Тексты задач из сборника Трофимовой

Т1.1

Скорость течения реки v= 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды v₁= 6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

Т1.2

Капля дождя при скорости ветра v₁= 11 м/с падает под углом α=30˚ к вертикали. Определите, при какой скорости ветра v₂ капля воды будет падать под углом β=45˚.

Т1.12

Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъема h=s/4 (s– дальность полета). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.

Т1.13

Тело брошено со скоростью v₀=15 м/с под углом α=30˚ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время его движения.

Т1.32

Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом r=12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ=0,5 см/с². Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости угол α=45˚; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Т1.34

Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε=3 рад/с². Определите радиус колеса, если через t=1 c после начала движения полное ускорение колеса а=7,5 м/с².

Т1.36

Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t= 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

Т1.37

Точка движется по окружности радиусом R=15 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v₁=15 см/с. Определите нормальное ускорение а_n2 точки через t₂=16 c после начала движения.

Т1.48

На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами m₁=200 г и m₂=500 г. Считая, что груз m₁ поднимается, а подвижный блок с m₂ опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Т; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.

Т1.58

Вагон массой m= 1 т спускается по канатной железной дороге с уклоном α=15˚ к горизонту. Принимая коэффициент трения f=0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением v₀=2,5 м/с, а время торможения t=6 с.

Т1.66

Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью v₀, разрывается на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.

Т1.67

Платформа с песком общей массой М=2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой 8 кг и застревает в нём. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда v= 450 м/с, а её направление – сверху вниз под углом α=30˚ к горизонту.

Т1.70

Две одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v₀. В какой-то момент времени человек массой m, находящийся на задней тележке, прыгнул на переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Определить скорость v₁ передней тележки.

Т1.87

Автомобиль массой m=1,8 т спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью v= 54 км/ч по уклону дороги (угол к горизонту α=3˚). Определить, какой должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью.

Т1.95

Автомашина массой m=2000 кг останавливается за t= 6 с, пройдя расстояние s=30 м. Определите: 1) начальную скорость автомашины; 2) силу торможения.

Т1.109

Спортсмен с высоты h= 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием только силы тяжести спортсмена x₀= 15 см.

Т1.129

Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

Т1.157

Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε=0,4 рад/с². Определите кинетическую энергию маховика через время t₂=25 c после начала движения, если через t₁= 10 c после начала движения момент импульса L₁ маховика составлял 60 кг·м²/с.

Т1.229

Вдоль горизонтальной трубки диаметром 3 см, по которой течет углекислый газ (ρ=7,5 кг/м³), установлена трубка Пито. Пренебрегая вязкостью, определите объем газа, проходящий за 1 с через сечение трубы, если разность уровней в жидкостном манометре составляет Δh=0,5 см. Плотность жидкости принять равной ρ'=1000 кг/м³.

Т1.264

Релятивистская частица движется в системе К со скоростью u под углом θ к оси х. Определите соответствующий угол в системе К', движущейся со скоростью v относительно системы К в положительном направлении оси х, если оси х и х' обеих систем совпадают.

Т2.13

Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

Т2.42

Определите коэффициент теплопроводности λ азота, если коэффициент динамической вязкости η для него при тех же условиях равен 10 мкПа·с.

Т2.43

Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. определите коэффициент диффузии D и внутреннего трения η. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

Т2.59

Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса.

Т2.87

Плотность азота ρ=140 кг/м³, его давление р= 10 МПа. Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправки a и b примите равными соответственно 0,135 Н·м⁴/моль² и 3,86·10^-5 м³/моль.

Т3.14

Под действием электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд q=1 нКл переместился вдоль силовой линии на расстояние r=1 см; при этом совершена работа 5 мкДж. Определить поверхностную плотность заряда на плоскости.

Т3.15

Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными равномерно одноименными зарядами с поверхностной плотностью соответственно σ₁=2 нКл/м² и σ₂=4 нКл/м². Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.

Т3.29

Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q=10 нКл. Определить потенциал φ электрического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии а= 2 см от его поверхности. Построить график зависимости φ(r).

