- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
Обозначив |
− C |
= a , − C |
= b , придем к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
=1. |
|
|
|
|
|
(9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(0;b) |
|
|
|
Уравнение (9) называется уравнени- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ем прямой в отрезках. Это название объ- |
||||||||||||||||
b |
|
|
|
ясняется тем, что числа a и b определяют |
||||||||||||||||
|
|
|
|
отрезки, которые прямая отсекает на осях |
||||||||||||||||
O |
|
|
A(a ; 0) |
координат, |
считая |
от |
|
начала координат |
||||||||||||
a |
|
x |
(рис. 2.7). Такой вид уравнения удобен для |
|||||||||||||||||
|
|
|
построения прямой. Заметим, что прямые, |
|||||||||||||||||
|
Рис. 2.7 |
|
параллельные координатным осям, и пря- |
|||||||||||||||||
|
|
мые, проходящие через начало координат, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
не могут быть описаны уравнениями в отрезках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2.7 Нормальное уравнение прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть на |
плоскости задана прямоугольная система координат Oxy . |
|||||||||||||||||||
y |
|
|
|
Рассмотрим на плоскости прямую l , |
для |
|||||||||||||||
|
|
|
которой известны точка M0 l и вектор |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
l |
|
|
|
нормали N0 , удовлетворяющий условиям: |
||||||||||||||||
|
M0 |
|
|
1) |
N0 |
– единичный, т.е. |
|
Nr0 |
|
=1; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Nr |
D |
|
|
2) |
N0 |
направлен от начала координат |
||||||||||||||
0 |
|
|
т.O в сторону прямойrl |
(рис. 2.8). |
то |
|||||||||||||||
α |
|
|
|
Т.к. |
|
вектор |
|
N0 |
единичный, |
|||||||||||
|
x |
N0 = {cosα ; sinα }, |
где |
α |
|
– |
угол между |
|||||||||||||
O |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Рис. 2.8 |
|
вектором |
N0 и осью Ox . |
Тогда согласно |
|||||||||||||||
|
|
(2) |
данная |
прямая |
будет |
описываться |
||||||||||||||
уравнением |
|
|
||||||||||||||||||
|
(x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) sinα = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x cosα + y sinα − p = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где p = x0 cosα + y0 sinα .
Уравнение (10) называется нормальным или нормированным уравнени-
ем прямой на плоскости. Установим геометрический смысл числа p . Из рис. 2.8:
→ |
r |
|
|
→ |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p = x0 cosα + y0 sinα = OM0 |
N0 |
= |
|
OM0 |
|
N0 |
cosϕ , |
||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ϕ – угол между векторами OM0 и N0 . Но |
|
N0 |
|
=1. Отсюда |
47
p = OM0 cosα = OD .
Таким образом, p численно равно расстоянию от начала координат т.O до прямой l .
Замечание. Для того, чтобы общее уравнение прямой Ax + By +C = 0 привести к нормальному виду (10), необходимо умножить его почленно на нор-
мирующий множитель μ = ± |
1 |
. Знак нормирующего множителя вы- |
A2 + B2 |
||
бирается противоположным знаку свободного члена C . |
||
2.8 Расстояние от точки до прямой |
||
Пусть на плоскости |
Oxy заданы прямая Ax + By +C = 0 и точка |
M1( x1; y1 ) . Найдем расстояние d от точки M1 до данной прямой. Обозначим через M0 (x0 ; y0 ) основание перпендикуляра, опущенного из т. M1 (x1; y1 ) на
прямую l (рис. 2.9). Искомое расстояние d равно длине этого перпендикуляра, т.е.
y |
|
|
|
|
d = |
|
M0 M1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рассмотрим скалярное произведение век- |
|||||||||||
l |
N |
|
|
|||||||||||
|
тора |
→ |
и нормального |
вектора прямой |
||||||||||
|
|
M1 |
M0 M1 |
|||||||||||
|
|
N = |
{A; B }. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M 0 |
|
|
По определению скалярного произведения |
||||||||||
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
x |
→ |
r |
|
|
→ |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рис. 2.9 |
|
|
M0 M1 N = |
M0M1 |
|
|
|
N |
|
cosϕ , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ϕ – угол между векторами M0 M1 |
и N . Т.к. эти векторы коллинеарны, то |
|||||||||||||||||||
угол между ними равен либо 0, либо π . Отсюда |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
→ |
|
r |
|
|
|
→ |
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
M0 M1 N = |
|
|
M0 M1 |
|
N |
|
(±1) |
= ±d |
N |
. |
|
||||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→ |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ By1 −( Ax0 + By0 ) . |
|||
M0 M1 N = A(x1 − x0 ) + B( y1 − y0 ) = Ax1 |
||||||||||||||||||||
Но точка M0 (x0 ; y0 ) |
лежит на прямой l , |
поэтому ее координаты удовлетво- |
||||||||||||||||||
ряют уравнению этой прямой: |
|
Ax0 + By0 +C = 0 . Отсюда Ax0 + By0 = −C . |
||||||||||||||||||
Учитывая это, получим |
|
|
→ |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= Ax1 + By1 +C , |
|
|||||||||||||
откуда |
|
|
|
M0 M1 N |
|
|||||||||||||||
|
Ax |
+ By +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax1 + By1 +C |
|
||||||||
|
d = ± |
|
|
|
|
|
d = |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
r |
1 |
|
, |
или |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|