4. Признак Коши (радикальный)

Пусть для элементов ряда (1) выполняется условие:

. (10)

Тогда, если , то ряд (1) сходится; если, то ряд (1) расходится; если, то данный признак не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

В самом деле, равенство (10) означает, что для любого найдётся номертакой, что для всехвыпол– няется неравенство, или.

Пусть . Выберемтаким образом, чтобы. Тогда, длявыполняется неравенство:

. В этом случае элементы ряда (1) меньше элементов сходящейся геометрической прогрессии и, по первому признаку сравнения, ряд (1) сходится.

Если , выбираемтак, чтобы. Тогдаи не выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому при данном условии ряд (1) рас- ходится.

Чтобы пользоваться признаком Коши при исследовании рядов на сходимость следует знать такие факты:

1) ; 2)для любых фиксиро -ванных значений.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. .

поэтому ряд сходится.

2. .

Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Радикальный признак Коши чаще всего приме -няется, если общий член ряда содержит - ые степени, но иногда приходится применять этот признак в случае, если общий член ряда содержит факториал. В этом случае при вычислении корня приходится использоватьформулу Стир –линга: при выполнено.

3. Исследовать на сходимость ряд .

По признаку Коши:

и, следовательно, данный ряд сходится.

5. Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд (1). Составим функциютаким образом, чтобы для всех натуральных чиселвыполнялось равенство. Если полученная функция является непрерывной, положительной и невозрастающей на промежутке, то выполняется следующее условие:

Если сходится необственный интеграл

, (11) то сходится и ряд (1), и наоборот, если расходится интеграл (11), то расходится и ряд (1).

В самои деле, если , то, так как функция не- возрастающая,. Тогда, по свойству ин- тегралов,, или

. Суммируем данное не-

равенство по отдо, получим:

. (12)

Перейдём в данном неравенстве к пределу при .

В правой части неравенства, если интеграл сходится, то . Предел конечный, поэтому ряд сходится. Если интеграл расходится, то, учитывая левую часть неравенства, получим. Сле- довательно ряд также расходится.

С помощью интегрального признака легко устанавливить условия сходимости обобщённого гармонического ряда

,

которые мы уже использовали, применяя признаки сравнения.

Рассмотрим функцию . Она непрерывная, положительная и неубывающая при. Можем применить интегральный признак.

Пусть , тогда

Интеграл сходится, поэтому и ряд сходится.

При

Интеграл расходится, следовательно, ряд также расходится.

Интегральный признак удобно применять в случае, если интеграл хорошо вычисляется.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. . Рассмотрим функцию. Она положительная, убывающая и непрерывна при.

Тогда

сделаем замену: при, при. Получим:

Интеграл сходится, следовательно, и ряд также сходится.

2. . Соответствующая функция имеет вид:. Она положительная, непрерыв- ная и убывает на промежутке. Исследуем на сходи - мость несобственный интеграл:

сделаем замену переменной:

при ; при. Тогда получим:

.

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.