Тестовые задания по магнетизму Семин В.А. [.PDF]

21

Если рассмотреть контур, по которому

протекает ток I (см. рис.9), то индукция B порождаемого этим током магнитного поля создает сквозь поверхность контура поток, пропорциональный силе тока I:

Рис. 9	Φ = L I ,	(6.3)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Если ток в контуре начинает изменяться, то в нем возникнет

Э.Д.С. самоиндукции:

εсамоинд

	= −	d (L I )	(6.4)
		dt

Знак "–" в формулах (6.2) и (6.4) означает, что при изменении маг-

нитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая Э.Д.С., которая стремится уменьшить изменение потока. Это пра-

вило Ленца. В результате увеличения силы тока на рис. 9, а следова-

тельно и индукции B , возникает вихревое электрическое поле, направленное против тока I в контуре.

		Задача 8
		Квадратный проводящий контур со стороной b = 1 м
		пронизывает однородное магнитное поле под углом
		α = 30° к плоскости контура. Индукция магнитного
		поля меняется со временем по закону B(t )= B		t	8 .
		0
	Рис. 10			τ
		Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент

времени t = 1 с, если B0 =1 Тл; τ = 1 с.

22

Решение:

Определим зависимость магниного потока от времени:

Φ = BS cosβ = BS cos(90°−α)= B		t	8 b2 cos60°=	1		B0b2	t8
						8
0				2
		τ				τ

По формуле (6.2) определим модуль Э.Д.С. индукции:

	d		B b2		8			B b2		7
εинд =			0	t			=	0	8t		= 4 В
			2τ8					2τ8
	dt

Ответ: 4 В

Задача 9

По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 1 с, если и ток и индуктивность изменяются со временем по законам

L(t )= L0 τt 6 , I (t )= I0 τt , где L0 = 1 Гн; I0 = 1А; τ = 1 с.

Решение:

Воспользуемся формулой (6.4):

ε

d (L I )

d

t

6

t

L I

d

(

)

7L I t7

=

=

L

I

=

0 0

t7

=

0 0

= 7 В.

самоинд

0

0

7

7

dt

dt

τ

τ

τ

dt

τ

Ответ: 7 В.

23

6-1. Круговой проводящий виток радиуса R пронизывает однородное магнитное поле под углом α к нормали витка. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону B = B(t ). Найти модуль э.д.с. ин-

дукции в контуре в момент времени t, если

B0 =1 Тл; τ = 1 с; t = 1 с; R = 1 м; α = 60°.

а) B(t )= B

t

;

б) B(t )= B

t 2

;

в) B(t )= B

t 3

;

0

τ

0

0

τ

τ

г) B(t )= B

t

4

;

д) B(t )= B

t 5

;

е) B(t )= B

t 6

;

0

0

0

τ

τ

τ

ж) B(t )= B

t 7

;

з) B(t )= B

t

8 .

0

0

τ

τ

Ответы: а) 1,57 В; б) 3,14 В; в) 4,71 В; г) 6,28 В; д) 7,85 В; е) 9,42 В; ж) 11 В; з) 12,56 В

6-2. Круговой проводящий виток радиуса R пронизывает однородное магнитное поле под углом α к плоскости витка. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону B = B(t ). Найти модуль э.д.с. ин-

дукции в контуре в момент времени t, если

B0 =1 Тл; τ = 1 с; t = 1 с; R = 1 м; α = 30°.

а) B(t )= B

t

;

б) B(t )= B

t 2

;

в) B(t )= B

t 3

;

0

τ

0

0

τ

τ

г) B(t )= B

t

4

;

д) B(t )= B

t 5

;

е) B(t )= B

t 6

;

0

0

0

τ

τ

τ

ж) B(t )= B

t 7

;

з) B(t )= B

t

8 .

0

0

τ

τ

Ответы: а) 1,57 В; б) 3,14 В; в) 4,71 В; г) 6,28 В; д) 7,85 В; е) 9,42 В; ж) 11 В; з) 12,56 В

24

6-3. Квадратный проводящий контур со стороной b пронизывает однородное магнитное поле под углом α к нормали контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону B = B(t ). Найти модуль

э.д.с. индукции в контуре в момент времени t, если

B0 =1 Тл; τ = 1 с; t = 1 с; b = 1 м; α = 60°.

а) B(t )= B

t

;

б) B(t )= B

t 2

;

в) B(t )= B

t 3

;

0

τ

0

0

τ

τ

г) B(t )= B

t

4

;

д) B(t )= B

t 5

;

е) B(t )= B

t 6

;

0

0

0

τ

τ

τ

ж) B(t )= B

t 7

;

з) B(t )= B

t

8 .

