- •Динамика Лекция 1
- •Введение
- •Аксиомы классической механики
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения точки.
- •Основные задачи динамики
- •Основные виды прямолинейного движения точки
- •Лекция 2
- •Свободные колебания без сопротивления
- •Понятие о фазовой плоскости
- •Свободные колебания в поле постоянной силы
- •Параллельное включение упругих элементов
- •Последовательное включение упругих элементов
- •Вынужденные колебания без сопротивления
- •Свободные колебания с вязким сопротивлением
- •Вынужденные колебания с вязким сопротивлением
- •Лекция 3
- •Общие теоремы динамики точки
- •Количество движения точки
- •Элементарный и полный импульс силы.
- •Теорема об изменении количества движения точки.
- •Момент количества движения точки.
- •Теорема об изменении момента количества движения точки.
- •Работа силы. Мощность.
- •Кинетическая энергия точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •Принцип Даламбера для материальной точки
- •Лекция 4
- •Динамика несвободной материальной точки
- •Принцип освобождаемости от связей
- •Относительное движение материальной точки
- •Частные случаи относительного движения
- •Лекция 5
- •Введение в динамику системы
- •Геометрия масс
- •Моменты инерции
- •Моменты инерции простейших тел
- •Лекция 6
- •Общие теоремы динамики системы и твердого тела Количество движения системы.
- •Теорема об изменении количества движения системы.
- •Законы сохранения количества движения.
- •Теорема о движении центра масс.
- •Момент количества движения системы.
- •Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
- •Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •Законы сохранения момента количества движения.
- •Кинетическая энергия системы.
- •Кинетическая энергия твердого тела.
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.
Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.
Теорема об изменении момента количества движения системы.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.
(6.3)
Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для точки имеет вид:
,
Сложим все уравнений и получим:
или ,
что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.
Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:.
(6.4)
Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс. (без доказательства)
Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.
Законы сохранения момента количества движения.
1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю ( ), то момент количества движения системы относительно точки постоянен по величине и направлению.
2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю ( ), то момент количества движения системы относительно этой оси является постоянной величиной.
Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.
Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.
Доказательство: Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно.
, - радиус-вектор и абсолютная скорость точки соответственно;
, - радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;
, - радиус-вектор точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.
, (так как переносное движение поступательное)
Так как , то
или
Кинетическая энергия твердого тела.
Поступательное движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.
, - скорость любой точки твердого тела
Вращение тела вокруг неподвижной оси.
Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
, - угловая скорость вращения твердого тела.
Плоское движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..
, - скорость центра масс твердого тела, - угловая скорость вращения твердого тела.