2785.Теоретические основы переработки полимеров

/70,-2 + 0 — 2 P ) ° / - i — °7— l

Уравнения (9.4-27) эквивалентны уравнениям (9.4-22). Тридиагональная матрица А в левой части уравнения (9.4-23)

определена, если выбраны приращение Д£ вдоль оси х и приращение времени Дт. Начальное значение вектора-столбца матрицы 0 из­ вестно из начального условия [уравнение (9.4-9а)]: 0,=i = 1. Сле­ довательно, решая систему алгебраических уравнений, получим температуру 0* через промежуток времени Дт. Затем надо повторить процедуру, заменив 0 в уравнении (9.4-23) на предварительно полу­ ченное 0* и вычислить новое 0* для времени 2 Дт и т. д. Эта вычис­ лительная процедура носит название метода Эйлера, и ее называют явной.

Таким образом, оказывается, что решение уравнения в частных производных получают путем повторных решений системы алгебраи­ ческих уравнений.

В методе Эйлера 0* при т + Дт получают из 0,- при т путем экстраполяции производной по времени. Использование главного значения производной по времени между т и т + Дт, т. е. «централь­

ной» производной, могло бы дать	большую точность. Это			сделано
в методе Кранка—Никольсона [14]. Так, можно записать:
о; = е, + .	dQi	rf0*	Дт	(9.4-28)
	dx +	dx
Подставляя (9.4-18) в (9.4-20) и (9.4-28)			и выполняя некоторые
преобразования, получим систему алгебраических уравнений:
В0 =	С0*			(9.4-29)

Здесь В и С — две тридиагональные матрицы коэффициентов, опре­

деляемые соответственно		как
-	р	р
J L		п	ч	р
2		(1 ~	Р)	2
в =				(9.4-30)
1 + Р		— Р
- " Г	(Н-Р)		~ т г
С =				(9.4-31)
I				Р
				2 1+ Р '

Использование этого метода не дает явного выражения для 0*, поэтому необходимо, чтобы тридиагональная система алгебраичеких уравнений разрешалась одновременно. Хотя вычисление по

272

неявному методу Кранка—Никольсона более сложно, им можно пользоваться при шагах больших размеров, так как он обладает большей устойчивостью при расчетах по сравнению с явным методом Эйлера. В дополнение к этим методам имеется неявный метод обрат­ ной прогонки О' Бриена [15], в котором используется запаздываю­ щая производная по времени, и поэтому этот метод устойчив при всех условиях.

Необходимо, чтобы значения Д£ и Дт были выбраны так, чтобы избежать нарушения второго закона термодинамики [4а]. Подобные нарушения приведут к нестабильности. Явный метод может дать нестабильные колебания, а метод Кранка—Никольсона — устой­ чивые колебания. Существует критическое значение /?, вне которого нестабильность зависит от общего числа узловых точек. Расчет по методу Эйлера при одной узловой точке устойчив (т. е. сходится), если р < 0,5; получает устойчивые колебания, если 0,5 < р < 1, и сопровождается неустойчивыми колебаниями при р > 1. Метод Кранка—Никольсона дает устойчивую сходимость для р < 1 и устойчивые колебания выше этого значения. При возрастании числа узлов граничное значение р для устойчивости метода Эйлера должно быть уменьшено. Поэтому для двух узловых точек оно равно 0,586 вместо 1 и для бесконечного числа узлов соответствует 0,5. Исходное значение р перед началом устойчивых колебаний при использовании метода Кранка—Никольсона должно быть соответственно умень­ шено с увеличением числа узловых точек.

Точность расчетов по методу Кранка—Никольсона больше, чем при использовании явного или чисто неявного методов, за исключе­ нием, конечно, случая, когда выбираются большие интервалы вре­ мени (большое значение р), при которых только чисто неявный метод

является устойчивым.

Прежде чем вернемся к примеру, рассмотрим результаты число­ вого решения уравнений (9.4-23) и (9.4-29). Примем I = 5, р = ,0,25. Уравнение (9.4-23) после подстановки первого приращения по вре­ мени будет иметь вид:

(0,5x1) + (0,5X1)
(0,25X1) + (0,5X1)		+	^0,25X1)
(0,25X1)	-Ь (0,5X1)	+	(0,25X1)
( (0,25X1)	+ (0,5X1)

Здесь 05* = 0, как это и следует из граничных условий. Интервал времени для выбранного р = 0,25 вычисляется из

уравнения (9.4-25):

При следующем приращении времени вектор-столбец матрицы 0 оказывается равным

0 =	1
	0,75

Новый вектор-столбец матрицы 0* может быть вычислен. Следо­ вательно, процедура вычисления имеет продолжение и даже для больших значений / может быть быстро реализована на ЭВМ.

