- •Содержание
- •Глава 1. Нелинейная динамика синтезатора частот с петлёй фап………………………………………………………………………………..4
- •Глава 2. Анализ бесфильтровой дискретной системы фазовой автоподстройки при наличии нормального белого шума…………...……23
- •Глава 3. Сравнительный анализ цифровых систем синхронизации………………………………………………………………….41
- •Глава 4. Цифровые системы синхронизации с перестраивающимися параметрами…………………………………………62
- •Глава 5. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй……..….79
- •Введение
- •Глава 1 Нелинейная динамика синтезатора частот с петлёй фап.
- •1.1. Анализ бесфильтровой системы ифапч.
- •1.2. Моделирование системы ифапч с ичфд и фильтром второго порядка в частотном режиме.
- •1.3. Устойчивость системы ифапч.
- •1.4. Синтез оптимальной по устойчивости и быстродействию структуры синтезатора.
- •1.5. Переходной процесс синтезатора частот с петлёй фап.
- •Глава 2. Анализ бесфильтровой дискретной системы фазовой автоподстройки при наличии нормального белого шума.
- •2.1. Математическая модель системы Импульсной Фазовой Автоподстройки (ифап).
- •2.2. Плотность распределения вероятности рассогласования.
- •10 (Штриховая линия),
- •20 (Штрих - пунктирная линия линия),
- •30 (Пунктирная линия).
- •10 (Штрих - пунктирная линия),
- •20 (Штриховая линия),
- •30 (Пунктирная линия).
- •3 (Пунктирная линия),
- •4 (Штрих - пунктирная линия),
- •5 (Штриховая линия).
- •5 (Пунктирная линия),
- •10 (Штрих - пунктирная линия),
- •15 (Штриховая линия).
- •2.3. Анализ срыва слежения.
- •2.3.1. Расчёт среднего времени до срыва слежения.
- •2.3.2. Расчёт вероятности срыва слежения.
- •2 (Сплошная линия),
- •4 (Штриховая линия) и
- •8 (Штрих - пунктирная линия).
- •Глава 3. Сравнительный анализ цифровых систем синхронизации.
- •3.1. Структура математической модели цсс.
- •3.2. Схема Холмса.
- •3.3. Схема Осатаке-Огавы.
- •3.4. Схема Кессны - Леви.
- •3.4.1. Фильтр случайных блужданий.
- •Глава 4. Цифровые системы синхронизации с перестраивающимися параметрами.
- •4.1. Структура модели цсс.
- •4.2. Модель схемы Кессны - Леви.
- •4.3. Цсс с перестроением параметров.
- •4.3.1. Целевая функция.
- •4.3.2. Принцип построения системы.
- •4.3.3. Реализация системы.
- •4.4. Полоса захвата системы с постоянными параметрами.
- •4.5. Применение цсс с перестроением параметров.
- •Глава 5. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй.
- •5.1. Математическая модель устройства квантования.
- •5.2. Статистические характеристики ошибки квантования.
- •5.3. Модель с одной петлёй.
- •5.4. Спектральные характеристики при постоянном входном воздействии.
- •5.5. Моделирование работы при постоянном входном воздействии.
- •Список использованных источников
5.3. Модель с одной петлёй.
В предыдущем разделе была изложена идея добавления к входному сигналу белого шума, тем самым размывая спектр ошибки квантования по всему диапазону частот. В основе конструкции лежит метод, согласно которому ошибку квантования, которая по предположению является БШ, добавляют к входному сигналу аналогично (5.22), тем самым обеспечивая её же размывание по частоте. Структурная схема подобной модели изображена на рис. 5.3. Элемент задержки введён в схему для того, чтобы она соответствовала работе реального АЦП, потому что это устройство является тактируемым. Изменение полярности ошибки применяется для удобства.
Рис. 5.3. Основа конструкции .
