮩

á¨á⥬ë (9.3) â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¬ âà¨æë ஡¥­¨ãá

¨ ¥¥ å -

à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ det(sIn

A + BK) =

= s

+(a1 +kn)s

+: : :

+(an;1 +k2)s+an +k1:

à¨à ¢­¨¢ ï ª®-

n

n;1

;

íää¨æ¨¥­âë §â®£® ¬­®£®ç«¥­

§ ¤ ­­ë¬ §­ 祭¨ï¬ di áà §ã

¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï ¯ à ¬¥â஢ ॣã«ïâ®à :

k1

=

dn

an

8 k2

= dn;;1 ; an;1

> kn;1

d2

a2

(9.5)

=

;

<

kn

=

d1

; a1:

ãáâì ⥯¥àì >ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë § ¯¨á ­ë ¢

¯à®¨§¢®«ì­®¬,

:­¥ ¢ ª ­®­¨ç¥áª®¬ ¡ §¨á¥.

®-¯à¥¦­¥¬ã

¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ¯®«­ãî ã¯à ¢«ï¥¬®áâì ®¡ê¥ªâ

(9.1). í⮬

á«ãç ¥, ᮣ« á­® ᢮©áâ¢ã 8

ã¯à ¢«ï¥¬ëå á¨á⥬

(á¬.

¯.

7.2.), ¨¬¥¥âáï ¬ âà¨æ

T ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯®¤®¡¨ï, ¯à¨¢®¤ï-

é ï ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ª 㪠§ ­­®¬ã ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã.3

2 ââ㤠¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ®¡ê¥ªâ ­¥ ®¡« ¤ ¥â ¯®«­®© ã¯à ¢«ï- ¥¬®áâìî, ¯®«ãç¨âì «î¡ë¥ § ¤ ­­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ¬­®£®ç«¥­ D(s) ¢ ¯à¨­æ¨¯¥ ­¥¢®§¬®¦­®.

3 ®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨æë T ç¥à¥§ ¬ âà¨æë ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¯à¨¢¥¤¥­ â ¬ ¦¥.

203

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®« £ ¥¬, çâ® ¬ âà¨æë				~		1	~	~	= T B
				A = T AT				B
¨¬¥îâ ¢¨¤ (9.4), ¯à¨ç¥¬ det(sIn	;	A)		det(sIn	;	A): ©¤¥¬
~ ~									~

¤«ï á¨á⥬ë (A B) ª®íää¨æ¨¥­âë ¬®¤ «ì­®£® ॣã«ïâ®à K

¯® ä®à¬ã«¥ (9.5). ®á«¥ í⮣® ¢ë¯®«­¨¬ ¯¥à¥å®¤ ª ¨á室­®-

¬ã ¡ §¨áã. «ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã x~(t) = T x(t) â®
~	~	¥á«¨
u(t) = ;Kx~(t) = ;KT x(t) = ;Kx(t)
	~	(9.6)
	K = KT:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬®© á¨á⥬ë ᮠ᪠- «ïà­ë¬ ã¯à ¢«¥­¨¥¬ ¯®«ã祭 «£®à¨â¬ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¬®- ¤ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï. â®â «£®à¨â¬ ¢ª«îç ¥â:

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®- £®ç«¥­ á¨á⥬ë\

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ª ª ­®­¨ç¥áª®©

ä®à¬¥ (¥á«¨ ¨á室­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥îâ ­¥ª ­®­¨ç¥áª¨© ¢¨¤)\ { ¢ëç¨á«¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ॣã«ïâ®à ¯® ä®à¬ã« ¬

(9.5), (9.6).

