2785.Теоретические основы переработки полимеров

Рис. 10.3. Четыре случая решения уравнения (10.2-20), соответствующие четырем типам профиля скоростей:

G >01

dP/dz

> 0 ;

| G | >

-i-

(1

+

s)";

б:

G <

0;

dPJdz

< 0 ;

I G | >

(1 + s)n;

в; G > 0;

dP/dz

> 0 ;

I G | <

4о-

U

+

s)n\

G

< 0;

dP/dz < 0 ;

| G | <

о (1 +

s)n.

Положение экстремума определяется

значением К.

Кривые — решения

уравнения

(10.2-39)

для п ^ 1,

п — 0,6

и

п = 0,2 (числа

у

кривых).

Преимущество записи константы интегрирования в таком виде состоит в том, что X приобретает ясный физический смысл. Это Коор­ дината того места, где скорость сдвига равна нулю, или точка рас­ положения экстремума на профиле скоростей. Значение этой Коор­ динаты необходимо знать для того, чтобы избавиться от знака абсолютной величины в уравнении (10.2-20).

В зависимости от величины G существуют четыре разновидности профиля скоростей, которые необходимо рассмотреть (рис. 10.3). В случаях а и б на профиле скоростей имеются экстремумы, которые находятся в точках, где £ = X. В первом случае градиент давления положительный (dP/dz >0), во втором — отрицательный (dPldz <

<	0). В случаях в и г на профиле скоростей нет экстремумов, так что
X здесь не имеет физического значения, хотя она все же указывает
на	местоположение экстремума математической функции, описыва­

ющей профиль	скоростей. В случае в X < 0, а в случае г X > 1.
В случаях в и г	величина yyz = dvjdy положительна при всех режи­

мах течения, в то время как в случаях а и б она изменяет свой знак при переходе через X. Отметим, что в уравнении (10.2-19) величина G может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака градиента давления. Следовательно, удобно ввести перемен­

ную, соответствующую знаку G и определяемую как		[2]:
	sign G = Gj\G\	( 10.2-21)
Уравнение (10.2-20) теперь может быть переписано в форме *:
diir	п—l du.7	(10.2-22)
~ d f	~ d f = 6sign G I GI (6 “ *)

Легко проверить, что для области £ гэ: Я как для положительного, так и для отрицательного градиентов давления (т. е. для случаев а

и б), уравнение (10.2-22)		может быть		записано в следующем виде:
		=	16G |s ( | -	X)s sign G			(10.2-23)
где s = \/п.
Аналогично, для | < Я получаем:
~Щ~ = — I 6G |s (X — |) s signG							(10.2-24)
Уравнения (10.2-23) и (10.2-24) можно проинтегрировать с учетом
граничных условий иг (1) =			1 и uz (0) = 0, соответственно получая:
uz = 1 ----- L6GI	[(i	_	x)H s — (| — X)'+s] sign G; |		>	X	(10.2-25)
1 -f- s
»z = -L6^	'S	[ ( X - |) 1+ s - X 1+s]signG; l ^ X					(10.2-26)
1 -j- s
Поскольку скорость непрерывна для любого						£,	уравнения
(10.2-25) и (10.2-26) эквивалентны при £ = X, что приводит к следу­
ющему уравнению относительно неизвестного Я:
л И - * _ (1_Х )Н -* + ------- L ± £ --------- - о							(10.2-27)
			| 6G|S sign G
Значение G в уравнении			(10.2-27) зависит от того,			относится ли
течение к случаю а или б.			0 и Я =	1 для G < 0,	получаем следу­
Полагая Я = 0 для	G >

ющее условие для существования экстремума внутри области тече­ ния 0 с £ < 1:

| G | > - g - (l + s)'1

(10.2-28)

Для ньютоновской жидкости уравнение (10.2-28) сводится к виду \qjqd| = | G| V3, полученному ранее [см. уравнение (10.2-12)]. Подставляя (10.2-27) в (10.2-25), можно записать одно уравнение для профиля скоростей при условии выполнения неравенства (10.2-28):

uz = _1®£1!_(| I - X |‘+ s - x‘+s) sign G

(10.2-29)

Is

*См. P. В. Торнер, Теоретические основы переработки полимеров. Химия,

М„ 1977, с. 118— 128.

