- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
48
§3. Плоскость
3.1Общее уравнение плоскости
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz .
Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость α , для которой известны точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и вектор n = {A; B; C }, перпендикулярный плоскости. Вектор n называется нормальным вектором плоско-
сти. Положение плоскости α |
в пространстве вполне определяется точкой |
||
M0 и вектором n (рис. 2.10). |
Действительно, пусть M (x; y ; z) |
||
z |
|
|
|
|
|
произвольная точка плоскости α . Оче- |
|
|
α |
r |
видно, что точка M лежит в данной |
M 0 |
|
плоскости тогда и только тогда, когда |
|
|
n |
→ |
|
|
|
|
векторы M0 M и n перпендикулярны, а |
Mзначит их скалярное произведение равно нулю:
O |
y |
|
→ |
r |
= 0 . |
(1) |
x |
|
→ |
M0 M n |
|||
|
{x − x0 ; y − y0 ; z − z0 }, |
а |
||||
|
|
Т.к. M0 M = |
||||
|
Рис. 2.10 |
n = {A; B; C }, |
то |
из |
соотношения |
(1) |
получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 , |
|
|
(2) |
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Раскроем в уравнении (2) скобки и введем |
обозначение |
D = −( Ax0 + By0 +Cz0 ) . Тогда уравнение (2) примет вид |
|
Ax + By +Cz + D = 0 . |
(3) |
Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (3), т.е. уравнением первой степени относительно текущих координат x , y и z .
Обратно: очевидно, что в уравнении (3), по крайней мере, один из коэффициентов A , B , C не равен нулю. Предположим для определенности, что B ≠ 0 . Тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом:
A(x −0) + B( y + D B) +C(z −0) = 0 . |
(4) |
Уравнение (4) равносильно уравнению (3) и определяет в пространстве
плоскость, проходящую через точку M1 (0; − D B; 0) и перпендикулярную вектору nr = {A; B; C }.
Итак, можно сделать вывод, что всякое уравнение вида (3), т.е. уравнение первой степени относительно текущих координат x , y и z , определяет в
пространстве некоторую плоскость.
49
Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.
3.2 Неполные уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости (3) называется полным, если все его коэффициенты A , B , C , D отличны от нуля. В противном случае его называют
неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1) |
D = 0 ; уравнение Ax + By +Cz = 0 определяет плоскость, проходя- |
||
щую через начало координат. |
|
|
|
2) |
A = 0 ; уравнение By +Cz + D = 0 |
определяет плоскость, |
параллель- |
ную оси Ox . Аналогично, уравнение |
Ax +Cz + D = 0 ( B = 0 ) |
определяет |
|
плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение Ax + By + D = 0 |
( C = 0 ) – |
||
плоскость, параллельную оси Oz . |
|
|
|
3) |
A = B = 0 ; уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную |
||
плоскости Oxy . Аналогично, уравнение |
Ax + D = 0 ( B = C = 0 ) |
определяет |
|
плоскость, параллельную плоскости Oyz , а уравнение By + D = 0 |
( A = C = 0 ) |
–плоскость, параллельную плоскости Oxz .
4)A = B = D = 0 ; уравнение Cz = 0 определяет координатную плоскость Oxy . Аналогично, уравнение Ax = 0 ( B = C = D = 0 ) определяет координат-
ную плоскость Oyz , |
а уравнение |
|
By = 0 |
|
|
( A = C = D = 0 ) – координатную |
||||||||||||||||||||||
плоскость Oxz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3 |
Уравнения плоскости в отрезках |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим полное уравнение (3). Т.к. в таком уравнении ни один из |
|||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов A , B , |
C , D не равен нулю, то его можно переписать в виде |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
y |
|
+ |
|
z |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− |
|
D |
|
− |
|
D |
|
− |
|
D |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
Полагая |
|
для |
|
|
краткости − D = a , |
− D = b , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
c |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
= c , получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
|||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
=1. |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(5) |
называется уравнением |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
плоскости в отрезках и удобно для построения |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Рис. 2.11 |
|
плоскости (рис. 2.11). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
50
3.4 Нормальное уравнение плоскости
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz
(рис. 2.12). Рассмотрим в пространстве неко- z торую плоскость α , для которой заданы точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и нор-
αмальный вектор n0 , удовлетворяющий услови-
M0 |
|
ям: |
n0 |
– единичный, т.е. |
|
nr0 |
|
=1; |
|
nr0 |
|
1) |
|
|
|||||
|
2) |
n0 |
направлен от начала координат т. O |
||||||
O |
y |
в сторону плоскости. |
вектор, то |
||||||
x |
|
Т.к. |
n0 |
– |
единичный |
||||
|
n0 = {cosα ; cos β ; cosγ }. Тогда из уравнения |
||||||||
Рис. 2.12 |
|
||||||||
|
(2) получаем |
|
|
|
|
|
|||
(x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) cos β + (z − z0 ) cosγ = 0 . |
|
||||||||
Последнее уравнение можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 , |
(6) |
|||||||
где p = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ . |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (6) называется нормальным или нормированным уравнением плоскости. Значение p равно расстоянию от начала координат т.O до плос-
кости.
Замечание. Для |
того, |
чтобы |
общее |
уравнение |
плоскости |
||
Ax + By +Cz + +D = 0 |
привести к нормальному виду (6), необходимо умно- |
||||||
жить его почленно на нормирующий множитель μ = ± |
|
1 |
. Знак |
||||
A2 + B2 +C2 |
нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена D .
3.5Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности
ипараллельности двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости α и β , заданные соответственно уравне-
ниями
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 .
Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 2.131). Угол ϕ между нор-
мальными векторами данных плоскостей nα и nβ , очевидно, равен одному из
указанных смежных двугранных углов. Поэтому косинус угла между плоскостями α и β определяется формулой