¬¥á⥠á ⥬ §¤¥áì ᮤ¥à¦¨âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® ¤«ï ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ëå á¨á⥬ (ᮠ᪠«ïà­ë¬ ã¯à ¢«¥- ­¨¥¬) ᢮©á⢮ 4 ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ᢮©á⢠11. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¢ ᨫ㠤㠫쭮á⨠§ ¤ ç ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¨§«®- ¦¥­­ë© §¤¥áì ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥­¨¬ ¨ ¢ à áᬮâ७­®© ¢ ¯. 8.2. § ¤ ç¥ á¨­â¥§ ­ ¡«î¤ ⥫ï á®áâ®ï­¨ï. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¯® í⮬㠢®¯à®á㠯ਢ¥¤¥­ë ¢ [3].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ §­ 祭¨© ¦¥« ¥¬ëå ¯®«îᮢ § ¬ª­ã⮩ á¨- á⥬ë ï¥âáï á ¬®áâ®ï⥫쭮© § ¤ 祩, à¥è¥­¨¥ ª®â®à®© á¢ï§ ­® á ¯à¥¤ê塞묨 ª á¨á⥬¥ âॡ®¢ ­¨ï¬¨.

§«®¦¥­­л¥ ¢ ­ бв®пй¥¬ ¯ а £а д¥ а¥§г«мв вл ­¥¯®ба¥¤- бв¢¥­­® ¯¥а¥­®бпвбп ­ а¥и¥­¨¥ § ¤ з¨ ¬®¤ «м­®£® г¯а ¢«¥- ­¨п ¤«п ¤¨бªа¥в­ле б¨бв¥¬. «п бв ж¨®­ а­ле ¤¨бªа¥в­ле

á¨á⥬ ¨¬¥¥âáï ¢®§¬®¦­®áâì ¯®«ãç¨âì ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥- 室­®£® ¯à®æ¥áá . â® ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ¢ë¡®à®¬ å à ªâ¥à¨- áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ ¤¨áªà¥â­®© á¨á⥬ë á ­ã- «¥¢ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨, çâ® ¤ ¥â ¢à¥¬ï ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®- æ¥áá , ­¥ ¯à¥¢ëè î饥 n è £®¢ ¤¨áªà¥â­®áâ¨.

9.3.®¤ «ì­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ ¯® ¢ë室㠮¡ê¥ªâ . ¥®à¥- ¬ à §¤¥«¥­¨ï

áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ å à ªâ¥à­ãî ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ § ¤ çã, ª®£¤ ¨§¬¥à¥­¨î ¤®áâ㯥­ ­¥ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) ¢ë室

204

®¡ê¥ªâ y(t): ¡ê¥ªâ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ­¥¢ë஦¤¥­­ë¬ (¯®«­®- áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ë¬ ¨ ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬). í⮬ á«ãç ¥ ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ § ª®­¥ ã¯à ¢«¥­¨ï ­¥ á ¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ x(t), ¨å ®æ¥­ª¨ x^(t) ¯®«ã祭­ë¥ á ¯®¬®éìî ­ ¡«î¤ ⥫ï (à¨á. 9.1). à ¢­¥­¨ï § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë ⮣¤ ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤

x(t)	=	Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t)	x(t0 ) = x0	(9.7)
u(t)	=	;Kx^(t)		(9.8)
x^(t)	=	(A ; LC)^x(t) + Bu(t) + Ly(t)	x^(t0) = x^0:	(9.9)

à ¢­¥­¨ï (9.8), (9.9) ®¯¨áë¢ îâ ॣã«ïâ®à, ¢å®¤®¬ ª®â®à®£® ï¥âáï ¯à®æ¥áá y(t), ¢ë室®¬ { ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t): ®â«¨ç¨¥ ®â ॣã«ïâ®à (9.2) ¤ ­­ë© ॣã«ïâ®à ï-

¨á. 9.1. ¨á⥬ áâ ¡¨«¨§ 樨 á ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ ª®¬¯¥­á - â®à®¬.

¥âáï ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© á¨á⥬®©, ¯®à冷ª ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®à浪®¬ ãà ¢­¥­¨© ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï (9.7). ¥£ã«ïâ®àë

â ª®£® ¢¨¤	­ §ë¢ îâáï ¨­®£¤ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬¨ ª®¬¯¥­á â®-
à ¬¨ [76].	4
®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: ª ª®¢ë ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ᢮©áâ¢		á¨á⥬ë
(9.7){(9.9), ª ª ¢«¨ï¥â ­ ᢮©á⢠á¨áâ¥¬ë § ¬¥­		¢ ¬®¤ «ì-

­®¬ ॣã«ïâ®à¥ §­ 祭¨© á®áâ®ï­¨ï ­ ¥£® ®æ¥­ª¨? «ï ®â¢¥- â ­ ­¥£® ­ ©¤¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë.

