- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
42
Замечание. Говорят, что линия является линией 1-го или 2-го порядка, если она описывается алгебраическим уравнением 1-го или соответственно – 2-го порядка.
§2. Прямая на плоскости
2.1Общее уравнение прямой и его исследование
Выведем уравнение прямой линии в Декартовой системе координат. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую l . Пусть даны некоторая ее
точка M0 ( x0 ; y0 ) |
и вектор N = {A; B }, N l (рис. 2.2). Этот вектор называ- |
||||
ется нормальным вектором прямой l . |
|
|
|||
Точка M0 |
и вектор N полностью определяют положение прямой l на |
||||
плоскости xOy . |
|
Пусть M ( x ; y) |
– любая точка прямой |
||
y |
|
||||
|
→ |
|
|
||
|
|
l . M0 M = {x − x0 ; y − y0 }. По |
условию |
||
M |
r |
N l . Поэтому |
|
|
|
|
N |
r |
→ |
|
|
|
|
N M0 M = 0 . |
(1) |
||
M0 |
Уравнение (1) называется векторным урав- |
||||
O |
|
нением прямой l . |
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
Выражая скалярное произведение век- |
|||
Рис. 2.2 |
→ |
|
|
||
торов N и M0 M в соотношении (1) в коор- |
|||||
динатном виде, получим |
|||||
|
|
|
|||
|
|
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 . |
|
(2) |
Полученное уравнение является уравнением прямой l , т.к. координаты лю-
бой точки M l удовлетворяют ему, а если точка плоскости M1 (x1; y1 ) |
не |
лежит на прямой l , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2), |
т.к. |
→ |
|
вектор M0 M1 в этом случае не перпендикулярен вектору Nr . |
|
Формула (2) – уравнение прямой, проходящей через данную точку пер- |
|
пендикулярно заданному вектору. |
|
Раскроем скобки в уравнении (2). Получим |
|
Ax + By + C = 0 , |
(3) |
где C = −Ax0 − By0 . |
|
Уравнение прямой в плоскости xOy является уравнением первой степени относительно x и y .
Покажем и обратное, что любое уравнение 1-й степени Ax + By + C = 0 есть уравнение некоторой прямой, лежащей в плоскости xOy .
43
Действительно, в уравнении (3) A ≠ 0 или B ≠ 0 (иначе C = 0 ). Пусть например, B ≠ 0. Тогда (3) можно записать в виде
A(x − 0) + B( y +CB) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку (0; −CB) , перпендикулярно вектору Nr = {A; B }.
Итак, любое уравнение 1-й степени определяет на плоскости прямую.
Определение. Уравнение (3) называют общим уравнением прямой на плоскости.
Коэффициенты A , B , C позволяют определить положение прямой на плоскости.
Если C = 0 , прямая проходит через начало координат.
Если A = 0 , прямая параллельна оси Ox , если B = 0 , прямая параллельна оси Oy .
2.2 Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой
Рассмотрим на плоскости xOy произвольную прямую l (рис. 2.3). Ее
y |
|
|
положение полностью определяется задани- |
|||||
|
|
ем какой-либо ее точки M0 (x0 ; y0 ) и вектора |
||||||
|
|
|
s = {m; n }, параллельного этой прямой, или |
|||||
M |
sr |
|
лежащего на ней. Вектор sr |
называется на- |
||||
|
|
|
правляющим вектором прямой l . |
|||||
|
M0 |
|
Пусть M ( x ; y) – произвольная точка |
|||||
|
|
|
|
|
|
→ |
||
O |
|
x |
прямой l . Тогда вектор M |
0 M коллинеарен |
||||
|
вектору s и значит имеем уравнение |
|||||||
|
|
|
||||||
|
Рис. 2.3 |
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
(4) |
|
|
|
m |
n |
||||
|
|
|
|
Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
2.3Уравнение прямой, проходящей через данную точку
взаданном направлении. Пучок прямых
Пусть дана прямая l , принадлежащая плоскости xOy , пересекающая ось Ox в точке A (рис. 2.4).
