книги из ГПНТБ / Пекер Ж.К. Экспериментальная астрономия

32	ГЛАВА II
спутнику	(т. с. постоянно находящемуся над одноіі и

той лее точкой поверхности Земли; такой спутник запус­ кается в плоскости экватора в сторону вращения Зем­ ли) соответствует расстояние от центра Земли до спут­ ника:

а = 42 160 км.

Следует отметить, что если плоскость орбиты такого спутника немного наклонена к плоскости экватора, то с

Земли	будет	казаться, что он	совершает		движение над
одним	и те ж е меридианом к северу			и к	югу от	эквато­
ра. Добавим, что любое случайное				отклонение		орбиты
от круговой		приведет"к тому,	что	скорость,		согласно

закону площадей ( I I закон Кеплера), будет изменяться вдоль траектории: такой спутник будет казаться дви­ гающимся по кривой, похожей на восьмерку. Форма этой кривой очень чувствительна к возмущениям, изме­ няющим орбиту. Эволюции ее представляют большой интерес: наблюдая за ними можно, в частности, устано­ вить эллиптичность экватора Земли .

При а = 384 400 км (среднее расстояние от Земли до Луны) период равен 27 сут 12 ч, что соответствует лун­ ному месяцу, если принять массу Лупы равной пулю; учитывая, что в действительности масса Луны ко­ нечна, получим

P = 2K(M@ + M(Lr'l:ahG-'l>

(14)

и легко найдем, что период равен 27 сут 7					ч 7	мин. Это
очень	близко к	действительному		значению		27	сут
7 ч 43	мин.
Мы	уже говорили, что низкие спутники				(к	ним	от­
носятся все широко известные спутники) движутся							по
почти	круговым орбитам. На рис. 5			приведены		значения
параметров строго		круговых	орбит	низких	спутников:
периода, круговой		скорости,	максимальной		видимой		уг­

ловой скорости, — и величина и х а р , смысл которой бу­ дет выяснен ниже (стр. 69). Заметим, что видимая ско­

рость	спутника (например,	в градусах в	секунду време­
ни)	убывает значительно	быстрее, чем	круговая ско­
рость.

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ	КАК Н Е Б Е С Н Ы Е ТЕЛА	33
4. Некруговые кеплеровские орбиты
искусственных	спутников

Не приступая пока к изучению возмущении, состав­ ляющих основную цель исследования движения спутни­

ков, обобщим полученные ранее			результаты	на случай
некруговых орбит и	найдем	условия выведения		спутни­
ка на орбиту.
В общем случае орбиты искусственных спутников не
являются круговыми,	хотя,	как	отмечалось	выше, их

Перигей

Апогей

Р и с. 6. Параметры, определяющие орбиту.

эксцентриситеты очень малы, так что они близки к кру­

говым. Оставаясь	в рамках кеплеровской задачи двух
тел, предположим	пока, что орбиты характеризуются

лишь двумя параметрами: периодом и высотой перигея пли высотами перигея и апогея. В одной из точек этой орбиты происходит выведение спутника по окончании

полета	ракеты-носителя. Величина и	направление ско­
рости в	этой точке полностью определяют орбиту. На ­
чальную	скорость и положение точки	выведения можно

принять в качестве исходных параметров	(рис. 6).
Напомним здесь ряд хорошо известных		результатов
теории кеплеровского движения.
П р е ж д е всего, если точка выведения	на	орбиту ле­
жит на поверхности Земли и если в этой	точке скорость

не направлена строго горизонтально или по величине меньше круговой, то орбита обязательно пересечет по­ верхность Земли в другой точке (вследствие симметрии

2 Зак. 518

34		ГЛАВА II
эллипса относительно		большой осп), п	дальнейший по­
лет будет невозможен;		следовательно,	точка выведения
должна	располагаться	над земной поверхностью. Мы
увидим	дальше, что спутник выводится		в точку выхода

на орбиту по промежуточной «переходной» орбите с ис­ пользованием негравитационных сил.