4 ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ ­ ¡«î¤ ⥫¥© 㥭¡¥à£¥à ¯®§¢®«ï¥â 㬥­ìè¨âì ¯®- à冷ª ãà ¢­¥­¨© ª®¬¯¥­á â®à ­ ¢¥«¨ç¨­ã p = rank C:

205

¯à®áâ¨âì ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¤ ­­®£® ¬­®£®ç«¥­ ¬®¦­® ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. «ï í⮣® á­®¢ ¨á¯®«ì- §ã¥¬ ®è¨¡ªã ®æ¥­¨¢ ­¨ï "(t) = x(t) ; x^(t): ®£¤ ¬®¦¥¬ § ¯¨- á âì x^(t) = x(t); "(t) ¨ га ¢­¥­¨п (9.7) { (9.9) ¯а¥®¡а §говбп ª ¢¨¤г

	x(t) =	Ax(t) + Bu(t)				x(t0 ) = x0	(9.10)
	u(t) =	;Kx(t) + K"(t)					(9.11)
	"(t) =	(A ; LC)"(t)				"(t0) = x0 ; x^0:	(9.12)
¥à¥å®¤ ®â ãà ¢­¥­¨© (9.7){(9.9) ª (9.10){(9.12) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
¯à¥®¡à §®¢ ­¨î ¢¥ªâ®à
				á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë (9.7){(9.9) x~(t) =
col x(t) x^(t) ª ¢¥ªâ®àã x(t) = col						x(t) x(t);x^(t) = col	x(t) "(t) ,
ª®â®à®¥, ª®­¥ç­®, ï¥âáï ­¥¢ë஦¤¥­­ë¬. â­®á¨â¥«ì­®
¢¥ªâ®à	x(t) ¯®«ã稬 ®¤­®à®¤­ãî á¨á⥬ã x(t) = Ax(t) £¤¥
¬ âà¨æ
	A ¨¬¥¥в б«¥¤гойго ¡«®з­го бвагªвгаг:
		=	A	BK		BK
	A			;0	A ; LC :
®áª®«ìªã ¬ âà¨æ
		A ¨¬¥¥â ¡«®ç­ãî âà¥ã£®«ì­ãî ä®à¬ã, ¥¥

å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î å à ªâ- ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ¬­®£®ç«¥­®¢ ¤¨ £®­ «ì­ëå ¡«®ª®¢

det( I ; ) = det( I ; + ) det( I ; + ) s n A s n A BK s n A LC :

¢¨¤ã ⮣® çâ® á¨á⥬ (9.10){(9.12) ¯®«ã祭 ­¥¢ë஦¤¥­- ­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ãà ¢­¥­¨© (9.7){(9.9), ¨á室­ ï § ¬ª­ã- â ï á¨á⥬ (9.7){(9.9) ¨¬¥¥â â ª®© ¦¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­. «¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ⥮à¥-

¬ . ¥®à¥¬ à §¤¥«¥­¨ï [3, 47]. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®- ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë á ॣã«ïâ®à®¬, ¨á¯®«ì§ãî騬 ®æ¥­- ª¨ á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ , ¨ ­ ¡î¤ ⥫¥¬ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ á¨á⥬ë á "¨¤¥ «ì­ë¬" ¬®- ¤ «ì­ë¬ ॣã«ïâ®à®¬ (9.2) ¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥-

­ (8.5) ­ ¡«î¤ ⥫ï (9.9).