Метод Кранка—Никольсона более сложен. Для тех же числовых значений получим следующее семейство алгебраических уравнений:

■0,75	0,25	о
0,125	0,75	0,125
0	0,125	0,75
0	0	0,125	0,75

1,25	- 0,25	0	0 \	/	0Г
0,125	1,25	-0,125	0	1 I	е2*
0	—0,125	1,25	-0 ,2 5		0з*
0	0	-0 ,1 2 5	1,25/ \ е *

После умножения матрицы на вектор получим уравнения, которые требуют совместного решения:

1,250* — 0,250*	= 1
—0,1250? + 1,250J +О,1250з*	=	1
— 0,1250* + 1,250з* — 0.' 256? =		1
— 0,1250? + 1,250?	=0,875

Имеется много методов совместного решения алгебраических уравнений. Одним из обычных методов является метод гауссовых исключений, при котором исключаются все члены, расположенные ниже главной диагонали. В данном случае первое уравнение умно­ жается на 0,1 и складывается со вторым, в связи с чем из получен­ ного уравнения исключается член 0? Продолжая подобную про­ цедуру, получим в результате набор следующих уравнений:

1,250?— 0,250;		1
1,2250;— 0,12503*	=	1,1
1,2370з* — 0,1250.? =		1.11224
	1,2370? =	0,98739

Эта процедура привела к сокращению числа неизвестных пере­ менных до двух в каждом уравнении, за исключением последнего, в котором сохранилась одна неизвестная. Следовательно, начиная

274

с 0*, можно таким образом найти все переменные. Результат имеет вид:

0,9996 '

0,9979

0* = 1 0,9798

0,7982

Как и прежде, результирующий вектор 0* становится исходным вектором 0 в последующей итерации. Ясно, что этот метод дает точ­ ный результат, но требует больших вычислений.

В дополнение к гауссову методу исключения имеются и другие прямые методы, такие, как правило Крамера и метод обращения матрицы. Эти вычислительные схемы дают результат решения только после конечного числа шагов. Если число уравнений велико, ста­ новятся более эффективными непрямые или итеративные методы решения, такие, как итерационный метод Гаусса—Зайделя и метод

релаксации

[16].

Возвращаясь к исходной задаче с переменными теплофизиче­

скими свойствами, используем для решения метод Кранка—Ни­

кольсона.

часть уравнения

(9.4-8) может

быть переписана как

Правая

д/г'

ае

,

а*о

(9.4-32)

as

•

as2

В терминах

метода

конечных

разностей

она

примет вид:

( - * * £ * - )

0/_1

20$ + 0/

(9.4-33)

(А?)2

~ ]

Д"6

1 \

Подставим преобразованное

таким образом уравнение

(9.4-8),

в котором правая часть заменена выражением (9.4-33), в уравне­

ние (9.4-28)

для

времени т

и т +

Дт и

получим:

(9.4-34)

в'е -с'е*

Матрицы

В'

и

С'

соответственно

равны:

В' =	т	Г 1 / & з — К \ р	[№ н +*]
	Р_		„ 1 Г / ^ э — £•>
				1	k'i ~ ki-1
			а'I-1		kI- 1 ~ Р
					(9.4-35)
С' =	_Р_
	2
		_ .а	У -	+ 1k§ „— \-Т + Р
		2	L		k'l-1
					(9.4-36)

Рис. 9.10. Температурные профили при отвер­ ждении ПЭВП в литьевой пресс-форме. Числа у кривых — значения параметра т.

Здесь а; и k\ рассчитываются в со­ ответствии с числовыми значениями температуры в узлах i в момент време­ ни т. Решение уравнения (9.4-34) не содержит принципиальных трудностей, оно решается так же, как и уравнение (9.4-29). Ясно, что для постоянных теп­

лофизических свойств а\ = 1 и

1-

Следовательно, матрицы В' и С' в уравнениях (9.4-35) и (9.4-36) сво­ дятся к матрицам В и С в уравнениях (9.4-30) и (9.4-31).

На рис. 9.10 представлены некоторые результаты расчетов тем­ пературных профилей, выполненных по методу Кранка—Николь- сона, для процесса отверждения в плоской литьевой пресс-форме при Т0 = 148,8 °С, Тг = 37,7°С и 7т =112,7°С [17].