y |
|
l |
Углом α между осью Ox и прямой l |
|
|
называют наименьший угол, на который |
|||
|
|
|
нужно повернуть вокруг точки A против ча- |
|
|
|
α |
совой стрелки ось Ox до совпадения ее с |
|
|
|
прямой. Если прямая параллельна оси Ox |
||
O |
A |
x |
||
или совпадает с ней, то α = 0 . |
Рис. 2.4
44
Рассмотрим прямую l , принадлежащую плоскости xOy , непараллельную оси Oy . Ее положение вполне определяется заданием угла α между
осью Ox и прямой l и точки M0 (x0 ; y0 ) , лежащей на прямой. В качестве на- |
|||||
правляющего вектора sr возьмем единичный вектор |
sr = cosα ir + cos β j . |
||||
Т.к. cos β = cos(90o −α) = sinα , то s = {cosα ; sinα }. |
|
||||
Имеем |
|
|
|
||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
– каноническое уравнение прямой l . |
|
|
|
|
|||
|
cosα |
sinα |
|
||
Отсюда |
|
|
|
||
|
y − y0 = tgα (x − x0 ) , или |
|
|||
|
y − y0 = k ( x − x0 ) . |
(5) |
Формула (5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
k – угловой коэффициент прямой l .
Замечание. Если прямая l параллельна оси Oy (α = 90o ), то для нее угловой коэффициент не определен и уравнение прямой не может быть записано в виде (5).
Определение. Множество всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку M0 этой плоскости, называется пучком прямых, а
точка M0 – центром пучка.
Уравнение (5), в котором k принимает всевозможные значения, определяет пучок прямых с центром в точке M0 (x0 ; y0 ) за исключением прямой
x = x0 .
2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть точки M0 (x0 ; y0 ) и M1 (x1; y1 ) лежат на прямой l . Тогда можно
определить прямую l . Действительно, |
пусть sr |
= M |
→ |
|
= {x − x |
; y − y |
|
}. |
|||||||||
0 |
M |
1 |
0 |
||||||||||||||
Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
− x |
0 |
|
y |
− y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (6) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
2.5 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть дана прямая, составляющая угол α с осью Ox и пересекающая ось Oy в точке B(0;b) . Тогда из уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
y |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y0 = k ( x − x0 ) |
|
|
|
|
имеем уравнение |
|
|
|
|||||||||||
|
B(0; b) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = kx + b . |
|
(7) |
||
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(7) – уравнение прямой с угловым коэффи- |
|||||||||||||
O |
|
x |
|||||||||||||
|
циентом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||
Рис. 2.5 |
|
|
|
Число |
определяет отрезок, |
отсекае- |
|||||||||
|
мый прямой l |
|
на оси Oy (рис. 2.5). |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть даны прямые l1 и l2 , которые пересекаются в точке M (рис. 2.6). |
|||||||||||||||
y |
l2 |
|
Их уравнения |
|
|
|
|||||||||
l1 |
|
|
|
l1 : |
|
|
|
y = k1x + b1 , |
|
|
|
||||
|
α2 |
|
|
|
l2 : |
|
|
|
y = k2 x + b2 . |
|
|
||||
|
ϕ |
|
|
|
|
Найдем tgϕ . |
|
|
|
||||||
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Пусть прямая l1 образует с осью Ox |
||||||||||
|
M |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
угол α1 , |
а |
|
прямая l2 |
– угол α2 . Тогда |
||||||||
O |
|
|
ϕ =α2 −α1 , следовательно, |
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgα2 − tgα1 |
|
||
Рис. 2.6 |
|
|
|
|
tgϕ = tg (α2 −α1 ) = |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tgα2 tgα1 |
||
|
|
|
|
|
k2 − k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
tgϕ = |
|
|
|
|
. |
|
(8) |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ k |
2 |
k |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если прямые l1 |
и l2 параллельны, то α1 =α2 , следовательно, |
k1 = k2 и |
|||||||||||||
наоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство k1 = k2 – признак параллельности прямых l1 и l2 .
Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то формула (8) теряет смысл.
Однако |
|
1 + tgα2 tgα1 |
|
1 + k2 k1 . |
ctgϕ = ctg (α2 |
−α1 ) = |
= |
||
|
|
tgα2 − tgα1 |
|
k2 − k1 |
ctg 90o = 0 , следовательно,
k1 k2 = −1 – признак перпендикулярности прямых l1 и l2 .
2.6 Уравнение прямой в отрезках
Предположим, что в общем уравнении прямой Ax + By +C = 0 коэф-
фициенты A , B , C отличны от нуля. Перенесем C в правую часть уравнения и разделим обе части полученного уравнения на −C . Получим
−AC x + −BC y =1.