Ясно, что при очень большой начальной скорости ап­ парат может выйти из гравитационного поля Земли и удалиться в «бесконечность» (т. е. в данном случае ока­ заться в поле тяготения Солнца) . Напротив, если на­ чальная скорость невелика, то аппарат вернется на Зем­

лю,	поскольку «перицентр» * эллиптического		движения
лежит «ниже поверхности», т. е. внутри		Земли.
	Более того, отметим, что в этом случае		(типичном
для	баллистики) можно вообще не	пользоваться ре­

зультатами астрономической задачи двух тел, а считать

«поле тяготения» однородным в окрестности									точки
старта.	При таком		предположении			траектория			оказы­
вается	параболой.		Точность этого			приближения			опре­
деляется точностью, с какой поверхность Земли									можно
считать	плоскостью.							ѵ0 <
Когда скорость			недостаточна		(Ѵ0 =		я/2,		у к р у Г )
или направлена		негорпзонталыіо			(Ѵо<.л/2),			мы	имеем
дело с задачей		баллистики,		рассматривающей, например,
движение снарядов. Можно				вычислить,			на	каком рас­

стоянии** от точки старта снаряд упадет на Землю . Вы­

числения проще			провести,		используя		законы	Кеплера.
Из	хорошо известного			выражения			(27), приведенного
ниже,		получаем
		ffi0 =	п	,	I — а г	sin2	К 0	/ , г >
			2arccos		- ( 2 - а 2	) а 2 sin* Ко		(15)
		™		V1
где	а	определяется равенством
			a =		ü ( A W -			(16)

* В небесной механике термином «перигей» обозначают точку орбиты, ближайшую к центру Земли, а не к какой-либо точке ее поверхности. Поэтому более общий термин «перицентр» в данном случае эквивалентен термину «перигей». — Прим. ред.

** В данном	случае имеется в виду угловое расстояние, т	е.
угол между направлениями из центра Земли в точки старта и		па­
дения. — Прим.	перев.

	И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА					35
Максимальное расстояние достигается при
и его значение			равно
				а2
			Фо, ...к = = 2	a r e s i n - g ^ ö - .		(18)
Вернемся		к	кеплеровекпм орбитам		спутников.	Тип
орбиты	характеризуется			значением	постоянной	энер­
гии Іѵ.
			h = v \ - 2 G - £ - .			(19)
Если h	^ 0	(гиперболические		или параболические		орби­

ты), то орбита аппарата незамкнута. Направление ско­

рости на бесконечности зависит от направления						началь­
ной	скорости *,	а величина ее		зависит только	от	значе­
ния	начальной	скорости.	Д л я	параболической		орбиты
скорость на бесконечности			равна нулю, для		гиперболи­

ческой эта скорость равна квадратному корню из по­ стоянной энергии:

v „ = v J \ - 2 G ^ - f .

(20)

\

и ог о /

При h

<

0 орбита

является

эллипсом,

который

опреде­

ляется

величинами

V0 , г0,

ѵ0

(вывод этих хорошо

извест­

ных соотношений

интересующийся читатель может най­

ти в учебниках, где излагается теория конических сече­

ний, пли

в курсах

механики).

Большая

полуось

эллипса

равна

а

=

-

С

^

= Ш

ѳ / (

2 ^

- 4

(21

а период

Р =

2л

[GM®)'/j

а% =

2nGM®

[—yf-

-

vö)

. (22)

Эксцентриситет

e

находится

из соотношения

* А

также

ее

численного значения. — Прим.

ред.

2*

36		ГЛАВА II
где	С — постоянная	площадей, входящая			во	второй за­
кон	Кеплера:
	С =	=	const =	r0 o0 sin V0.		(24)
Таким образом,
	' - ' -	О 9	' • ^	- • s j	-	<*>
		^ (

Концы большой осп находятся па следующих расстоя­

ниях от фокуса:
г„ип =	а ( 1 — е),	/-,„„ = а ( 1 +	е)	(26)
и называются соответственно перигеем			п апогеем	ор­
биты.
Теперь изучим	движение	спутника по	эллиптической

орбите. Положение спутника па орбите удобно описы­

вать в

полярных

координатах

г и

ср

(этот угол

назы­

вается

«истинной

аномалией»)

*.

