2. Второй признак сравнения (предельный)

ТЕОРЕМА 3. Пусть даны два ряда со строго положи- тельными членами (1) и(2), для элементов которых выполняется условие:

. (7)

Тогда ряды (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и

расходятся одновременно.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер, начиная с которого (т.е. для всех) выполняется неравенство

,

Отсюда, .

Учитывая замечание 2 из предыдущей теоремы, из сходимости ряда (2), по неравенству (6), следует сходимость ряда (1), и наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

В частности, если , то равенство (7) означает экви -лентность рядов (1) и (2) (~).

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. . Общий член этого ряда

~ при .

Тогда . Ряд расходится, как

обобщённый гармонический ряд с . Тогда расходится и исходный ряд.

2. . Для данного ряда, применяя таб- лицу эквивалентных бесконечно малых функций, получим:

~ ~~.

Ряд сходится, так как , следо- вательно исходный ряд также сходится, так как предел отно- шения общих членов этих рядов равен 1 (т.к. они эквивалент- ны).

3. Признак Даламбера.

Пусть для элементов ряда (1) выполняется условие:

. (8)

Тогда, если , то ряд (1) сходится; если, то ряд (1) расходится; если, то данный признак не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер, начиная с которого (т.е. для всех) выполняется неравенство:, или, что то же самое

. (9)

Пусть . Выберемтак, чтобы. Тогда

из правой части неравенства (9), получаем , илиТаким образом, получаем следующее неравенство:

, которое выполняется для всех .

Ряд, стоящий справа, представляет собой сумму сходящей- ся геометрической прогрессии (). Тогда, по первому при- знаку сравнения, ряд, стоящий в левой части неравенства, также сходится. По следствию 3 из предыдущего параграфа, получаем сходимость ряда (1).

Пусть . Выберемтак, чтобы. Тогда, т.е., начиная с номера, члены ряда (1) образуют возрастающую последовательность и не выполняется необходимый признак сходимости рядов.

Поэтому ряд (1) расходится.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. .,.

Тогда получаем:

.

По признаку Даламбера, ряд сходится.

2. . Для данного ряда. Тогда.

Применим признак Даламбера:

(степень числителя меньше степени знаменателя). Поэтому ряд сходится.

3. . Здесь, следователь- но. После сокра-

щения, получаем:

(степень числителя больше степени знаменателя). Следова – тельно данный ряд расходится.

Замечание. Признаком Даламбера удобно пользоваться в случае, если общий член ряда содержит - ые степени, фак – ториалы, бесконечные произведения.