Из рис. 5.3 можно получить разностное уравнение
. (5.23)
На рис. 5.4 приведена наиболее распространённая структурная схема с одним кольцом, которая легко получается из схемы на рис. 5.3 с помощью преобразований сумматоров [22]. На входе схемы расположен вычитатель квантованного сигнала из входного . После вычитателя расположен цифровой интегратор, выделенный штриховой линией. После интегратора сигнал подвергается квантованию и затем через кольцо обратной связи поступает на вычитатель.
Рис. 5.4. Структурная схема .
Из (5.2) получим выражения
, . (5.24)
Тогда с помощью (5.23), (5.24) получим
. (5.25)
Таким образом, на выходе сигнал представляет собой смесь задержанного входного сигнала и разности ошибок квантования за текущий такт и предыдущий. Основная задача анализа уравнения (5.25) состоит в исследовании спектра ошибки, т.к. для её устранения необходима фильтрация.
При условии (5.6) с учётом (5.23) ошибка преобразуется к виду
. (5.26)
Формула (5.26) представляет собой рекурсивное уравнение ошибки.
Обозначим начальные условия и сделаем замену
. (5.27)
Поскольку в определении участвует лишь дробная часть, т.е. , то в скобках можно прибавить 1. Тогда из (5.27) получим
. (5.28)
При этом .
Из (5.28) находим
. (5.29)
Ошибка квантования по (5.27), (5.29) имеет вид
. (5.30)
Стоит отметить, что выражение (5.30) по своей структуре аналогично (5.6), поэтому, произведя замену
, (5.31)
получим аналог (5.6), т.е.
. (5.32)
При этом в является аналогом в АЦП, т.е. является интегратором суммы входного сигнала и константы .
5.4. Спектральные характеристики при постоянном входном воздействии.
Рассчитаем статистические характеристики сигнала ошибки при для , причём не вызывает переполнения и в общем случае является иррациональным числом [24-26]. Стоит отметить, что в случае рационального , например , ошибка является периодической функцией с заранее известным периодом. Поскольку сигнал является медленно изменяющейся функцией, то условие передискретизации выполняется.
Из (5.31), (5.32) следует, что с каждым тактом дискретизации возрастает на величину , т.е. имеет место линейная зависимость
, (5.33)
где . Тогда из (5.18) с учётом (5.33) получим характеристическую функцию сигнала в виде
. (5.34)
Поскольку для экспоненты справедливо равенство
,
которое означает, что аргумент, кратный , не влияет на результат вычисления, то из (5.34) получим
. (5.35)
В работе [29] показано, что для интегрируемой функции справедливо равенство
при условии, что является иррациональным числом, а - действительным. Такое равенство вполне понятно интуитивно, т.к. - генератор равномерно распределённой случайной величины (СВ) на интервале , а - математическое ожидание на заданном интервале.
Поэтому из (5.35) получим
. (5.36)
Причём можно найти из выражения (5.35).
Тогда из (5.20) для получим
, . (5.37)
Из (5.37) следует, что среднее значение и мощность ошибки такие же, как у равномерно распределённой СВ, т.е. соответствуют характеристикам шума квантования в обычном устройстве квантования. Остаётся лишь найти её спектральные характеристики.
Из (5.19) находим
, (5.38)
Тогда из (5.33) получим
. (5.39)
Таким образом, выражение (5.39) преобразуется к виду
. (5.40)
С помощью (5.21) находим корреляционную функцию (КФ) ошибки в виде
. (5.41)
. (5.42)
Как известно, по теореме Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности (СПМ) связаны парой преобразований Фурье, поэтому выражение (5.42) представляет собой синтез КФ по гармоникам с частотами и мощностями согласно (5.7).
. (5.43)
Из (5.42) следует, что спектр ошибки является дискретным и периодическим.
Поскольку условие т. Котельникова не выполняется для спектра ошибки, т.е. имеет место перекрытие, то при рассмотрении области частот следует учитывать влияние копий спектра. Поэтому в заданном диапазоне гармоники находятся на частотах
при . (5.44)
Таким образом, положение гармоник в спектре ошибки зависит только от амплитуды входного сигнала.