®à­¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ á¨á⥬ë (9.7){(9.9) ¯®«ãç îâáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ª®à­¥© á¨á⥬ë á ¬®¤ «ì­ë¬ à¥- £ã«ïâ®à®¬ ¨ ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ­ ¡«î¤ ⥫ï á®áâ®ï­¨ï. - ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¤ ç¨ á¨­â¥§ ¬®¤ «ì­®£® ॣã«ïâ®à (®¯à¥-

¤¥«¥­¨ï ¬ âà¨æë K) ¨ ­ ¡«î¤ ⥫ï (¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨æë L)
¬®£ãâ à¥è âìáï ­¥§ ¢¨á¨¬®.	2
	206

¬¥â¨¬, çâ® ­ «®£¨ç­ ï ⥮६ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ¯à¨ ¨á- ¯®«ì§®¢ ­¨¨ ­ ¡«î¤ ⥫¥© ¯®­¨¦¥­­®£® ¯®à浪 , ®¯¨á ­­ëå ¢ ¯. 8.3. [3].

а ¢­¥­¨п (9.10){(9.12) ¯®§¢®«пов в ª¦¥ б¤¥« вм ¢л¢®¤, зв® ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ¢­¥и­¨е ¢®§¤¥©бв¢¨© ¯а®ж¥ббл ¢ б¨бв¥- ¬¥ (9.7) { (9.9) ¡г¤гв б¨¬¯в®в¨з¥бª¨ ¯а¨¡«¨¦ вмбп ª ¯а®- ж¥бб ¬ ¢ б¨бв¥¬¥ б ¬®¤ «м­л¬ а¥£г«пв®а®¬ ¯® б®бв®п­¨о (9.2), ª ª ¥б«¨ ¡л б¨бв¥¬ (9.3) ¡л« ¯®¤¢¥а¦¥­ ¤¥©бв¢¨о § вге ой¨е ¢®§¬гй¥­¨©. ®«м нв¨е ¢®§¬гй¥­¨© ¨£а ¥в б®- бв ¢«пой п K"(t) ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (9.11). ª®à®áâì § âãå ­¨ï ®è¨¡ª¨ "(t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ á¨­â¥§¥ ­ ¡«î¤ ⥫ï. à ªâ¨- ç¥áª¨ ४®¬¥­¤ã¥âáï ¢ë¡¨à âì ¢à¥¬ï ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá ­ ¡«î¤ ⥫ï t­ ¢ ­¥áª®«ìª® à § ¬¥­ì訬 âॡ㥬®£® ¢à¥¬¥­¨ ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá ¢ á¨á⥬¥ á ¬®¤ «ì­ë¬ ॣã«ïâ®à®¬.

¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï SISO-á¨á⥬ (l = m = 1) ãà ¢­¥­¨ï (9.8), (9.9) ¯à¨¢®¤ïâáï ª ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ॣã«ïâ®à ¢ 楯¨ ®¡à â­®© á¢ï§¨. 5 ®- í⮬㠨§«®¦¥­­ë© ¬¥â®¤ ᨭ⥧ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®¤å®¤ ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯ à ¬¥â஢ ª®à४â¨àãî饣® §¢¥­ , ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饣® § ¤ ­­®¥ à ᯮ«®¦¥­¨¥ ª®à­¥© å à ªâ¥à¨-

áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë. ¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ­ ®á­®¢¥ ®¯¥à 権 á ¬­®£®ç«¥­ ¬¨ ¯à¨¢¥¤¥­®, ­ - ¯à¨¬¥à, ¢ [76]. «¥¤ã¥â â ª¦¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ¨ ¢ ⮬, ¨ ¢ ¤à㣮¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì ®¡ê¥ªâ ã¯à - ¢«¥­¨ï. ᫨ ¢ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 à §®¬ª­ã⮩ á¨áâ¥- ¬ë ¨¬¥îâáï ᮢ¯ ¤ î騥 ­ã«¨ ¨ ¯®«îá , â® ¨å §­ 祭¨ï

­¥¨§¡¥¦­® ¡ã¤ãâ ᮤ¥à¦ âìáï á।¨ ª®à­¥© å à ªâ¥à¨áâ¨- ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë D(s). ¥©á⢨⥫ì- ­®, D(s) = A(s) + B(s) £¤¥ A(s) B(s) { §­ ¬¥­ â¥«ì ¨ ç¨- á«¨â¥«ì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 à §®¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë. ãáâì A(s) = A0(s)R(s) B(s) = B0(s)R(s) â.¥. ¨¬¥îâáï ®¡é¨¥ ­ã- «¨ ¨ ¯®«îá . ®£¤ D(s) = R(s);A0(s) + B0(s) ¨ á।¨ ª®à- ­¥© ¬­®£®ç«¥­ D(s) ¯à¨ «î¡ëå A0(s) B0(s) ᮤ¥à¦ âáï ª®à­¨ R(s): á⮩稢®áâì § ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡¥á¯¥- 祭 ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ®­¨ ¨¬¥îâ ®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç áâ¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâ ¡¨«¨§¨à㥬®á⨠¨ ®¡­ à㦨¢ ¥¬®á⨠®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï.

