5. Эквиваленция.

Логическая операция, соответствующая союзу “тогда и только тогда, когда” называется эквиваленцией. Введем для обозначения эквиваленции символ  . Запись А  читается так: “А тогда и только тогда, когда В”. Когда мы говорим “А тогда и только тогда, когда В”, то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. Например, “Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев.”

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ

• соответствует союзу ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...;

• обозначается знаком  .

Эквиваленция двух высказываний истинна в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны или оба ложны.

А	В	А В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример. sin 30 = 1/2  2· 2=4 истина sin 30 = 1/2  2· 2=5 ложь sin 30 = 1  2· 2=4 ложь sin 30 = 1  2· 2=5 истина

Задания и упражнения.

1. Даны простые высказывания: А: “Петя умеет плавать” В: “Сергей умеет прыгать” С: “Алеша умеет стрелять” Даны формулы сложных высказываний, составленные из этих простых. Прочтите их, используя смысл каждого простого высказывания: 1. А+В· 2. · В· 3. А· В· 4. А · · С 5. А· · 6.

2. Даны простые высказывания: “Данное число не кратное 3” “Данное число больше 50” Прочтите сложные высказывания: 1). А 2). 3). ·

3. Прочтите формулы: а). (A D)  B; б). С  А  D; в). D  (B ( · C))

4. В состав истинного логического произведения входят три простых высказывания - A,B,C. Известно, что A и B - истинны. Может ли высказывание C быть одним из следующих:

а) “Дважды два равно семи”. б) “Слоны живут в Африке и Индии”. в) “5x + 3 = 11x”.

5. Дано высказывание: “Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”. Какое из следующих высказываний есть логическим отрицанием данного? а). Не Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”. б). Иванов является членом сборной команды не “Алгоритм”. в). Иванов не является членом сборной команды “Алгоритм”. г). Неверно, что Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”.

6. Определите значения истинности высказываний: а). “Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2”. б). “Если 17 делится на 4, то 17 делится на 2”. в). “Если 18 делится на 4, то 18 делится на 2”. г). “Если 18 делится на 2, то 18 делится на 4”. д). “Если 2· 2=5, то 8³  500”. е). “Если 2· 2=4, то 7² =81”. ж). “Если телепатия существует, то некоторые физические законы требуют пересмотра”. з). “16 делится на 4 тогда и только тогда, когда 16 делится на 2”. и). “17 делится на 4 тогда и только тогда, когда 17 делится на 2”. к). “18 делится на 4 тогда и только тогда, когда 18 делится на 2”. л). “15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 10”.

Суждение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Суждение — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, его свойствах или отношениях между предметами. Виды суждений и отношения между ними изучаются в философской логике.

В формальной и математической логике суждениям соответствуют высказывания.

Содержание

• 1 Простые и сложные суждения

  • 1.1 Состав простого суждения

  • 1.2 Состав сложного суждения

• 2 Классификация простых суждений

  • 2.1 По качеству

  • 2.2 По объёму

  • 2.3 По отношению

  • 2.4 По отношению между подлежащим и сказуемым

  • 2.5 Другие

• 3 Модальность суждений

• 4 Примечания

• 5 См. также

• 6 Литература

Простые и сложные суждения

Простые суждения — суждения, составными частями которых являются понятия. Простое суждение можно разложить только на понятия.

Сложные суждения — суждения, составными частями которых являются простые суждения или их сочетания. Сложное суждение может рассматриваться как образование из нескольких исходных суждений, соединенных в рамках данного сложного суждения логическими союзами (связками). От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения.

Состав простого суждения

Простое (атрибутивное) суждение — это суждение о принадлежности предметам свойств (атрибутов), а также суждения об отсутствии у предметов каких-либо свойств. В атрибутивном суждении могут быть выделены термины суждения — субъект, предикат, связка, квантор.

• Субъект суждения — это мысль о каком-то предмете, понятие о предмете суждения (логическое подлежащее).

• Предикат суждения — мысль об известной части содержания предмета, которое рассматривается в суждении (логическое сказуемое).

• Логическая связка — мысль об отношении между предметом и выделенной частью его содержания (иногда только подразумевается).

• Квантор — указывает, относится ли суждение ко всему объёму понятия, выражающего субъект, или только к его части: «некоторые», «все» и т. п.

Состав сложного суждения

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит, и любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дизъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Дизъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизъюнктивных) логических связок (аналогичных союзу «или»). Подобно простым разделительным суждениям, они бывают:

• нестрогими (нестрогая дизъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование («то ли…, то ли…»). Записывается как ;

• строгими (строгая дизъюнкция), члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое). Записывается как .

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, (эквивалентно союзу «если …, то»). Записывается как или . В естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня не одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания или конъюнкции (эквивалентно запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим). Записывается как .