Обращаясь теперь к случаям в и г , где экстремума! нет и dujd £ >

> 0,	отметим,	что уравнение	(10.2-22)	может быть	записано для
G > 0	и G < 0	соответственно	в виде:
		- ^ | - = (6G)s ( S - A ) s;		G > 0	(10.2-30)
		=	G)s (X — g)s;	G < 0	(10.2-31)

Интегрирование уравнений (10.2-30) и (10.2-31) с граничными условиями uz (0) = 0 и uz (1) = 1 приводит к следующим уравне­ ниям профилей скоростей для случаев в и г :

«г =	J ^ - [ ( i ~	^ ) ,+s — ( — ?01+s];	G >	0	(10.2-32)
	1Т s
где % определяется	соотношением
(_ ;V )1+ s - ( l - X ) l+ s -|--L ± £ - = 0;			G >	0	(10-2-33)
		(6G)S
И
иг = U г s;		(x '+ s — (X — Е)'+5];	G < 0		(10.2-34)

где %определяется соотношением

X‘+ s — (X— l)1+s	-------1 + S = 0 ; G < 0	(10.2-35)
	( - 6G)S

Полагая %= 0 в уравнении (10.2-33) и %= 1 в уравнении (10.2-35), находим условие для профилей скоростей без экстремумов в пределах заданного режима течения:

|G |s £ - g - ( I + s)"

(10.2-36)

Этот результат, конечно, предполагался на основе уравнения (10.2-28). Объемный расход на единице ширины можно определить, интегрируя уравнение профиля скоростей для каждого случая. Кроме того, уравнения для профиля скоростей и расхода, которые получаются после интегрирования профиля скоростей, могут быть сведены к единым выражениям следующего вида:

_ | 6G Is sign G (		1+s _	=	|£ — X| l+S — |Х |l+s
1 + s	Ч 5	Al	'	| 1 — X |'+ s — I X |'+ s
				(10.2-37)
V0H \QG |s sign G		[(1 — X) I	1 — к |'+ s + k \ k |’+ s- (2 + S) I к |'+ s]
q ^	s)
(1 + s) (2 +
				(10.2-38)

Значение к может быть получено из следующего обобщенного вы-

ражения:

	I 4 1+s- l 1- M1+s - 1	1 + S	= 0	(10.2-39)
		| 6G Is sign G

Рис. 10.4. Зависимость безразмер­ ной производительности от безраз­ мерного градиента давления, рас­ считанная по уравнению (10.2-38) с показателем степени п в качестве параметра (течение расплава меж­ ду параллельными пластинами).

Числа у кривых — значение п.

Г> В решении последнего

уравнения относительно X может содержаться множест­ во корней, но необходимо помнить, что:

если | G | > l/6(l +s)n,

^тз

^

то 0 < X < 1

если	| G | ^ l / 6 ( l		+ s ) n	-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
и G> 0, то К		<	0	G
если	I G I < 1/6 (1	+	s)n	и G < 0, то >. > 1

Из рис. 10.3, на котором представлено решение уравнения (10.2-39) для трех значений п, также следует, что имеются четыре области существования решения. На рис. 10.4 показана зависимость безразмерного расхода от безразмерного градиента давления G, определяемая уравнением (10.2-38), где параметром является s =

=1In. Ясно заметна возрастающая нелинейность этой зависимости

сувеличением отклонения от ньютоновского поведения. Особый

интерес представляют точки изгиба на кривых.

Неизотермическое течение жидкости, свойства которой описываются степенной моделью

Подробное рассмотрение изотермического течения между парал­ лельными пластинами позволяет глубже понять, как работают насосы, принцип действия которых основан на динамическом вязко­ стном способе создания давления. Однако в таких системах течение редко бывает изотермическим. Это объясняется двумя причинами: во-первых, расплав полимера является высоковязкой жидкостью, поэтому тепло генерируется во время течения; во-вторых, темпера­ тура стенок канала не только неодинакова, но часто и непостоянна. Оба источника неизотермичности могут влиять на результирующий профиль скоростей, зависящий от температурной чувствительности вязкости (энергии активации вязкого течения). Для степенной мо­ дели жидкости эта зависимость может быть выражена в виде:

т = т0е - а{Т- То)

(10.2-40)

Когда а = 0, неоднородное температурное поле не влияет на профиль скоростей. При а Ф 0 уравнения движения и энергии свя­ зываются посредством приведенного выше выражения и должны решаться совместно.