5 â® ¯®«®¦¥­¨¥ ¨««îáâà¨àã¥âáï à áᬮâ७­ë¬ ¢ 9.5.1. ¯à¨¬¥à®¬.

207

9.4. ¥à¬¨­ «ì­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥

ª ®â¬¥ç¥­® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯®­ïâ¨ï ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠(á. 167, ¯. 7.1.), ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ãî áâ 樮­ à­ãî á¨á⥬ã

¬®¦­® (⥮à¥â¨ç¥áª¨) ¯¥à¥¢¥á⨠¨§ «î¡®£® ­ ç «ì­®£® á®- áâ®ï­¨ï ¢ «î¡®¥ ¤à㣮¥ § ¯à®¨§¢®«ì­® § ¤ ­­ë© ª®­¥ç­ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨. áᬮâ७­®¥ ¢ëè¥ ¬®¤ «ì­®¥ ã¯à - ¢«¥­¨¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â «¨èì ᨬ¯â®â¨ç¥áªãî áâ ¡¨«¨§ æ¨î á¨á⥬ë, â.¥. { ¯à¨¢¥¤¥­¨¥ ¨§ «î¡®£® ¨á室­®£® á®áâ®ï­¨ï ¢ ­ã«¥¢®¥ ¯à¨ t ! 1: ® ¬­®£¨å ¯à¨«®¦¥­¨ïå âॡã¥âáï ¨¬¥­-

­® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¯®¯ ¤ ­¨ï ¢ § ¤ ­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ª ­ §­ - 祭­®¬ã ¬®¬¥­â㠢६¥­¨. ª¨¥ § ¤ ç¨ ­ §ë¢ îâáï § ¤ - ç ¬¨ â¥à¬¨­ «ì­®£®, ¨«¨ 䨭¨â­®£®, ã¯à ¢«¥­¨ï [3, 20]. ­¨ ¢®§­¨ª îâ, ­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ¢ë¢¥¤¥­¨¨ à ª¥â-­®á¨â¥«¥©, á¡«¨- ¦¥­¨¨ ¨ ¯®á ¤ª¥ ª®á¬¨ç¥áª¨å ¯¯ à ⮢ [19, 20], ¢ë¯®«­¥­¨¨ ⨯®¢ëå ¬ ­¥¢à®¢ á ¬®«¥â®¢ [23], ¯à¨ ã¯à ¢«¥­¨¨ ¬ ­¨¯ã«ï-

樮­­ë¬¨ ஡®â ¬¨ ¨ âà ­á¯®àâ­ë¬¨ á।á⢠¬¨. 6 ¥è¥- ­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¤«ï áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤ ­® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠£à ¬¨ - ­ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¢ ¯. 7.2. (¯. 10, á. 172). ¬ ¯®ª § ­®, çâ® ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥­¨ï áâ 樮­ à­®£®, ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬®-

£® ®¡ê¥ªâ	x(t) = Ax(t) + Bu(t) ¨§ ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï x0
¢ § ¤ ­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ x1 §			㪠§ ­­ë© ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥à¢ «
= t1 ; t0	> 0 ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì				¯à®£à ¬¬­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥
[3, 30, 83].
	u(t) = BT eAT (t1;t)		W	( );1	;	x1	;	eA x0			(9.13)
£¤¥ £à ¬¨ ­ ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨
	W( ) = Z0	eA BBT eAT d :									(9.14)

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ©¤¥­® ã¯à ¢«¥­¨¥ ­¥ ¢ ä®à¬¥ ®¡à â­®© á¢ï§¨ ¯® á®áâ®ï­¨î (¨«¨ ¤à㣮© ⥪ã饩 ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯®-

¢¥¤¥­¨¨ ®¡ê¥ªâ ),	¢ ¢¨¤¥ ä㭪樨 ¢à¥¬¥­¨, ª®â®à ï ¤®«¦-
­ ¡ëâì à ááç¨â ­	§ à ­¥¥, ¨áå®¤ï ¨§ § ¤ ­­ëå §­ 祭¨©
x0 x1 .

