- •Динамика Лекция 1
- •Введение
- •Аксиомы классической механики
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения точки.
- •Основные задачи динамики
- •Основные виды прямолинейного движения точки
- •Лекция 2
- •Свободные колебания без сопротивления
- •Понятие о фазовой плоскости
- •Свободные колебания в поле постоянной силы
- •Параллельное включение упругих элементов
- •Последовательное включение упругих элементов
- •Вынужденные колебания без сопротивления
- •Свободные колебания с вязким сопротивлением
- •Вынужденные колебания с вязким сопротивлением
- •Лекция 3
- •Общие теоремы динамики точки
- •Количество движения точки
- •Элементарный и полный импульс силы.
- •Теорема об изменении количества движения точки.
- •Момент количества движения точки.
- •Теорема об изменении момента количества движения точки.
- •Работа силы. Мощность.
- •Кинетическая энергия точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •Принцип Даламбера для материальной точки
- •Лекция 4
- •Динамика несвободной материальной точки
- •Принцип освобождаемости от связей
- •Относительное движение материальной точки
- •Частные случаи относительного движения
- •Лекция 5
- •Введение в динамику системы
- •Геометрия масс
- •Моменты инерции
- •Моменты инерции простейших тел
- •Лекция 6
- •Общие теоремы динамики системы и твердого тела Количество движения системы.
- •Теорема об изменении количества движения системы.
- •Законы сохранения количества движения.
- •Теорема о движении центра масс.
- •Момент количества движения системы.
- •Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
- •Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •Законы сохранения момента количества движения.
- •Кинетическая энергия системы.
- •Кинетическая энергия твердого тела.
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Лекция 2
Краткое содержание: Свободные колебания без сопротивления. Понятие о фазовой плоскости. Свободные колебания в поле постоянной силы. Параллельное включение упругих элементов. Последовательное включение упругих элементов. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс. Свободные колебания с вязким сопротивлением. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.
Свободные колебания без сопротивления
Существуют устройства (упругие элементы), которые создают силу пропорциональную их удлинению. , Эту силу называют восстанавливающей или центральной силой. Коэффициент пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.
Дифференциальное уравнение движения точки с массой , закрепленной на упругом элементе, имеет вид:
Рис. 2-1
или , где
Начальные условия имеют вид: при , .
Это дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки без сопротивления.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Корни характеристического уравнения равны:
Решение имеет вид:
- амплитуда колебаний;
- круговая или циклическая частота колебаний (собственная частота). Измеряется в
- фазовый угол (или просто фаза).
- период колебаний.
- частота колебаний (1 кол./cек=1 Гц)
Рис. 2-2
Движение материальной точки – это свободные гармонические колебания с постоянной амплитудой. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий и круговой частоты.
Понятие о фазовой плоскости
Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.
Состояние системы в любой фиксированный момент времени определяется парой соответствующих значений и и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат , , если откладывать по оси абсцисс координату , а по оси ординат –скорость . Такая плоскость называется фазовой.
В процессе движения рассматриваемой системы величины и изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.
Для построения фазовой траектории при заданном законе движения нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости , а затем исключить время из двух уравнений: , .
Функция и описывает фазовую траекторию данного движения.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.
Совокупность фазовых траекторий , которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.
Для свободных гармонических колебаний , а . Исключая из этих выражений время получаем
.
Это уравнение эллипса. Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты.
Рис. 2-3