Чтобы получить физическое представление о воздействии изме­ няющейся температуры на поле скорости, рассмотрим следующую простую задачу. Имеется установившееся вынужденное течение степенной жидкости с малым т0 (т. е. незначительный диссипативныи разогрев, или Вг -> 0) между двумя параллельными пластинами, одна из которых имеет температуру Ти а другая Т0. Для такого случая уравнения движения и тепловой энергии сведутся в безраз­

мерной форме к виду:

зг[(тг]“/в] “ 0	(,0'2'41)
£_!1 = о	(10.2-42)
где
0 = (Г — Т о)/(Т1 — То)
b = — а ( Т1 — Т 0)	(10.2-43)
Граничные условия имеют вид: 0 (0) = uz (0) =	0 и 0 (1) = и г (1) =

= 1. Решая уравнения (10.2-41) и (10.2-42), получим следующие профили скоростей и температур:

1	р—Ь'I	(10.2-44)
иг = 1 ~	е- -
1-	е~ь
0 =	£	(10.2-45)

где Ь' = — а (Т1 — Т 0)/п.

Заметим, что температурный профиль получился линейный, потому что в данном случае не учитывался диссипативный разогрев, а профиль скоростей имеет нелинейный вид в результате зависимости вязкости от температуры. Рис. 10.5 иллюстрирует влияние b' на профиль скоростей. Интегрирование профиля скоростей дает следу­ ющее выражение для расхода на единицу ширины потока:

„	HV0	(10.2-46)
Qd—	2 Ui

Величина U2 определяется как

и2~ 2 1Г ,Ь' - е~Ь'

(10.2-47)

Ь(е ь — 1)

ивыражает количественный эффект наложения температурного профиля на профиль скоростей в случае вынужденного течения,

вызванного относительным движением стенок. На рис. 10.6 приведен график функции U2 от Ьг (здесь U2 представляет собой отношение расхода вынужденного течения при ТХФ Т0 к расходу при изо­ термических условиях течения).

Анализируя рис. 10.5 и 10.6, отметим, что условие 7\ > Т0 (движущаяся пластина горячая) приводит к снижению расхода в вынужденном течении (и наоборот). Физическая причина этого состоит в постоянстве напряжения сдвига по всей высоте щели, но

T i> T0 ^ _ T,<T0

	nfil ^ r i	i i 1	l	i i i
0	- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0		1 2	3 4 5
	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	6= -[a(Tt -T0)ln ]
	“z

Puc. 10.5. Профили скоростей для течения расплава между параллельными пласти­ нами при отсутствии градиента давления и линейном профиле температуры между пластинами (Tt и 7\, — температуры подвижной и неподвижной пластин соответ­ ственно):

кривая 1: b' = —1 (Г, > Т0 ); кривая 2: Ь' = 0 (Г, = Г,); кривая 3: b‘ = 1 (Г. < Г0).

Рис. 10.6. Зависимость фактора U2 от Ь'.

поскольку вязкость при повышенной температуре пластины пони­ жается, то соответственно повышается скорость сдвига. Во многих случаях влияние температуры может быть весьма значительным. В самом деле, если градиент температур очень велик, то расход может уменьшиться настолько, что движущаяся пластина будет как бы скользить по расплаву (как горячий нож скользит по маслу). И, наконец, отметим, что неньютоновские эффекты усиливают темпе­ ратурное воздействие, что, очевидно, связано с влиянием пара­ метра Ь'

Задача течения с учетом теплопроводности при отличающемся от нуля числе Бринкмана была аналитически решена Гэвисом и Ло­ ренсом [4] для пластин с одинаковой температурой и адиабатиче­ ского условия на неподвижной пластине (см. Задачу 10.6). Интересно заметить, что их результат содержит два значения для каждого приложенного напряжения сдвига у подвижной стенки (т. е. две различные скорости и два соответствующих температурных профиля удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным усло­ виям). Однако решение должно быть единственным для заданной скорости подвижной пластины или для заданного числа Бринкмана.

10.3.Червячный насос

Впредыдущем разделе было показано, как устройство простой геометрической конфигурации может служить сродством для увели­ чения давления в вязкой жидкости. Очевидно, что для использования этой идеи в практических целях должно быть найдено соответству­ ющее инженерное решение. В самом деле, невозможно построить машину, состоящую из двух бесконечных пластин. Поэтому необ­ ходимо модифицировать эту идею, сделать ее пригодной для прак­ тики, однако без потери принципиальных преимуществ, т. е. тре­ буется разработать насос, в котором для создания давления исполь-

Рис. 10.7. Прямоугольный канал малой глу­

бины, накрытой движущейся неограниченной пластиной:

1 — боковая стенка; 2 — движущаяся пластина.

зуется вынужденное течение, вызван­ ное вязким трением о подвижную

поверхность.

