- •Тема 6: Складне відношення 4-х точок прямої.
- •Складне відношення 4 точок прямої
- •Питання для самоперевірки.
- •Тема7: Проективні перетворення площини.
- •2. Отже, f – проективне перетворення
- •Властивості проективних перетворень
- •Гомологія
- •Властивості гомології
- •Аналітичне задання проективного перетворення площини
- •Питання для самоперевірки.
- •Тема 8: Проективні і перспективні відображення прямих і пучків.
- •Питання для самоперевірки.
- •Тема 9: Лінії другого порядку на проективні площині.
- •Лінії другого порядку.
- •П итання для самоперевірки.
- •Тема10: Перетини лінії другого порядку з прямою.
- •Питання для самоперевірки.
Тема 6: Складне відношення 4-х точок прямої.
М ета: Ввести поняття складного відношення 4-х точок прямої, довести їх властивості; розглянути повний чотирьохвершинник, довести теореми про існування гармонічних точок, гармонічних прямих у повному чотирьох -вершиннику.
План
Означення складного відношення 4-х точок прямої.
Властивості складного відношення 4-х точок прямої
Складне відношення 4-х прямих пучка.
Знаходження складного відношення 4-х точок прямої через їх координати відносно репера на площині.
Повний чотирьохвершинник. Існування гармонічних точок та гармонічних прямих у повному 4-хвершиннику.
Ключові слова: складне відношення 4-х точок прямої, складне відношення 4-х прямих пучка, подвійне відношення, ангармонічне відношення, просте відношення трьох точок, гармонічне відношення 4-х точок, повний 4-вершник, , діагональні точки, діагоналі, четвірка гармонічних точок .
Складне відношення 4 точок прямої
Д ано
А ( )
В ( ) R
С ( )
D ( )
Озн-я: Складним, або подвійним, або ангармонічним відношенням чотирьох точок А, В, С, D прямої називається число, яке позначається (АВ,СD)
і обчислюється так де (АС), (ВD)...-визначники, складені з координат точок
Властивості:
1. ,
Якщо у складному відношенні 4-х точок поміняти пари букв місцями, то...
2. ,
Якщо у складному відношенні 4-х точок поміняти місцями букви в одній парі, то…
3. Нехай А, В, С, D d , d
; .
; .
-
(АС)=
Аналогічно
Отже (АВ,СD) =
Складне відношення чотирьох точок не залежить від вибору репера на прямій.
4. Дано : А,В,С,D d, R=(А,В,С) d , D(d1 ,d2)R (АВ,СD)=?
(АВ,СD)= =
Складне відношення чотирьох точок прямої, три з яких є точками репера , дорівнює...
5. Чи виражається складне відношення чотирьох точок прямої через прості відношення трьох точок?
Д ано: d,
П означимо , , ,
---R
---
а ,b, с, d—афінні координати заданих
точок відносно репера R*
( АВ,СD)= = (1)
Знайдемо (АВ,С) , (АВ,Д)
( AB,C)= , За озн. , (AB,C)=
( AB,D)= , За озн. , (AB,D)=
Тоді (2)
З (1) (2) (АВ,СД)=
Отже, складне відношення чотирьох точок дорівнює відношенню……….
6. (АВ,СС)=1 7. Якщо (АВ,СD)=(АВ,СМ), то D=М.
8. Якщо (АВ,СD)= -1, то складне відношення називається гармонічним.
(АВ,СD)=( СD, АВ )=( ВА,СD)= - 1
Складне відношення чотирьох прямих пучка.
Теорема: Дано : точки А, В, С, D є l,
точки А!, В!, С!, D!- проекції на пряму l!
Дов. (АВ,СD)=( А!В!,С!D! )
Через координати
R=( А,В,О,Е) , D єАВ D( d1,d2,0)R ,
D( d1,d2), R3=( А,В,C)
(АВ,СD)= (1)
R!=( А!,В!,О,Е) D! єА!В! D!( d!1,d!2,0) R!,
D!( d!1,d!2), R!3=( А!,В!,C!)
(А!В!,С!D!)= (2)
Формули перетворення
А !(1,0,а)R х1=х1!
В!( 0,1, b)R х2=х2!
О( 0, 0 , 1)R * ( 1,-а, -b) х3=ах1! +в х2! +( 1-а-в)х3!
Е(1,1 , 1)R (1, 1 ,1 ) d1=d1!
d2=d2! (3)
d3 =
(1).(2),(3) (АВ,СD)= (А!В!,С!D!)
П(О)+ Т
Складним відношенням чотирьох прямих пучка називається складне відношення чотирьох точок перетину будь-якої прямої з прямими пучка
a b c d
(аb,сd)=(АВ,СD)= (А!В!,С!D!)
Знаходження складного відношення чотирьох точок прямої через їх координати відносно репера на площині
A2 P2, R=( A1,A2,A3,E) P2
M ( m1,m2 , m3 )
N(n1, n2, n3 )
K( k1, k2, k3 ) R
P(p1, p2, p3 )
A1 M2, N2, K2, P2, E2 A3
M N
K P d
M ---------M2 M2(m1,m3) N---------N2 A1A3 N2(n1,n3)
K---------K2 K2(k1,k3) R2=(A1, A3,E2 )
P----------P2 P2(p1,p3)
За теоремою про складне відношення чотирьох прямих пучка
(MN, KP)=( M2N2,K2P2)=
Повний 4-вершинник
Означення: Повним 4-вершинником називається фігура, яка складається з чотирьох точок проективної площини загального положення та шести прямих, які попарно з’єднують ці точки.
B - 4-вершинник
і
A і протилежні сторони
Y і
C
D
діагональні точки діагоналі
Теорема: 1) На кожній діагоналі повного 4-вершинника є
четвірка гармонійних точок: дві з яких є діагональними, а дві
інші – це точки перетину цієї діагоналі з протилежними
сторонами, що проходять через третю діагональну точку;
В
А - повний 4-вершинник
Y
С
D
M
N
П учок перетнуто прямими і
Чому?
Пучок перетнуто прямими і
Чому?
якщо отже
(3)
суперечність умові гармонічна четвірка
2) з (1),(3)
На кожній стороні повного 4-вершинника є четвірка гармонічних точок:
дві з них – вершини, одна діагональна, одна – точка перетину цієї сторони
з діагоналлю, що проходить через дві інші діагональні точки;
3)
Кожна діагональна точка є центром пучка гармонічних прямих, дві з
яких – протилежні сторони, дві інші – діагональні прямі.