Т3.40

Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром с радиусом R=1м с общим зарядом Q=50 нКл. Определить разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях:

1. r₁=1,5 м и r₂=2 м; 2) r^' ₁=0,3 м и r^' ₂=0,8 м.

Т3.41

Электрическое поле создается шаром радиусом R=8см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ=10 нКл/м³. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r₁=10см r₂=15 см от центра шара.

Т3.45

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε=2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см².

Т3.47

Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке (ε=7) толщиной d=1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, разность потенциалов между пластинами конденсатора U=300 В.

Т3.58

Сферический конденсатор состоит из 2-х концентрических сфер радиусами r₁=5см и r₂=5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом (ε=2,2) . Определить 1) емкость этого конденсатора 2) шар какого радиуса помещенный в масло обладает такой емкостью.

Т3.60

Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U=300 В. Определить разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (ε=7).

Т3.67

Сплошной шар из диэлектрика радиусом R=5 см заряжен равномерно с объемной плотностью р=10нКл/м³. Определить энергию электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.

Т3.70

Плоский воздушный конденсатор емкостью С=10пФ заряжен до разности потенциалов U₁=500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.

Т3.88

Сила тока в проводнике сопротивлением R=100 Ом равномерно убывает от I₀=10 A до I=0 за время τ=30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.

Т3.92

В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R= 8 Ом, включает вольтметр, сопротивление которого R_v=800 Ом, один раз последовательно резистору, другой раз – параллельно. Определите внутреннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы.

Т3.115

В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл находится прямоугольная рамка длиной а= 8 см и шириной b= 5 см, содержащая N=100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I= 1A, а плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определите: 1) магнитный момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.

Т3.118

Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите, определить отношение магнитного момента p_m эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона.

Т3.122

По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d=20 см, текут токи I₁=40 A и I₂=80 А в одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке А, удаленной от первого проводника на r₁=12 см и от второго r₂=16 см.

Т3.125

Определить магнитную индукцию в центре кругового проволочного витка радиусом R=10 см, по которому течет ток I= 1A.

Т3.158

Определить циркуляцию вектора магнитной индукции для замкнутых контуров, изображенных на рисунке, если сила тока в обоих проводниках I= 2 А.

Т3.160

Используя теорему о циркуляции вектора В, рассчитать магнитную индукцию поля внутри соленоида (в вакууме), если число витков соленоида равно N и длина соленоида равна l.

Т3.169

Прямой провод длиной l=20 см с током I=5 А. Находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить работу сил поля, под действием которых проводник переместился на расстояние 2 см.

Т3.174

Круглая рамка с током (s=15 cм²) закреплена параллельно магнитному полю (В=0,1 Тл), и на неё действует вращающий момент М=0,45 мНм. Рамку освободили, после поворота на 90º её угловая скорость стала ω=30 с^-1 . Определить: 1) силу тока, текущего по рамке; 2) момент инерции рамки относительно её диаметра.

Т3.183

В однородном магнитном поле (В=0,1 Тл) вращается с постоянной угловой скоростью ω=50 с^-1 вокруг вертикальной оси стержень длиной l=0,4 м. Определить Э.Д.С. индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции.

Т3.205

Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катушки L₁=0,12 Гн, второй –– L₂= 3 Гн. Сопротивление второй катушки R₂= 300 Ом. Определить силу тока I₂ во второй катушке, если за время Δt=0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от I₁=0,5 A до нуля.

Т3.222

Соленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длину l=30 см, площадь поперечного сечения S=15 см² и число витков N=500. Индукция соленоида L=1,5 мГн, а сила тока, протекающего по нему, I=1 A. Определить: 1) магнитную индукцию внутри соленоида; 2) намагниченность внутри соленоида.

Т3.224

Железный сердечник длиной l=0,5 м малого сечения (d<<l) содержит 400 витков. Определить магнитную проницаемость железа при силе тока I=1 А. Использовать график на рис. 69.

Т3.226

Обмотка тороида с железным сердечником имеет N=151 виток. Средний радиус r тороида составляет 3 см. Сила тока I через обмотку равна 1 А. Определить для этих условий: 1) индукцию магнитного поля внутри тороида, 2) намагниченность сердечника, 3) магнитную проницаемость сердечника. Использовать график зависимости В от Н, приведенный на рис. 69.