Сначала ограничим расплав на нижней пластине с помощью ^ бо­ ковых стенок, создав мелкий прямоугольный канал шириной W

(рис. 10.7). Пусть движущаяся верхняя пластина скользит по каналу с постоянной скоростью в направлении г вдоль канала. При условии малой глубины канала (HIW < 1) уравнения, полученные в преды­ дущем разделе, справедливы и для этой новой геометрии канала. Если это условие не выполняется, то необходимо модифицировать эти уравнения (чтобы принять в расчет градиенты скорости в напра­ влении х), хотя основные выводы останутся теми же. Затем ограни­ чим канал по длине, закроем вход и выход, образовав на входе питающее устройство, а на выходе формующее устройство (рис. 10.8). Ясно, что если обеспечить непрерывную подачу материала при низ­ ком давлении Рг на входе, то устройство будет перекачивать расплав, повышая его давление до Р2>и экструдировать его через устано­ вленную на выходе головку. Таким образом, почти создан генератор давления или насос, только верхняя пластина все еще является «бесконечной». Избавиться от этого можно путем замены ее, напри­ мер, неограниченной лентой. Такое решение, однако, вряд ли может иметь практическое воплощение для канала, заполненного горячим вязким расплавом. Более подходящий способ решения этой про­ блемы состоит в том, чтобы изогнуть канал в направлении z по дуге окружности. Тогда вращающийся цилиндр, надетый поверх искри­ вленного канала, будет работать как «неограниченная» пластина, как это показано на рис. 10.9. Искривление только незначительно повлияет на профиль скоростей (фактически улучшая способность создавать давление) без искажения самой идеи *.

Другим решением проблемы практическою создания «неограниченной» пла­ стины является использование поверхности плоского вращающегося диска и спи­ рального канала. Расплав подается в центр устройства и выкачивается через выход­ ное отверстие, которое может иметь любое радиальное расположение. Такое уст­ ройство уже предложено (пат. ФРГ 1032523).

Рис. 10.8. Канал ограничен­ ного размера и малой глу­ бины, накрытый движущей­

ся неограниченной пласти­ ной: /

1 — вход расплава 2 — выход

расплаоа; ^ —головка; 4 — экс? трудат.

Рис. 10.9. Искривленный канал малой глу­ бины, размещенный внутри вращающегося цилиндра (внутренняя поверхность ци­ линдра образует движущуюся беско­ нечную поверхность):

1 — вход расплава; 2 — выход расплава; 3 — вращающийся цилиндр; 4 — неподвижный ка­ нал.

Окружная скорость движущей­ ся поверхности на рис. 10.9 может быть определена следующим обра­ зом:

V0 = nDN	(10.3-1)
где D — внутренний диаметр	цилиндра;
N — частота его вращения.

Изменив таким образом геометрию, получим машину, которая может быть построена и будет работать (хотя и будет еще иметь серьезные недостатки). Кроме того, уже имеется теоретическая модель устройства, которую можно использовать для оптимизации конструкции. Уравнение (10.2-7) представляет собой основу этой модели. После умножения удельного расхода на W для получения общей производительности и замены градиента давления на перепад давления между входом и выходом (поскольку градиент давления постоянен, эта замена допустима), получим уравнение производи­ тельности этого насоса:

	V o W H	W H 3 P i - P i		(10.3-2)
	2	+ 12р	/.

Конечной целью является получение высокой производитель­ ности и высокого давления, которое необходимо на стадии формова­ ния (течения в головке). Анализируя уравнение (10.3-2), можно оценить возможности и ограничения, присущие каждой из входя­ щих в него переменных, для достижения этой цели. Скорость V0 пропорциональна частоте вращения. Увеличение N приведет к уве­ личению как Q, так и Р2. Однако имеется практическое ограничение роста N, связанное с природой расплава полимера. Высокая частота вращения означает большие скорости сдвига, что может привести к механической деструкции материала из-за высоких напряжений сдвига, перегреву и подгоранию вследствие диссипативного разо­ грева или даже скольжению по твердой границе. Поэтому обычно конструкторы ограничены в использовании этого рабочего пара­ метра как средства увеличения производительности. Обратимся теперь к конструктивным параметрам.

При данном расходе Q можно увеличить давление Р2 посредством изменения ширины канала W, глубины канала Н и длины канала L. Проанализировать влияние этих трех переменных будет проще после следующего преобразования уравнения (10.3-2):

F , - Р, = 1 * 1 ( £ ■ - £ , )

(Ю.3.3)

Увеличение ширины канала приведет к увеличению давления, но при этом сталкиваются с ограничениями, связанными с значитель­ ными эффектами на входе и выходе. Влияние глубины канала не­ сколько сложнее. В разд. 10.2 показано, что при данном расходе Q существует оптимальная глубина канала, обеспечивающая макси­ мальное приращение давления:

Яопт = 3Q/(WT0)

(Ю.3-4)

Этот результат позволяет сформулировать ограничение, наклады­ ваемое на изменение глубины канала с целью достижения высоких

давлений.