0

0

τ

τ

Ответы: а) 0,5 В; б) 1 В; в) 1,5 В; г) 2 В; д) 2,5 В; е) 3 В; ж) 3,5 В; з) 4 В

6-4. Квадратный проводящий контур со стороной b пронизывает однородное магнитное поле под углом α к плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону B = B(t ). Найти мо-

дуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t, если

B0 =1 Тл; τ = 1 с; t = 1 с; b = 1 м; α = 30°.

а) B(t )= B0 τt ; б) B(t )= B0 τt 2 ; в) B(t )= B0 τt 3 ; г) B(t )= B0 τt 4 ; д) B(t )= B0 τt 5 ; е) B(t )= B0 τt 6 ; ж) B(t )= B0 τt 7 ;

Ответы: а) 0,5 В; б) 1 В; в) 1,5 В; г) 2 В; д) 2,5 В; е) 3 В; ж) 3,5 В;

25

6-5. По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t, если и ток

и индуктивность изменяются со временем по законамL(t ) и I (t ).

L0 = 1 Гн; I0 = 1А; τ = 1 с; t = 1 с.

а)

L(t )= L

t

,

I (t )= I

t

;

б)

L(t )= L

t 2

,

I (t )= I

t

;

0

0

0

τ

τ

0

τ

τ

в)

L(t )= L

t

3

, I (t )= I

t

; г)

L(t )= L

t 4

,

I (t )= I

t

;

0

0

0

τ

0

τ

τ

τ

д)

L(t )= L

t

5

, I (t )= I

t

;

0

0

τ

τ

Ответы: а) 2 В; б) 3 В; в) 4 В; г) 5 В; д) 6 В;

6-6э. В катушке с индуктивностью L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем так, как показано на рисунке. Найти модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале времени от t1 = 0 до t2 = 20 с.

а) 0,8 В; б) 0,3 В; в) 0,2 В; г) 0;

6-7э. Рамка с площадью S = 10–2м2 расположена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Величина индукции меняется в

зависимости от времени по закону B = (2 +5t2 )10−2 Тл. Чему равен магнитный поток сквозь рамку?

	а) 0; б) Ф = (2 +5t2 )10−4 Вб; в) 10t 10−4		5t	3		10−4
		Вб; г) 2t +					Вб.
			3

Рис. 12

26

7. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Если частица с электрическим зарядом q и массой m влетает со скоростью v в магнитное поле с

индукцией B , то на нее начинает действовать сила Лоренца

F	= q v ×B		,	(7.1)
л
Рис. 11

которая перпендикулярна скорости частицы v и индукции B . Это приводит к искривлению траектории без изменения скорости частицы (так как сила Лоренца не совершает работу).

Рассмотрим ситуацию, когда частица влетает в магнитное поле перпен-

дикулярно индукции B . В этом случае она будет двигаться по окружности с постоянной скоростью, а сила Лоренца будет являться центростремительной силой (см. рис.11).

Найдем радиус окружности, используя второй закон Ньютона:

F = qvBsin 90°= ma = m		v2		R =	mv	(7.2)
л	n	R			qB

Используя формулу (7.2), можно рассчитать период вращения частицы по окружности:

T =	2πR	=	2πm	(7.3)
			qB
	v

Задача 10

В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл

по окружности летает положительно заряженная частица с зарядом q = 1 мкКл и массой m = 10–10кг со

скоростью v = 10 км/с. Индукция магнитного поля B направлена вдоль оси z. В начальный момент времени скорость частицы v была направлена вдоль оси у. Найти минимальное время t, через которое скорость частицы будет направлена а) вдоль оси х; б) против

оси х. Найти пройденный путь за это время.

Ответы: а)

Рис. 13

27

Решение:

Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, действующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси х, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.12. Из этого рисунка следу-

ет, что через четверть оборота или через время t =T4 скорость частицы окажется направленной параллельно оси х, а через три четверти периода ( t =3T4 ) – антипараллельно оси х. Используя формулу для радиуса окружности (7.2) и периода (7.3), получаем ответ:

а)

б)

t =

1

T =

2πm

=

3,14

10−10

=1,57 10−4 с;

4

2 10−6 1

4qB

S =

1

2πR =

πmv

=

3,14 10−10104

=1,57

м.

4

2qB

2 10−6 1

t =

3

T =

3 2πm

=

3 3,14 10−10

= 2,36 10−4

с

4

4qB

2 10−6 1

S =

3

2πR =

3πmv

=

3 3,14 10−10104

= 4,71 м.

4

2qB

2 10−6 1

t = 0,157 мс; S = 1,57 м; б) t = 0,236 мс; S = 4,71 м.