№3.227

На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром d=70 мм намотана обмотка с общим числом витков N=600. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной b=1,5 мм. При силе тока через обмотку I=4 A магнитная индукция в прорези В₀=1,5 Тл. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, определить магнитную проницаемость железа для данных условий.

Т4.54

Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы с периодом Т₁=2с и Т₂=2,05 с. Определить: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.

Т4.56

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описывается уравнениями х=3cos(ωt), см и у= 4cos(ωt), cм. Определить уравнение точки и вычертить её с нанесением масштаба.

Т4.60

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х=cos(2πt) и у=cos(πt). Определить уравнение траектории точки и вычертить её с нанесением масштаба.

Т4.66

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 минуты.

Т4.67

Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А₀=3 см. По истечению t₁=10 c А₁=1 см. Определите, через сколько времени амплитуда колебаний станет равной А₂=0,3 см.

Т4.77

Определить логарифмический декремент, при котором энергия колебательного контура за N=5 полных колебаний уменьшается в n=8 раз.

Т4.79

Определите добротность Q колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L=2 мГн, конденсатора емкостью С=0,2 мкФ и резистора сопротивлением R= 1 Ом.

Т4.81

Определить минимальное активное сопротивление при разрядке лейденской банки, при котором разряд будет апериодическим. Емкость лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов составляет 3 мкГн.

Т4.93

Последовательно соединенные резистор с сопротивлением R=110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением U_m=110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи I_m=0,5 A. Определить разность фаз между током и внешним напряжением.

Т4.99

К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С=0,15 мкФ. Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц.

Т4.106

В цепи переменного тока с частотой v= 50 Гц вольтметр показывает нуль при значении С= 20 мкФ. Определите индуктивность катушки.

Т4.162

Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С=0,5 нФ и катушку индуктивностью L=0,4 мГн. Определить длину волны излучения, генерируемого контуром.

Т4.167

Показать, что плоская монохроматическая волна Е_у=Е₀cos(ωt-kx+φ) удовлетворяет волновому уравнению , где v - фазовая скорость электромагнитных волн.

Т4.169

В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля равна 1 мА/м. Определить амплитуду напряженности электрического поля.

Т4.173

В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью её поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля равна 2 В/м. Определить давление, оказываемое волной на тело.

Т4.176

В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля равна 5 мА/м. Определить интенсивность волны.

Т5.57

Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ=0,6 мкм, падающим нормально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, наблюдение ведётся в проходящем свете. Радиус кривизны линзы R=4м. Определить показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца r=1,8 мм.

Т5.59

Плосковыпуклая линза с показателем преломления n=1,6 выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего светлого кольца в отраженном свете (λ=0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определите фокусное расстояние линзы.

Т5.63

На линзу с показателем преломления n=1,58 нормально падает монохроматический свет с длиной волны λ=0,55 мкм. Для устранения потерь света в результате отражения на линзу наносится тонкая пленка. Определите: 1) оптимальный показатель преломления для пленки; 2) толщину пленки.

Т5.69

Определите радиус третьей зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (λ=0,6 мкм) до волновой поверхности от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м.

Т5.70

На диафрагму с круглым отверстием диаметром d= 5 мм падает нормально параллельный пучок света с длиной волны λ=0,6 мкм. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля.

Т5.73

Определить радиус первой зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (λ=0,5 мкм) до зонной пластинки и от пластинки до места наблюдения a=b=1 м.

Т5.79

На экран с круглым отверстием радиусом r=1,2 мм нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ=0,6 мкм. Определить максимальное расстояние от отверстия на его оси, где ещё можно наблюдать наиболее темное пятно.

Т5.93

На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Определить угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвертом порядке, если угол для линии 0,6 мкм в третьем порядке составляет 30˚.

Т5.99

Узкий параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ=245 пм падает на естественную грань монокристалла каменной соли. Определить расстояние d между атомными плоскостями монокристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается при падении к поверхности монокристалла под углом скольжения θ=61˚.

Т5.115

На грань стеклянной призмы (n=1,5) нормально падает луч света. Определить угол φ луча отклонения призмой, если преломляющий угол А=30°.