6 ⮨⠧ ¬¥â¨âì, çâ® ¯®¤ â¥à¬¨­®¬ "â¥à¬¨­ «ì­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥" ®¡ëç- ­® ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ã¯à ¢«¥­¨¥, ¬¨­¨¬¨§¨àãî饥 ä㭪樮­ «, ª®â®àë© § ¢¨á¨â ®â §­ 祭¨ï ã¯à ¢«ï¥¬®£® ¯à®æ¥áá ¢ ª®­æ¥ à áᬠâਢ ¥¬®£® ¨­â¥à¢ « . ®â«¨ç¨¥ ®â â¥à¬¨­ "䨭¨â­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥" §¤¥áì ­¥ ®¡ï- § ⥫쭮 ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï âॡ®¢ ­¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ ª®­ªà¥â­ãî â®çªã [2, 3, 23, 93].

208

¯à ¢«¥­¨¥ (9.13) ¤«ï à¥è¥­¨ï ¤ ­­®© § ¤ ç¨ ­¥ ï¥â- áï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ [3]. ­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç­®áâìî ¤® ­¥- ª®â®à®© ¤¤¨â¨¢­® ¤®¡ ¢«ï¥¬®© ä㭪樨 r(t) 㤮¢«¥â¢®àï-

î饩 ãá«®¢¨î t1 eA(t1; )Br( )d = 0: ¥©á⢨⥫쭮, ¤ ­­ë©

tR0

¨­â¥£à « (¯® ä®à¬ã«¥ ®è¨ (6.9), á. 130) ¢ëà ¦ ¥â ॠªæ¨î

á¨áâ¥¬ë ­ ¢®§¤¥©á⢨¥ r(t): à¨ à ¢¥­á⢥ ¥£® ­ã«î ॠª- 樨 ­ u(t) ¨ u(t) + r(t) ᮢ¯ ¤ îâ. ª ¯®ª § ­® ¢ [3], ã¯à - ¢«¥­¨¥ u(t) (9.13) ¨§ ¢á¥å ¢®§¤¥©á⢨©, ¯¥à¥¢®¤ïé¨å x0 ¢ x1, ®¡« ¤ ¥â ¬¨­¨¬ «ì­®© ­®à¬®© (â.¥. ¬¨­¨¬¨§¨àã¥â ¨­â¥£à «

Rt1 u(t)T u(t)dt).

t0 ¥à¥ç¨á«¨¬ ­¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ä㭪樨 W(t0 t1) [3, 47]:

	W(t0 t1) = tZ0t1			(t0 t)B(t)B(t)T (t0 t)T dt:
â® n n ¬ âà¨ç­ ï äã­ªæ¨ï, ª®â®à ï
1)	ᨬ¬¥âà¨ç­	{ W(t0 t1) = W(t0 t1)T \
2)	­¥®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­ ¤«ï ¢á¥å t0 t1 t0\
3) 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¨­¥©­®¬ã ¬ âà¨ç­®¬ã ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì-
­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (ãà ¢­¥­¨î ï¯ã­®¢ ) 7:
	_ (t t1 ) = A(t)		(t t1 ) +			(t t1)A(t)T		B(t)B(t)T
W		W			W		;	W(t1 t1) = 0:	(9.15)

ç áâ­®áâ¨, ¤«ï áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ ¯à¨ ! 1 ¬ âà¨æ W( ) ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª à¥è¥­¨î W «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï

ï¯ã­®¢

AW + WAT ; BBT = 0)\

4) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä㭪樮­ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î

W(t0 t1) = W(t0 t) + (t0 t)W(t t1) (t0 t)T :

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ £à ¬¨ ­ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠(9.14) ¬®¦­® â ª¦¥ ãç¥áâì á«¥¤ãî騥 ᮮ⭮襭¨ï. ¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î

7 ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ¨	«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨ï ï-
¯ã­®¢ à áᬠâਢ îâáï ¢ ¯. 11.4.4. ­ á.	274 ¢ á¢ï§¨ á ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥¬
ãá⮩稢®áâ¨.