В заключение необходимо отметить, что подобные процедуры расчета применяются и при других типах граничных условий (на­ пример, при конвекции и радиации), и, следовательно, первое и последнее уравнения в матрице коэффициентов принимают другие формы.

9.5. Движущиеся источники тепла

Теплопроводность при движущихся источниках тепла была детально изучена Розенталем [18] применительно к таким про­ цессам обработки металлов, как сварка, механическая обработка на станках, шлифование и непрерывная разливка. При переработке полимеров также приходится решать задачи теплопроводности с движущимися источниками тепла или холода. Примерами служат широко практикуемая сварка поливинилхлорида, непрерывная ди­ электрическая сварка полиолефинов, нагрев пленок и тонких листов под лампами инфракрасной радиации и нагрев или охлаждение непрерывных пленок или листов между валками. Эти процессы обычно носят стационарный или квазистационарный характер с под­ водом или отводом тепла в «точке» или вдоль «линии». Рассмотрим один частный случай, иллюстрирующий метод решения.

Пример 9.4. Непрерывный нагрев тонкого листа Пусть тонкий лист полимера, не ограниченный по длине, движется с постоян­

ной скоростью		V0 в сторону, противоположную положительному направлению
оси х (рис. 9.11).			Существует конвективный теплообмен листа с окружающей
средой,	температура которой Т = Та. В точке х == 0 находится плоский источник
тепла,	мощность		которого	на
единице	площади		поперечного
сечения	равна	q.	Можно	счи-

Рис. 9.11. Нагрев движущегося тонкого листа плоским тепловым источником.

тать, что источник тепла движется относительно листа. Однако более удобно иметь систему координат, не подвижную относительно источника. Таким образом,

цель состоит	в том, чтобы рассчитать профиль температуры			Т (л) вдоль оси х
и мощность	теплового	источника,	которая обеспечивала бы заданный максимум
температуры листа под		источником.	Примем, что толщина листа	невелика, поэтому

температура для некоторого значения х постоянна по сечению, и что теплофизичсские свойства материала листа не зависят от температуры.

Уравнение энергии для этой задачи	сводится	к виду:
dT	d2T
=	k ~dx2	(9.5-1)

Количество тепла Qv, которое участвует в обмене с окружающей средой, приходя­

щееся на	единицу	объема	листа,	равно:
			Qv = ^ - [ T ( x ) - T a]				(9.5-2)
где с и А — соответственно			периметр и площадь поперечного сечения.
Подставив уравнение (9.5-2) в (9.5-1) и использовав «избыточную температуру»
V (*) =	Т (х) — Та	вместо	Т (*),	получим:
		д2Т'		Ко	dT	т 2Г = О	(9.5-3)
		dx2		a	dx
где
				(	he \ 1/2		<9-5-4>
			m= U r )
Уравнение (9.5-3) должно быть решено в предположении, что граничные усло­
вия имеют вид:
				V (±оо) = 0			(9.5-5)
Уравнение (9.5-3) — это линейное					дифференциальное уравнение		второго по­

рядка, которое может быть решено путем введения дифференциального оператора

Dn = dn/dxn. С помощью	оператора Dn	уравнение запишется	так:
(	^ D - D	- т ^ Т ’ ^ О	(9.5-6)

Использование дифференциального оператора позволяет рассматривать это уравнение как обычное полиномиальное выражение. При V Ф 0 выражение в скоб­ ках должно быть равно нулю, и решение для D получим в виде:

(9.5-7)

Профиль температуры при этом описывается выражением

Г (х) = Л exp { [-5 Г + V m2 + ( т £ г ) 1 * )

(9.5-8)

+ Bi exp { i " f e ' ~ K m2+ (i£ -) ]*}

Так как нельзя одновременно удовлетворить обоим граничным условиям (9.5-5), за исключением тривиального случая Т' = 0, разобьем решение на две области:

Т' (*) = Bi exp |

[ | / я ! 2 +

) 2

§а”] * } * > °

(9 5 '9)

Т'(х) = A e x p | [ j / m 2 +

+ - g 5 - ] * )

(9.5-10)

Теперь при х = 0 оба уравнения должны давать одни и ют же результат, т. е. неизвестный максимум температуры. Поэтому получим:

	А — В,	--=Т'			= Т' (0)				(9.5-11)
	Значение Т'тах зависит от мощности теплового					источника. Тепло, которое соз-
	дается плоским "источником, передается по двум					направлениям: ж и —ж. Потоки
	..........		rmnvuuvr UQ \'пяинении					(9.5-9) И (9.5-1U).
						2	^0	1	(9.5-12)
	<7l = кТтгх [	/	-	+	( " Я Г )		2а	J
						2	V0 1		(9.5-13)
	<?2 = - * 7 - ш а х [ К т2			+	( " Й - )		2а	J
	Баланс тепла на поверхности раздела		записывается как						(9.5-14)
	Я=		1Яг 1+ 1Яг \
	сительно Т'тах дают:
	Тшах =								(9.5-15)