Связь между

этими

координатами

задается

соотношением

г =

п

( 1

~ е

2

)

.

( 9 7

)

I +

е cos

ф

ѵ ~

'

Величины /• и

ср являются

функциями

времени, а

вели­

чина скорости

и находится

из

равенства:

0 =	( О у М е ) ' А ( | - - 1 ) , / а .				(28)
Реальная эллиптическая		орбита		должна	удовлетворять
еще одному условию	(первое		условие h <		0) :
гтщ	=	а(1 -	е ) >	/?ф ,	(29)

обеспечивающему движение спутника над поверхностью Земли.

Полагая			заданным		r0 =		R$-\-Ha,	где	/ 7 0 — в ы с о т а
точки	выведения спутника,					и считая переменными толь­
ко ѵ0	и	Ѵо, мы получим двухпараметрнческое								семейство
кривых,		достаточно			просто		описывающих			возможные
орбиты.		г0 —		R&, то
Если					из	первого		условия,		которому
должна		удовлетворять			орбита, следует:
		о 0	<	V2GMq/R@		= 1 1 , 2		км/с =	ѵр< о

* Он отсчптывается от направления на перигеи. — Прим. перео.

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ

КАК

НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА

37

при любом

Ѵ'о- Эллиптическая

орбита

существует

тогда

и только тогда, когда ѵ0 меньше

«параболической» ско­

рости

U p ,

о-

В

последующем

мы

используем

несколько

иные

обозначения,

в

частности

приняв

новую

единицу

скорости.

Окружность

W

\

Орбиты:

*/

і

- ^

\

7

^^гч=

Эллиптическая

I

/

s

\

/ /

а;=0,2

V Y 1 Параболическая

о ІС^

^^Вертикальная

\ \ \

Гиперболическая

линия

\ \

X

{свободное

V

падение)

\

N

-1

\/\\\ \

1

\

\

\

\

"

Р и с .

7.

С

помощью

функции z(r|)

можно

предсказать

характе­

ристики

орбиты.

Введя

безразмерные величины

У = (ѵо/ѵр, о)2 >

е = Я 0 / і ? ф ,

* =

sin2

V 0

можно

равенство (25)

представить

так:

2 = 1 _

е

=

=

4л-г,(1 +

е)2

(

-

^

-

=

= 4 , п / ( 1 + Е ) [ 1 - ( 1 + е ) / / ] .

(30)

Отсюда

сразу ж е

вытекает,

что

эксцентриситет

орбиты

определяется двумя величинами: х (направление выве­

дения)	и произведением			(1 +	г) у	— ц.
Из этого		соотношения		следует,		что для	произвольной
высоты	Н0	параболическая			скорость ѵРі		я	достигается
при г) — 1 и		равна				'
		»Р.я =	О р . о / / 1 +			ВДе-		( 3	1 )
График	функции г/х =		4ц(1—т|)			изображен		на рис.	7,

38

ГЛАВА II

При 1] = Va z/x = 1, так что скорость определяется ра­ венством

* - № ) * ( ' + £ ) " * - ' • » ' •	< 3 2 )
На рис. 5 приведено значение этой величины	при / 7 о = 0 .
Заметим, что при х = 1 (горизонтальное	выведение)

эта величина будет строго соответствовать круговой ор­

бите. Когда	ѵ 0 переходит через это	значение,	тип орби­
ты меняется:	при ѵ0 > ѵ к р у г один	из двух	фокусов —

Р и с. 8. Семейства орбит, соответствующие горизонтальному вы­ ведению.