209

e

w(t) = AtB: ª ¯®ª § ­® ¢ 6.2. (á. 132), ¯à¨ ᪠«ïà­®¬ ¢å®¤- ­®¬ ¢®§¤¥©á⢨¨ (m = 1) ¬®¦­® âà ªâ®¢ âì w(t), ª ª äã­ªæ¨î ¢¥á à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¨ ­ 室¨âì, à¥è ï ®¤­®à®¤- ­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ x(t) = Ax(t) ¯à¨ x(0) = B: ᫨ m > 1, в® ¢ ª з¥бв¢¥ ­ з «м­ле гб«®¢¨© ¡¥агвбп бв®«¡жл bi ¬ âà¨æë

B= [b1 .b2. : : : .bm] ¨ w(t) ­ 室¨âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ m à¥è¥­¨©.⨠᢮©á⢠¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç ä¨-

­¨â­®£® ¨ â¥à¬¨­ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï.

®«ã祭­®¥ ¢ëè¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ¥â ¯à®£à ¬¬­®¥ ã¯à ¢«¥-

­¨¥. ।áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ¯®«ãç¨âì ã¯à ¢«¥­¨¥ ¢ ä®à¬¥ ®¡à â­®© á¢ï§¨, ª ª íâ® ®¡ëç­® ¯à¨­ïâ® ¢ á¨á⥬ å ¢â®¬ - â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥­¨ï. ®ª ¦¥¬, ª ª í⮠ᤥ« âì ¯à¨ à¥è¥-

­¨¨ § ¤ ç¨ áâ ¡¨«¨§ 樨, { ª®£¤

âॡã¥âáï ¯à¨¢¥á⨠á®áâ®-

ï­¨¥ ®¡ê¥ªâ

¢ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, x1 = 0:

;

¡à ⨬áï ª ä®à¬ã«¥ (9.13). ¡®§­ 稢

( );1

x1

C =

W

;

eA x0

C

¯®«ã稬

;

2R T

AT

(t1;t)

T ;AT (t;t0) AT

u(t) = B

e

C = B

e

e

= t1 ; t0:

¢¥¤¥¬ ᮯà殮­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ 8

_(t) = ;AT (t)

(t0) = eA :

(9.16)

®£« á­® ä®à¬ã«¥ ®è¨, ¥£® à¥è¥­¨¥ (t) = e;AT (t;t0)

(t0) =

eAT (t1;t) : à ¢­¨¢ ï ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï (t) á ä®à- ¬ã«®© ¤«ï u(t), ¢¨¤¨¬, çâ® ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ¬®¦­®

¢ëà §¨âì ª ª u(t) = BT (t) £¤¥

(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥-

­¨î (9.16),

(t0) = eAT C: ¡ê¥¤¨­ïï ãà ¢­¥­¨ï ®¡ê¥ªâ , § -

ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ᮯà殮­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã

x(t) = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0

8 u(t) = BT

T

(t)

T

(9.17)

>

_

(t) =

(t)

A

A

C:

<

;

(t0 ) = e

®¤áâ ¢«ïï ¢â®à®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ¯¥à¢®¥, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã

>

:

x(t) = Ax(t) + BBT (t) x(t0 ) = x0

( _(t) =

;

AT

(t)

(t0) = eAT C:

(9.18)

8 ¨­¥©­®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï (t) ­ §ë¢ - ¥âáï ᮯà殮­­ë¬ ãà ¢­¥­¨î ®â­®á¨â¥«ì­® x(t) ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ­ ç «ì-

­ëå ãá«®¢¨© ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ x(t)T (t) = const: ¥âà㤭® ã¡¥- ¤¨âìáï, çâ® ãà ¢­¥­¨ï x = Ax ¨ _ = ;AT п¢«повбп б®¯ап¦¥­­л¬¨ [3].