Таким образом, максимум избыточной температуры пропорционален мощности источника и снижается с увеличением скорости V0 и коэффициента теплопровод­ ности и с уменьшением коэффициента теплопередачи. Из уравнений (Q.5-10) и (9.5-9) можно сделать вывод о том, что из-за конвекции температура твердого материала снижается быстрее в направлении к источнику (в положительном направлении оси х и VQ< 0) и медленнее в направлении движения.

9«6.; Спекание

Твердые частицы, контактирующие друг с другом при повышен­ ных температурах, проявляют тенденцию к уменьшению общей пло­ щади поверхности путем коалесценции. Этот процесс называется спеканием [19]. Он обычно сопровождается уменьшением общего объема слоя макрочастиц. Как показано в разд. 4.1, уменьшение площади поверхности раздела приводит к изменению свободной поверхностной энергии. Поэтому поверхностное натяжение стано­ вится стимулирующей силой в процессе коалесценции. Процесс спекания при уплотнении развивается в две стадии: на первой происходит развитие поверхности раздела и перемычек между смеж­ ными частицами при незначительном изменении плотности, на вто­

рой — последующее уплотнение за счет исключения пустот внутри самой частицы.

Следует заметить, что спекание является результатом местного взаимодействия (включающего вязкое течение) между частицами. Поэтому на скорость процесса спекания сильное влияние оказывает температура в местах контакта частиц. Следовательно, процесс спекания обычно неотделим от процесса теплопередачи в сыпучих материалах, поэтому полученные ранее решения применимы, если

теплофизические характеристики заменить их «эффективными» зна­ чениями, как это сделано в гл. 5.

Рис. 9.12. Схематическое изображение первой ста­ дии процесса спекания.

Переработка металлических и кера­

мических порошков	путем спекания —
это старый, хорошо	отработанный техно­

логический процесс. При переработке полимеров плавление со спеканием применяется в таких процессах, как ротационное литье [20, 21 ] и порошковое напыление покрытий изделия. Кроме того, это практически единственный способ переработки политетрафтор­ этилена, так как высокая молекулярная масса этого полимера служит препятствием для применения других методов [22]. И, на­ конец, спекание возникает при уплотнении под большим давле­ нием, которое необходимо для плавления и формования термостой­ ких полимеров, таких, как полиимиды и ароматические полиэфиры, и физических смесей других, более традиционных полимеров [23, 241.

Идея вязкого спекания была развита Френкелем [25], который предложил следующее выражение для определения скорости коалесценции пары частиц сферической формы:

х*_	_ _2__Г		(9.6-1)
R	~	3 т|
где x/R < 0,3, х — радиус перешейка		(рис. 9.12);	R — радиус частиц; Г — по­
верхностное натяжение; ц — вязкость.

Это выражение справедливо для стеклянных и керамических материалов. Кузинский с сотр. [19], проводя опыты с полиметил­ метакрилатом, установил, что экспериментальные результаты могут быть описаны следующим эмпирическим уравнением:

( T£ W ) P - Г С П 1

(9.6-2)

где t — время спекания, F (Т) — функция температуры.

При р = 1 уравнение (9.6-2) сводится к уравнению Френкеля. Кузинский с сотр. получил это уравнение и теоретически, предпо­ ложив, что расплав является неньютоновской жидкостью, подчи­ няющейся степенному закону течения:

/ X у /П	1 / 8пГ у In	19* 3'
( — )	— ( — ) '

где п и m — постоянные степенной модели.

Поэтому параметр р в уравнении (9.6-2) имеет смысл реологи­ ческой величины. Для п = 1 уравнение (9.6-3) сводится к уравне­ нию Френкеля с поправками Эшелби [26]. Тем не менее поле потока на стадии процесса коалесценции, вероятно, не является ни гомо­ генным, ни изотермическим, поэтому полному анализу стадии коалесценцин должен предшествовать детальный анализ кинематики по­ тока. Кроме того, теоретический анализ должен быть основан на вязкоупругом уравнении состояния, потому что эффект вязкоупру­ гости, как предположил Лонз [22], может играть важную роль при

спекании полимерных материалов и должен учитываться при неизо­ термических условиях. Стадия коалесценции обычно считается за­ конченной, когда xIR достигает значения 0,5. Для последующей

стадии	уплотнения	Френкель	[25]	предложил	выражение
			_г__		(9.6-4)
			2цг0 1
Где Го — начальный радиус приблизительно				сферической полости, которая обра­
зуется иа	первой стадии;	г — радиус	полости через время		t.

