6. Функцияның туындысы және дифференциалы

Анықтама. функциясының туындысы деп ұмтылған кезде осы функцияның өсімшесі сәйкесінше тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының шегін айтамыз:

Туынды келесідей белгіленеді: немесе немесе .

Туынды табу амалы дифференциалдау деп аталады.

Жоғарыда көрсеткендей функцияның туындысын табу үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасынын шегін таба беру қиындыққа әкеледі. Сондықтан тек келесі кестеге сүйене отырып, таба салуғада болады:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.

Егер функция күрделі функция болса, онда ол келесідей болады:

1.		2.
3.		4.
5.

Енді n – ретті туынды алу жолдарын көрсетейік.

1)

2) _{n –ретті туындысын табайық.}

3) _{n –ретті туындысын табайық.}

4) _{n –ретті туындысын табайық.}

5) _{n –ретті туындысын табайық.}

6) _{n –ретті туындысын табайық.}

7) _{n –ретті туындысын табайық.}

8) _{n –ретті туындысын табайық.}

9) _{n –ретті туындысын табайық.}

10) _{n –ретті туындысын табайық.}

Мысалы: n=50

11)

12) _{n –ретті туындысын табайық.}

13) _{n –ретті туындысын табайық.}

14) _{n –ретті туындысын табайық.}

Егер болғанда

Бұрышын енгізсек, онда бұл формуланы төмендегіше қайталап жазуға болады.

немесе

15) дәлелдеу керек.

N=1 үшін

орындалады

n=2 үшін

орындалады

n-үшін дұрыс деп ұйғарып, n+1 үшін дәлелдейік

яғни, n+1 үшін орындалады екен.

16)

_{Мысалы: 1)}

2)

Мысал. функциясының туындысын тап.

Мысал.

Формулаларды қолданып шығарамыз.

Тапсырмалар:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

7. Тейлор формуласы

Тейлор теоремасы. a нүктесі жататын интервалда n+1 рет дифференциалда- натын функциясын n-ші дәрежелі көпмүшелердің және қалдық мүшесінің қосындысы түрінде жазуға болады:

Мұнда c –a және x сандары арасындағы кейбір орта мән,

Көпмүшелік үшін Тейлор формуласы.

бойынша

Кез-келген функцияны жіктеу (Маклерон).

1)

2)

3)

Эйлер формуласы.

Муавра формуласы

Ньютон биномы

Мысалы: 1) (1)

(2)

1. мен (2) ден мынаны аламыз

2)

Тапсырмалар: Келесі функциялардың n-ші дәрежелі Тейлор көпмүшелігін тұрғыз:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.

Келесі функциялардың 4-ші дәрежелі Тейлор көпмүшелігін тұрғыз:

9.

10.

дейінгі дәлдікпен жуық мәнін Тейлор формуласын пайдаланып есептеңіз:

11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.