4.10. Определение массы квазичастицы

Умножая обе части уравнения (4.46) на ħ, получим

ħ (4.64)

С другой стороны согласно (4.58)

( (4.65) Из совпадения левых частей уравнений (4.64) и (4.65) следует, что

(4.66) Из (4.66) видно, что масса квазичастицы тем больше, чем больше квантовые числа , , . Запишем ещё одну характеристику квазичастицы – модуль её квазиимпульса

(4.67)

В классической физике понятие квазичастицы, которая соответствует плоской волне определённой природы, ввести невозможно. Действительно, полагая в формулах (4.65), (4.66), (4.67) величину , получим

(4.68)

Запишем ещё одну характеристику плоской волны – волновое число

(4.69)

4.11. Связь энергии квазичастицы с фазовой скоростью соответствующей ей плоской волны

Связь энергии квазичастицы с фазовой скоростью соответствующей ей плоской волны дана в (4.57). Полагая в (4.57) , где - скорость плоской электромагнитной волны в вакууме, получим связь между энергией фотона и фазовой скоростью плоской электромагнитной волны [24]

(4.70) Упругие волны бывают продольные и поперечные и распространяются в среде с различной скоростью, поэтому имеет смысл ввести два типа фононов: «поперечные» и «продольные фононы [26]. Полагая в (4.57) и , где и - фазовые скорости соответственно продольной и поперечной упругих волн, получим

(4.71)

4.12. Число степеней свободы квазичастицы

Из определения волновой функции для плоской волны в (4.27) следует, что для неё необходимо задать два вектора: радиус-вектор и волновой вектор . Задание этих векторов определяет в пространстве волновую поверхность в (4.10). Таким образом, плоская волна независимо от её природы имеет шесть степеней свободы . Очевидно, это же число степеней свободы следует приписать и квазичастице, которая соответствует данной плоской волне. Следовательно, фотон и два типа фононов имеют по шесть степеней свободы. Это уже было показано в работе [27] из других соображений.

4.13. Переход от квантового описания плоской волны к квазиклассическому

Этот переход можно осуществить, полагая в (4.52) и (4.30)

(4.72)

Тогда получим

(4.73) Величина в (4.85) представляет собой число квантовых состояний плоской волны с волновым числом в объёме в случае квазиклассического приближения. Учитывая, что в этом приближении величины и являются непрерывными, продифференцируем выражение в (4.73). Получим

(4.74)

Величина представляет собой элементарное число квантовых состояний плоской волны в объёме в квазиклассическом случае, если квантовое число её взято из интервала , а величина волнового числа заключена в интервале . Соотношение (4.74) было получено ещё ранее из других соображений в работе [27].