Последний конструктивный параметр, имеющийся в распоряже­ нии, это длина канала L. Геометрическая конфигурация машины накладывает на длину канала ограничение: nD или L. Конечно, можно увеличить диаметр, но очевидно, что такой подход также практически ограничен. Тем не менее можно принять иное решение.

С помощью изменения геометрии устройства можно увеличить L почти до любой желаемой величины. Этого можно добиться, свернув канал так, что после одного полного витка он будет смещен в осевом направлении на одну ширину канала плюс толщина разделяющей стенки. Рис. 10.10 иллюстрирует этот вариант.

Полученная таким образом геометрическая конфигурация соот­ ветствует одночервячному экструдеру. Остается изготовить из твер­ дой цилиндрической заготовки винтовой канал, как показано на рис. 10.11 и поместить этот винт в полый цилиндр. Вместо цилиндра можно вращать червяк, только в противоположном направлении. Проблемы входа и выхода теперь решаются просто. Первая может быть решена при помощи отверстия в цилиндрическом корпусе, в то время как вторая решается сама по себе — червяк берется тре­ буемой длины и расплав просто прокачивается через головку.

Кроме того, червячная конструкция имеет еще целый ряд допол­ нительных преимуществ: неподвижный корпус можно при необхо­ димости нагревать или охлаждать; червяк может быть полым, что позволяет осуществлять его подогрев или охлаждение; подвод меха­ нической энергии достигается путем вращения вала червяка через редуктор от электродвигателя; винтовой канал создает составля­ ющую скорости, перпендикулярно гребню, что приводит к враще­

нию потока и обеспечивает хоро­ шее перемешивание расплава; ре­ зультирующий профиль скоростей позволяет получить узкий ин­ тервал распределения времен пре­ бывания отдельных частиц в кана­ ле,что делает червячный экструдер

Рис. 10.10. Изогнутый по винтовой линии канал, размещенный внутри вращающе­ гося цилиндра:

^ — неподвижный канал; 2 — вращающийся цилиндр.

Рис. 10.11. Схема одночервячного экструдера:

1 — вращающийся червяк; 2 — неподвижный цилиндрический корпус; 3 — головка.

очень эффективным при переработке термочувствительных полиме­ ров; само устройство имеет достаточную механическую прочность, что обеспечивает широкий диапазон расхода: от очень маленького до нескольких тонн в час; питание может осуществляться распла­ вом или сыпучим материалом. Как было показано в гл. 8 и 9, червячный экструдер является эффективным насосом, хорошим транспортирующим устройством для твердых частиц и отличным генератором расплава. Поэтому не удивительно, что одночервячный экструдер стал наиболее важной машиной для переработки поли­ меров.

Математическая модель червячного насоса (зона дозирования одночервячного экструдера)

Вначале вкратце обсудим некоторые геометрические соотноше­ ния, свойственные червякам. Двумя основными геометрическими Параметрами, характеризующими червяк экструдера, являются диа­ метр D, замеренный по наружному размеру гребня, и осевая длина L Или отношение длины к диаметру LID. Обычно это отношение на­ ходится в пределах 24—26, хотя иногда бывают червяки с отноше­ нием длины к диаметру выше — до 40 или ниже — до 8. Последние обычно встречаются либо в экструдерах для переработки резины, Либо в ранних моделях экструдеров для переработки термопластов. Диаметры червяков обычно находятся в диапазоне от 2 до 75 см, Но могут быть ниже и выше. Червяк не может быть плотно вставлен в цилиндр из-за трения. Поэтому между гребнем червяка и внутрен­ ней поверхностью цилиндра диаметром Db существует небольшой Радиальный зазор 6/, равный около 0,2—0,5 мм. Расплав полимера Непрерывно течет по этому зазору, играя роль смазки. Диаметр Червяка по краю гребня составляет: Ds = Db — 26/. Длина одного Полного витка гребня, измеренная вдоль оси червяка, называется HiaroM Ls. Большинство червяков одночервячных экструдеров яв­ ляется однозаходными с Ls = Ds. Схема такого червяка представлена На рис. 10.12. Радиальное расстояние между поверхностью цилиндра Н основанием червяка называется глубиной канала Я. Основным конструктивным параметром червяков является продольный про­ филь глубины винтового канала, т. е. Я (г), где г — расстояние,1

11 Тадмор 3 ., Гсгос К.