3. Рационал функцияларды интегралдау

Рационал функциялар әрқашанда элементар функцияларда интегралданады. , мұнда және P(x) көпмүшелер, бөлшекті рационал функцияның интегралын барлық уақытта интегралдауға болатын қосылғыштарға жіктеу арқылы табуға болады.

Алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен үлкен не тең болатын бұрыс рационал бөлшекті алымын бөліміне бөлу арқылы, яғни көпмүшелер мен алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын дұрыс бөлшектін қосындысы түрінде жазуға болады.

Дұрыс рационал бөлшекті әрқашанда келесі екі интегралданатын бөлшектің қосындысы түрінде элементар бөлшектерге жіктеуге болады:

мұнда m және n –бүтін оң сан.

1. бөлімін қарапайм нақты көбейткіштерге жіктейміз. Жалпы жағвдайда, алгебраның негізгі теоремаларына сүйене отырып, бұл жіктеудің құрамында сызықты және квадраттық көбейткіштер бар болады:

б) Берілген бөлшекті келесідей түрде элементар бөлшектердің қосындысы түрінде жіктей аламыз:

мұнда ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,..., -кейбір тұрақтылар. Бұл тәсілде бөлшектің бөліміндегі көбейткіштердің дәрежесіне байланысты сонша элементар бөлшектердің қосындысы түрінде жазылады. Ал бөлшектің алымы бөлімінің сызықты не квадратты функция болатындығына сәйкес тұрақты не сызықты функция болады.

в) Теңдіктің екі бетінде -ке көбейтіп, бөлшек бөлімінен құтыламыз.

г) Енді алымдарының теңдігінен коэффициенттерін теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз.

д) Жүйені шешіп, табылған коэффициенттерді элементар бөлшектердің қосындысына апарып қоямыз.

Осы алынған элементар бөлшектерді интегралдаймыз. Яғни кез келген дұрыс рационал бөлшекті интегралдауда элементар бөлшектердің қосындысына жіктеуден кейін келесі түрдегі интегралдарды табу керек болады:

және .

кезде интегралы келесідей шығады:

Енді мысал көрсетейік.

Мысал.

а) Бөлшектің бөлімін қарапайым көбейткіштерге жіктейміз: ;

б) интеграл астындағы бөлшекті элементар бөлшектердің қосындысы түрінде жазайық:

в) теңдіктің екі жағынада көбейтіп, бөлшектің бөлімінен құтыламыз:

г) теңдіктің коэффициенттерін теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз:

д) осы жүйені шеше отырып, біз коэффициенттерді табамыз: . Бұдан

Енді интегралдаймыз:

Тапсырмалар:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.