210

«ï à¥è¥­¨ï í⮩ á¨áâ¥¬ë ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥®¡à §®- ¢ ­¨¥ ¨ªª ⨠[3, 47, 88]. 㤥¬ ¨áª âì (t) ¢ ¢¨¤¥ (t) = S(t)x(t) £¤¥ S(t) { ¯®¤«¥¦ é ï ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬ âà¨æ -äã­ªæ¨ï.

®¤áâ ­®¢ª®© (t) ¢® ¢â®à®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ ¯ã⥬ ¤¨ää¥à¥­-
_	=		T
æ¨à®¢ ­¨ï ¯®«ãç ¥¬ Sx + Sx		;	A Sx: ç¨âë¢ ï ¯¥à¢®¥
				_
ãà ¢­¥­¨¥ á¨á⥬ë, ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢®ª ¯®«ãç ¥¬				Sx+ SAx+
SBBT Sx = ;AT Sx: â®¡ë ¯®«ã祭­®¥ à ¢¥­á⢮ ¡ë«® ¢ë-
¯®«­¥­® ¯à¨ ¢á¥å x, S(t) ¤®«¦­	㤮¢«¥â¢®àïâì á«¥¤ãî饬ã
¬ âà¨ç­®¬ã ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î:
S_(t) + S(t)A + AT S(t) + S(t)BBT S(t) = 0:				(9.19)

â®¡ë ­ ©â¨ ­ ç «ì­®¥ §­ 祭¨¥ S(t0 ), ãç⥬, çâ® à áᬠ-
âਢ ¥âáï § ¤ ç áâ ¡¨«¨§ 樨 ¨ x1 = 0: ®í⮬ã
C = ;W( );1eA x0	(t0) = ;eAT W( );1eA x0:	(9.20)

ª ª ª ¤®«¦­® ¢л¯®«­пвмбп гб«®¢¨¥ (t0) = S(t0)x(t0) â® ¯®-
«ã稬 S(t0) = ;eAT W( );1 eA . ª¨¬ ®¡à §®¬, ã¯à ¢«¥­¨¥,
¯¥à¥¢®¤ï饥 á®áâ®ï­¨¥ ®¡ê¥ªâ ¨§ x(t0) = x0 ¢ ­ã«¥¢®¥ §	§ -
¤ ­­®¥ ¢à¥¬ï > 0, ¢ëà ¦ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ®¡à â­®© á¢ï§¨
u(t) = BT S(t)x(t)	(9.21)

£¤¥ S(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (9.19). ­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ãà ¢­¥­¨ï ¨ªª - â¨, ª®â®à®¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ à §«¨ç­ëå ®¯â¨- ¬¨§ 樮­­ëå § ¤ ç [2, 3, 23, 93, 47]. ਫ®¦¥­¨¨ C. ­ á. 423 ¯à¨¢¥¤¥­® ®¡à 饭¨¥ ª MATLAB-¯à®£à ¬¬¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï à¥è¥­¨ï í⮣® ãà ¢­¥­¨ï.

9.5.ਬ¥àë á¨á⥬ ¬®¤ «ì­®£® ¨ â¥à¬¨­ «ì­®£® ã¯à ¢- «¥­¨ï

9.5.1.â ¡¨«¨§ æ¨ï 㣫®¢®£® ¤¢¨¦¥­¨ï á ª®¬¯¥­á 樥© ¢®§¬ã饭¨©

áᬮâਬ § ¤ çã áâ ¡¨«¨§ 樨 (8.17), á. 194 (á¬. â ª- ¦¥ 1.4.2.). ãáâì âॡã¥âáï ®¡¥á¯¥ç¨âì ¤¢¨¦¥­¨¥ ¡¥§ ¢à é¥- ­¨ï ¯® ªà¥­ã. ய®à樮­ «ì­ë© § ª®­ áâ ¡¨«¨§ 樨 㣫®¢®©

᪮à®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤

u(t) = ;k!!x(t):	(9.22)
211