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»). Записывается как (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества всё-таки ).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок отрицания «не». Записываются либо как a ~ b, либо как a b (при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь»), а также с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении): «не верно, что …» (a b).

Классификация простых суждений

По качеству

• Утвердительные — S есть P. Пример: «Люди пристрастны к самим себе».

• Отрицательные — S не есть P. Пример: «Люди не поддаются лести».

По объёму

• Общие — суждения, которые справедливы относительно всего объёма понятия (Все S суть P). Пример: «Все растения живут».

• Частные — суждения, которые справедливы относительно части объема понятия (Некоторые S суть P). Пример: «Некоторые растения суть хвойные».

По отношению

• Категорические — суждения, в которых сказуемое утверждается относительно субъекта без ограничений во времени, в пространстве или обстоятельствах; безусловное суждение (S есть P). Пример: «Все люди смертны».

• Условные — суждения, в которых сказуемое ограничивает отношение каким-либо условием (Если А есть В, то С есть D). Пример: «Если дождь пойдет, то почва будет мокрая». Для условных суждений

  • Основание — это (предыдущее) суждение, которое содержит условие.

  • Следствие — это (последующее) суждение, которое содержит следствие.

По отношению между подлежащим и сказуемым

Логический квадрат, описывающий отношения между категорическими суждениями

Субъект и предикат суждения могут быть распределены (индекс _«+») или не распределены (индекс _«-»).

• Распределено — когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется в полном объеме.

• Не распределено — когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется не в полном объёме.

Суждения А (обще-утвердительные суждения) Распределяет свое подлежащее (S), но не распределяет свое сказуемое (P)

Объем подлежащего (S) меньше объема сказуемого (Р)

• Прим.: «Все рыбы суть позвоночные»

Объемы подлежащего и сказуемого совпадают

• Прим.: «Все квадраты суть параллелограммы с равными сторонами и равными углами»

Суждения Е (обще-отрицательные суждения) Распределяет как подлежащее (S), так и сказуемое (P)

В этом суждении мы отрицаем всякое совпадение между подлежащим и сказуемым

• Прим.: «Ни одно насекомое не есть позвоночное»

Суждения I (частно-утвердительные суждения) Ни подлежащие (S), ни сказуемые (P) не распределены

Часть класса подлежащего входит в класс сказуемого.

• Прим.: «Некоторые книги полезны»

• Прим.: «Некоторые животные суть Позвоночные»

Суждения О (частно-отрицательные суждения) Распределяет свое сказуемое (Р), но не распределяет свое подлежащее (S) В этих суждениях мы обращаем внимание на то, что есть несовпадающего между ними (заштрихованная область)

• Прим.: «Некоторые животные не суть позвоночные (S)»

• Прим.: «Некоторые змеи не имеют ядовитых зубов (S)»

таблица распределения подлежащего и сказуемого

		Подлежащее (S)	Сказуемое (P)
о-у	А	распределено	нераспределено
о-о	Е	распределено	распределено
ч-у	I	нераспределено	нераспределено
ч-о	О	нераспределено	распределено

Общая классификация:

• общеутвердительные (A) — одновременно общие и утвердительные («Все S₊ суть P_-»)

• частноутвердительное (I) — частное и утвердительное («Некоторые S_- суть P_-») Прим: «Некоторые люди имеют черный цвет кожи»

• общеотрицательное (E) — общее и отрицательные («Ни один S₊ не суть P₊») Прим: «Ни один человек не всеведущ»

• частноотрицательное (O) — частное и отрицательное («Некоторые S_- не суть P₊») Прим: «Некоторые люди не имеют черного цвета кожи»

Другие

• Разделительные -

1) S есть или А, или В, или С

2) или А, или В, или С есть Р когда в суждении остается место неопределенности

• Условно-разделительные суждения -

Если А есть В, то С есть D или Е есть F

если есть А, то есть а, или b, или с Прим: « Если кто желает получить высшее образование, то он должен учиться или в университете, или в институте, или в академии»

• Суждения тождества — понятия субъекта и предиката имеют один и тот же объём. Пример: «Всякий равносторонний треугольник есть равноугольный треугольник».

• Суждения подчинения — понятие с менее широким объёмом подчиняется понятию с более широким объёмом. Пример: «Собака есть домашнее животное».

• Суждения отношения — именно пространства, времени, отношения. Пример: «Дом находится на улице».

• Экзистенциальные суждения или суждения существования — это такие суждения, которые приписывают только лишь существование.

• Аналитические суждения — суждения, в которых мы относительно субъекта высказываем нечто такое, что в нём уже содержится.

• Синтетические суждения — суждения, расширяющие познание. В них не раскрывается содержание подлежащего, а присоединяется нечто новое.