Задача 11

В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл

по окружности летает отрицательно заряженная частица с зарядом q = – 1 мкКл и массой m = 10–10кг со

скоростью v = 20 км/с. Индукция магнитного поля B направлена вдоль оси х. В начальный момент времени скорость частицы v была направлена вдоль оси у. Найти минимальное время t, через которое скорость частицы будет направлена а) вдоль оси z; б) против

оси z. Найти пройденный путь за это время.

Решение:

Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, действующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси z, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.13 Из этого рисунка следу-

ет, что через четверть оборота или через время t =T4 скорость частицы

28

окажется направленной параллельно оси z, а через три четверти периода ( t =3T4 ) – антипараллельно оси z. Используя формулу для периода (7.3), получаем ответ:

а)

б)

t =

1

T =

2πm

=

3,14 10−10

=1,57 10−4 с;

4

2 10−6 1

4qB

S =

1

2πR =

πmv

=

3,14 10−10 2 104

=3,14

м.

4

2qB

2 10−6 1

t =

3

T =

3 2πm

=

3 3,14 10−10

= 2,36 10−4

с

4

4qB

2 10−6 1

S =

3

2πR =

3πmv

=

3 3,14 10−10 2 104

=9,42

м.

4

2qB

2 10−6 1

Ответы: а) t = 0,157 мс; S = 3,14 м; б) t = 0,236 мс; S = 9,42 м.

7-1. В однородном магнитном поле с индукцией В по окружности летает заряженная частица с зарядом q, мас-

сой m со скоростью v. Индукция магнитного поля B направлена вдоль оси z. В начальный момент времени скорость частицы v была направлена вдоль оси x. Через не-

которое время t скорость частицы в первый раз становится направленной а) вдоль оси у; б) против оси у. Найти:

А) время t;

Б) путь S, пройденный частицей за это время; В) максимальное удаление частицы от оси х; Г) максимальное удаление от оси у,

если B = 1 мкТл; q = + 1 мКл; m = 10–10 кг; v = 100 м/с.

Ответы: аА) 0,471 с; аБ) 47,1 м ; бА) 0,157 с ; бБ) 15,7 м ; В) 20 м ; Г) 10 м.

29

7-2. В однородном магнитном поле с индукцией В по окружности летает заряженная частица с зарядом q, массой

m со скоростью v. Индукция магнитного поля B направлена вдоль оси y. В начальный момент времени скорость частицы v была направлена вдоль оси x. Через некоторое

время t скорость частицы в первый раз становится направленной а) вдоль оси z; б) против оси z. Найти:

А) время t;

Б) путь S, пройденный частицей за это время; В) максимальное удаление частицы от оси х; Г) максимальное удаление от оси z,

если B = 1 мкТл; q = – 2 мКл; m = 10–10 кг; v = 200 м/с.

Ответы: аА) 0,236 с; аБ) 47,1 м; бА) 0,0785 с ; бБ) 15,7 м; В) 20 м ; Г) 10 м.

7-3э. На рисунке указаны траектории заряженных частиц, имеющих одинаковую скорость и влетающих в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа.

При этом для частицы 1 ...

а) q > 0 ; б) q < 0 ; в) q = 0 ;

7-4э. В магнитном поле на двух нитях висит горизонтальный проводящий стержень. Натяжение нитей равно нулю. Как соотносятся направления магнитного поля и силы тока в стержне?

а) ток течет от L к M, индукция направлена от нас; б) ток течет от L к M, индукция направлена вправо; в) ток течет от M к L, индукция направлена от нас; г) ток течет от M к L, индукция направлена вверх;

7-5э. Две положительно заряженные частицы движутся по параллельным линиям на некотором расстоянии друг от друга. Магнитная сила, действующая на правый заряд, имеет направление...

а) 1; б) 2 ; в) 3) г) 4.

30

7-6э. Электрон летает по окружности в однородном магнитном поле так, как показано на рисунке. Куда направлен вектор индукции магнитного поля?

а) б) в) г)

8. Плоский конденсатор

Разность потенциалов на обкладках плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d и напряженность электрического поля Е:

U = E d .

(8.1)

Энергия электрического поля в плоском конденсаторе, где С – емкость конденсатора, q – заряд на конденсаторе, U – напряжение на конденсаторе, Е – напряженность электрического поля:

W =	ε	E2	V =	CU 2	=	q2	=	qU	(8.2)
	0
				2		2C		2
	2

Напряженность однородного электрического поля внутри плоского конденсатора. σ = qS – поверхностная плотность заряда на обкладках плоского конденсатора:

E =	σ	.	(8.3)
	ε0

8-1. В плоском воздушном конденсаторе создано электрическое поле с напряженностью Е. Объем пространства внутри конденсатора равен V. Найти энергию электрического поля. Считать, что расстояние между обкладками конденсатора намного меньше геометрических размеров самих обкладок. E = 1 кВ/м; V = 1 см3.

Ответ: 4,43 10–12 Дж