При протекании процесса спекания, сопровождаемого и коалесценцией, и уплотнением, изменяются условия теплопередачи.

Ясно, что существенное изменение теплофизических свойств влияет на общее распределение температуры и, следовательно, на процесс спекания.

9.7. Плавление за счет теплопроводности при принудительном удалении расплава

Впредыдущих разделах были рассмотрены физические механизмы,

спомощью которых тепловая энергия передается к полимерному материалу, и ряд математических методов, позволяющих решать задачи теплопередачи. Были рассмотрены различные аспекты «плав­ ления за счет теплопроводности без удаления расплава», которое обычно имеет место при плавлении полуфабриката или конечного продукта или при их отверждении после стадии формования.

При решении задач неоднократно отмечалось, чтоГГТОток тепла и скорость плавления быстро уменьшаются по мере возрастания толщины слоя расплава. Отсюда логически следует, что скорость плавления может быть существенно увеличена, если непрерывно удалять образующийся слой расплава. Этот процессу как отмечалось в разд. 9.2,<£Ге только приводит к высокой скорости плавления, но и является основой создания устойчивого непрерывного потока расплава при плавлении, что в свою очередь предопределяет воз­ можность осуществления большинства важнейших методов формоващш изделий^. ,л

«Удаление расплава^ как это было установлено в разд. 9.1, воз­ можно в принципе за счет двух физических механизмов: течения, возникающего в результате трения стенок, и течения, вызванного нормальным давлением (рис. 9.2, б). При этом слой расплава под­ вергается^ сдвигу, сопровождающемуся диссипативным разогревом. Последний является важным дополнительным источником тепла при плавлении, темп которого можно регулировать изменением скорости движения ограничивающих стенок, вызывающих принудительное удаление расплава, или изменением внешней силы, которая прижи­ мает твердый материал к горячей поверхности и создает гидроста­ тическое давление, необходимое для удаления расплава. В обоих случаях внешняя механическая работа превращается в тепло. Этот источник тепла нельзя не учитывать, он может быть главным или единственным источником тепла в процессе плавления, напри-

280

мер, при автогенной червячной экструзии^ Инженер-конструктор должен проявить гибкость при выборе источника тепловой энергии для осуществления процесса плавления. И, наконец, непрерывное удаление расплава препятствует продолжительному контакту рас­ плава полимера с поверхностями (или областями), нагретыми до очень высоких температур.

С математической точки зрения задачи плавления за счет тепло­ проводности с принудительным удалением расплава являются более сложными, чем обычная задача плавления из-за того, что необходимо искать совместное решение уравнения количества дви­ жения и уравнения энергии. Более того, часто не удается четко определить граничные условия.

В следующих разделах будут проанализированы два важных механизма удаления расплава: за счет движения стенок и нормаль­ ного давления; Первый механизм преобладает в работе одночервяч­ ного экструдера, который является, вероятно, наиболее важным производственным оборудованием в настоящее время^д В гл. 10 рассматривается геометрия одночервячного экструдера с точки зре­

ния этого механизма плавления, а в гл.		12 детально анализируется
процесс	плавления в экструдерах на	основе модели, полученной
в разд.	9.8.

9.8. Удаление расплава из очага плавления за счет движения нагретой пластины

Рассмотрим' полуограниченный стержень из изотропного одно­ родного твердого полимерного материала шириной W, прижатый к нагретой движущейся неограниченной пластине (рис. 9.13). Между твердым материалом и нагретой пластиной образуется тонкая пленка расплава, которая из-за высокой скорости сдвига непрерывно уда­ ляется из очага плавления. Через некоторое время процесс станет установившимся, поэтому профили скоростей и температур в пленке расплава будут независимы от времени. Это двумерная задача, так как поля температур и ско­ ростей являются функциями только х и у, а изменений в на­

правлении z не происходит, хотя размер стержня в этом на­ правлении не ограничен.

Толщина пленки расплава очень мала при х = 0 и возра-

Рис. 9.13. Схематическое изображение полимерного стержня, плавящегося на нагретой движущейся неограниченной поверхности (внизу приведено увели­ ченное изображение части пленки рас­ плава и полимерного стержня):

1 — полимерный стерж ень;	2 — нагретая
д в и ж у щ аяся поверхность; 3	— расп лав.