центр Земли — оказывается				ближайшим к точке выведе­
ния,	которая		оказывается	перигеем	орбиты;	при	ѵо —
— уКруг оба фокуса орбиты совпадают в центре							Земли;
при	Уо <С üKpyr центр Земли оказывается дальним							фоку­
сом,	а	точка	выведения — апогеем		орбиты	(рис.		8).
Если		X <	1 (наклонное выведение), то орбита				нико­
гда	не будет круговой; при убывании				ѵ 0 большая		ось эл­

липтической орбиты поворачивается и эксцентриситет

проходит через минимальное		значение, не	достигая
нуля (рис. 9).
Обратимся теперь ко второму условию,			которому
должна удовлетворять	орбита:
/"min =	а(1 — е) > R®.		(33)

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА

39

При X = 1 можно написать (см. рис. 6)

(34)

Так как

(35)

Р и с. 9. Семейства орбит, соответствующие наклонному выведению. Круговая орбита невозможна.

[см. формулу (21) и определение параметров е и г)], то отсюда

				1	+	е	> е +	2,		(36)
или	при малом		е			Ч
				^
						1	1	1		(37)
			^		Т	+	7 = ¥ - Т е -
Следовательно,			орбита			пересечет		Землю	при	значении
ѵ 0 ,	меньшем	следующей				величины:
	и п а д =	( 2 С М ѳ а д ѵ ' [ ( 4 - - - і е ) ( 1 +							s)-f.	(38)

40

ГЛАВА II

М о ж но было бы интуитивно почувствовать, что эта ве­ личина немного меньше круговой скорости.

При X ф 1 вычисления несколько усложняются. Мы предоставим их проделать интересующемуся читателю. Приведенное выше условие перестает быть справедли­ вым, если выведение происходит не в апогее. Нетрудно убедиться, что в любом случае вектор скорости в точке выведения должен лежать вне конической поверхности,

Р и с . 10. Определение условии выведения на возможные орбиты.

касающейся земного шара, с вершиной в точке выведе­ ния (рис. 10).

Заметим, что во всех этих задачах угол между век­ тором скорости и вертикалью входит только под знаком квадрата синуса. Иными словами, орбиты с углами вы­

ведения	Ѵо и я —	Ѵ0 не отличаются друг	от друга.
При	отсутствии	возмущений проблема	орбитального

движения спутника исчерпывается рассмотренными выше задачами . Специалисты по небесной механике быстро бы

утратили к ним интерес, если бы				не существовали			вы­
сокоточные йетоды		наблюдений,		позволяющие		изучать
возмущения	орбит,	и	если бы не	возникла	задача		орби­
тального	перехода,	т.	е. перехода	с одной	орбиты	в	поле

тяготения на другую под действием добавочных сил, при­ ложенных к спутнику в заданной точке,

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА

41

5. Возмущения кеплеровских орбит

Среди возмущений наиболее важными являются те, которые вызываются несферичностыо Земли.

А. Возмущения, вызываемые несферичностыо Земли.

К центральной силе следует добавить притягиваю­ щую силу, направление которой изменяется. Упрощенно можно считать, что эта сила вызывается в основном экваториальным вздутием Земли . Ясно, что изучение возмущений движения искусственных спутников, вызы­ ваемых подобными силами, чрезвычайно важно для гео­ дезии. Следует подчеркнуть, что возмущения движения искусственных спутников вследствие несферичности Земли ввиду небольших расстояний спутников от Земли имеют преобладающее влияние среди всех других гра­

витационных возмущений, о которых	речь	пойдет ниже.
Д л я расчета возмущенных орбит	нам	понадобится

потенциал Земли, определенный равенством (4). Считая

отношение Rix достаточно малым, представим			равенство
(7) в таком виде:
7=т(1	+ Т ^ Ѳ > + 4 ^ ( Ѳ ) + . . . ) •		(39)
Функции fi(Q)	являются	полиномами Л е ж а н д р а	от аргу­
мента cos Ѳ:
	Ш	= Pi (cos6),	(40)
где
	(20|_	_	(41)
	2 (il	2 ( 2 / - 1 )

Равенство (4) легко преобразуется в следующее соотно­ шение

= VQ + (Vl + V2+ . . . ) = V 0 + $ . (42)