Т5.126

При какой скорости красный свет (690 нм) будет казаться зеленым (530 нм)?

Т5.129

Вывести выражение для уширения Δλ/λ спектральных линий в случае продольного эффекта Доплера при v<<c.

Т5.136

Определить минимальную кинетическую энергию, которой должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления n=1,5 возникло черенковское излучение. Ответ выразить в МэВ.

Т5.155

Свет, проходя через жидкость, налитую в стеклянный сосуд (n=1,5), отражается от дна, причем отраженный свет плоскополяризован при падении его на дно сосуда под углом 41˚. Определить: 1) показатель преломления жидкости; 2) угол падения света на дно сосуда, чтобы наблюдалось полное отражение.

Т5.158

Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме λ=530 нм, падает на пластинку из кварца перпендикулярно его оптической оси. Определить показатели преломления кварца для обыкновенного (n₀) и необыкновенного (n_e) лучей, если длина волн этих лучей в кристалле соответственно равны λ₀=344 нм λ_е=341 нм.

Т5.212

Определите для фотона с длиной волны λ=0,5 мкм: 1) его энергию; 2) импульс; 3) массу.

Т5.217

Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона, длина волны которого λ=0,5 мкм.

Т5.228

Определите волны рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии этого излучения под углом θ=60˚ длина волны рассеянного излучения оказалась равной 57 пм.

Т5.233

Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом θ=180˚ на свободном электроне. Определите долю энергии фотона, приходящуюся на рассеянный фотон.

Т5.235

Фотон с энергией ε=0,25 МэВ рассеялся под углом θ=120˚ на первоначально покоившемся электроне. Определите кинетическую энергию электрона отдачи.

Т6.28

Определите первый потенциал возбуждения атома водорода.

Т6.48

Определите, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.

Т6.55

Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов U= 50 В, направлен нормально на две параллельные, лежащие в одной плоскости щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм. Определите расстояние между центральным и первым максимумом дифракционной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии l=0,6 м.

Т6.60

Докажите, что для свободно движущейся с постоянной скоростью v частицы выполняется соотношение v_фазu=c² (u– групповая скорость).

Т6.100

Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l c бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить вероятность обнаружения частицы в области 3l/8 ≤x≤5l/8.

Т6.102

Частица в одномерной, прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=3). Определить, в каких точках ямы (0<=x<=l) плотность вероятности обнаружения частицы:1) максимальна; 2) минимальна. Пояснить полученный результат графически.

Т6.111

Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l=0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона U–E= 5 эВ. Определите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности D потенциального барьера для электрона, если разность U–E возрастет в 4 раза.

Т6.164

Минимальная длина волны рентгеновских лучей, полученных от трубки, работающей при напряжении U= 60 кВ, равна 20,7 пм. Определите по этим данным постоянную Планка.

Т6.203

Германиевый образец нагревают от 0 до 17˚С. Принимая ширину запрещенной зоны германия ΔЕ=0,72 эВ, определите, во сколько раз возрастет его удельная проводимость.

Т7.28

Определите, какая часть (%) начального количества ядер радиоактивного изотопа останется нераспавшейся по истечению времени t, равного двум средним временам жизни τ радиоактивного ядра.

Т7.31

Период полураспада радиоактивного изотопа актиния ²²⁵ ₈₉Ас составляет 10 сут. Определите время, за которое распадается 1/3 начального количества ядер актиния.

Т7.46

Запишите α-распад радия ²²⁶ ₈₈Ra.

Т7.65

Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной реакции

¹⁴₇ N+⁴ ₂He→¹ ₁H+¹⁷ ₈O. Массы ядер, участвующих в реакции: m_N=2,3253·10^-26 кг, m_He=6,6467·10^-27 кг, m_H=1,6736·10^-27 кг, m_O=2,8229·10^-26 кг.

Т7.91

Определите число нейтронов, возникающих за 1 с в ядерном реакторе тепловой мощностью Р= 200 МВт, если известно, что при одном акте деления выделяется энергия Е= 200 МэВ, а среднее число нейтронов на один акт деления составляет 2,5.