Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет

им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт»

Кафедра информатики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

«Численные методы»

Для специальностей:

7.080202 –Прикладная математика;

7.091302 – Метрология и измерительная техника;

8.080401 – Информационные управляющие системы и технологии;

8.091301 – Информационно-измерительные системы.

Харьков –2001 г.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Примеры выполнения

лабораторных работ

В В Е Д Е Н И Е

Численные методы решения задач занимают большое место в практической деятельности инженеров. Необходимость применения численных методов возникает довольно часто. Рассмотрим простейшие примеры.

1. При решении прикладной задачи возникла необходимость получения решения алгебраического уравнения степени . Норвежский математик Н. Абель доказал, что алгебраическое уравнение n-й степени с произвольными буквенными коэффициентами при неразрешимо в радикалах. Не может быть получено точное решение и для огромного большинства трансцендентных уравнений, встречающихся на практике. Однако задачу можно считать практически решенной, если удается найти корни уравнения с требуемой точностью при помощи численных методов.

2. При вычислении определенных интегралов часто приходится сталкиваться с функциями, для которых первообразная не выражается через элементарные функции. Кроме того, подынтегральная функция при практических расчетах может быть задана таблично, и тогда само понятие первообразной теряет смысл. В этих случаях интегрирование заменяется приближенным вычислением интеграла при помощи численных методов.

Таких примеров можно привести много. Решение задач численными методами связано с выполнением большого объема вычислительной работы. Поэтому особенно успешно и эффективно стали применяться численные методы с появлением ЭВМ. В свою очередь, развитие вычислительной техники способствовало появлению новых численных методов.

В настоящее время резко расширилась сфера приложения математики, и сейчас трудно указать область науки и техники, в которой бы не применялись ЭВМ и численные методы.

Глава 1. Интерполирование

1. Постановка задачи интерполирования

При решении практических задач довольно часто приходится иметь дело с функциями, заданными таблично для некоторого конечного множества значений аргумента *, принадлежащих отрезку [a,b] из области определения функции. В процессе же решения задачи может появиться необходимость использования значений функций в точках, не совпадающих с табличными. В этом случае строят функцию , достаточно простую для вычислений, которая в заданных точках совпадает с табличными значениями функции, т.е.

.

В остальных точках отрезка [a,b] функция приближенно представляет функцию f(x). Вместо вычисления значения функции f(x) в произвольной точке отрезка [a,b] вычисляют значение в этой точке и полагают . Задача по строения такой функции называется задачей интерполирования. Точки называются узлами интерполяции (или узлами интерполирования), а функция - интерполирующей функцией.

Интерполирование можно использовать и в тех случаях, когда аналитическое выражение функции f(x) известно, но является сложным, и вычисление каждого значения требует большого объема вычислительной работы. Если же требуется вычислить значение функции для большого количества значений аргумента, имеет смысл вычислить несколько значений f(x_i) , по этим значениям построить интерполирующую функцию и с ее помощью приближенно вычислить значения f(x) в остальных точках.

Слово “интерполирование” означает изхождение внутренних значений. На практике могут встретиться два случая.

1. Требуется вычислить f(x) для . Задача в этом случае называется интерполированием в узком смысле.

2. Требуется вычислить f(x) для . В этом случае задача называется экстраполированием.

В дальнейшем под интерполированием понимаем оба эти случая. Геометрически задача интерполирования означает построение кривой , проходящей через заданные точки плоскости с координатами . Очевидно, что через данные точки можно провести бесчисленное множество различных кривых. Задача становится однозначной, если интерполирующую функцию искать в виде алгебраического множества степени, не выше n . Интерполирование в этом случае называется алгебраическим. Если отрезок [a,b], содержащий узлы интерполяции, имеет малую длину, а функция f(x) имеет производные достаточно высоких порядков, то из формулы Тейлора вытекает, что она мало отличается от алгебраического многочлена. Можно ожидать, что в этих случаях алгебраическое интерполирование даст достаточно высокую точность.

На практике используют не только алгебраическое интерполирование. Если, например, на всей оси интерполируется периодическая функция, естственно искать интерполирующую функцию в виде тригонометрического многочлена с тем же периодом. Иногда в качестве интерполирующей функции удобно выбирать рациональную функцию и др.

Рассмотрим подробнее алгебраическое интерполирование.

1.2. Единственность интерполяционного многочлена

Пусть на отрезке [a,b] заданы узлы интерполяции и значения функции f(x) в этих узлах . Все узлы предполагаются различными, т.е. при . Требуется выяснить, существует ли интерполяционный многочлен степени, не выше n, и является ли он единственным. Запишем интерполяционный многочлен в виде

.

Так как - интерполяционный многочлен, он должен удовлетворять условиям

(1.1)

Эти условия приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных :

(1.2)

………………………………….

Определителем этой системы является определитель Вандермонда

= .

В силу наших предположений при , и поэтому определитель системы отличен от нуля. Отсюда вытекает, что система (1.2)

имеет единственное решение, и, следовательно, интерполяционный многочлен существует и он единственен.