§ 3 Знакопеременные ряды.

Рассмотрим ряд :

, (1) элементами которого являются произвольные действительные числа. Соответствующий ему ряд из абсолютных величин:

(2)

ТЕОРЕМА 1. Если сходится ряд (2), составленный из абсо- лютных величин, то сходится и ряд (1).

В самом деле, если ряд (2) сходится, то, по критерию Коши, для любого существует номер, такой что для всехи всех натуральных значенийвыполняется неравенство

.

Тогда для элементов ряда (1) выполняется неравенство:

.

Следовательно, по критерию Коши, данный ряд сходится.

При этом ряд (1) называется абсолютно сходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ряд (1) называется условно сходящимся, если данный ряд сходится, а соответствующий ему ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Частным случаем знакопеременных рядов являются так на- зываемые знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого члены с номерами идля любых натуральных значе- нийимеют противоположные знаки, т.е. ряды вида:

, (3) где .

ТЕОРЕМА 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

(3) сходится, если модули его элементов убывают с воз- растанием , т.е. для всехвыполняется неравенство(и выполнен необходимый признак сходимости, т.е..

В самом деле, рассмотрим частичные суммы ряда (3) с четными и нечетными номерами:

;

.

Преобразуем первую из двух сумм двумя способами:

и

. Учитывая условие , в первом представлении четных час – тичных сумм каждая скобка является положительной, и поэ- тому последовательность четных частичных сумм является возрастающей. Из второго представления, так как каждая скобка по - прежнему, положительна, следует, что. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последо- вательность имеет предел, т.е. существует. Так как, то учитывая условие, получим:. Следовательно, для всех частичных сумми ряд сходится.

Данная теорема определяет признак сходимости знакопере - менного ряда.

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится условно, если выпол- няются два условия: для всех(и.

Рассмотрим несколько примеров исследования знакочереду- ющихся рядов на сходимость.

ПРИМЕРЫ:

1. . Соответствующий ряд из абсолют- ных величин,,. По признаку Даламбера,

.

Ряд из абсолютных величин сходится по признаку Даламбера. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

2. . Ряд из абсолютных величин имеет вид:. Общий член этого ряда. При~ . Ряд расходится как гар- монический ряд. Поэтому нет абсолютной сходимости исход- ного ряда. Проверяем условную сходимость данного ряда по признаку Лейбница. Условие : подставляяв, получаем неубывающую цепочкуи условие. Следовательно, ряд сходится условно.

3. . Ряд из абсолютных величин. По признаку Даламбера,

.

Следовательно, нет абсолютной сходимости исходного ряда.

Проверим выполнение условия признака Лейбница , исполь- зуя формулу Стирлинга,

. Тогда ряд расходится, так как не выполнен необходимый при -знак сходимости ряда. (при и).

В заключение параграфа, приведём ещё одну теорему, ко- торая имеет важное значение в приложениях теории рядов для приближённых вычислений.

ТЕОРЕМА 3. Сумма остатка знакочередующего ряда, удо- влетворяющего условию Лейбница: удовлетворя -ет следующему условию :и её знак совпадает со знаком.

Теорему доказывать не будем. Рассмотрим пример: вы -числить сумму ряда с точностью.

Учитывая теорему 3, есть смысл записывать слагаемые до тех пор, пока очередное слагаемое по модудю не станет меньше . Это будет означать, что сумма остатка ряда будет меньшеи получим нужную точность вычисления.