книги из ГПНТБ / Пекер Ж.К. Экспериментальная астрономия

72	ГЛАВА I I I
	2. К Венере и Марсу
Сказанное о	перелете с Земли на Луну	(или на
низкую круговую	орбиту — для искусственных	спутни­

ков Земли) можно отнести соответственно и к полету космического аппарата с орбиты Земли вокруг Солнца

к другой планете солнечной	системы,	например	к Марсу
или Венере. С точки зрения	небесной	механики	эта про­
блема более сложная, чем проблема		выведения	спутника

Земли . Д л я расчета		траектории мы должны вначале ре­
шить	кеплеровскую	задачу	двух	тел — Земли	и	ракеты;
затем	решить ту ж е	задачу	для	системы Солнце		и аппа­
рат, причем сопряжение решений этих задач					проводится
в рамках задачи трех тел; в окрестности Марса						осуще­
ствляют аналогичный переход к кеплеровской						задаче
двух	тел: космический аппарат и Марс (то ж е				относится

к Венере или к любой другой планете) ; независимо рас­ сматривается задача коррекции (с помощью неныотоновских сил) траектории.

Конечно, из-за сложности этой задачи мы не сможем привести здесь ее полное решение. Однако кое-что мож­ но легко понять почти интуитивно.

П р е ж д е всего,	скорость запуска должна быть близка
к параболической	или больше ее (гиперболическая ско­

рость): в этом случае небольшой дополнительной энер­ гии достаточно для достижения орбиты Марса, распо­ ложенного в бесконечности по отношению к гравита­ ционному полю Земли *.

В системе Солнце — космический аппарат начальная скорость аппарата в действительности будет по отноше­

нию	к Земле гиперболической, к которой			добавлена
скорость орбитального		движения	Земли вокруг Солнца.
Д л я	параболической траектории		эта скорость	на беско­
нечности равна нулю; следовательно, орбита				объекта,
запущенного с Земли		по параболической траектории,

будет близка к орбите Земли. Различие между этими двумя орбитами возникло бы лишь вследствие несовпа-

* Автор хочет сказать, что Марс находится от Земли на столь большом расстоянии, что вблизи него поле тяготения последней не оказывает заметного влияния на движение космического аппарата.—

Прим. ред,

В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ	73
дения барицентров систем Солнце — аппарат	и Солнце —
Земля .

Однако необходимо правильно выбрать переходную орбиту. Решая задачу покидания Земли, направление и величину начальной скорости следует выбрать так, что­ бы аппарат вышел на гомановскую орбиту. Если пред­

положить, что аппарат у ж е поднят на высоту									Н, то	пе­
ред	выходом		на	траекторию		полета к		Марсу	аппарат
можно перевести				на околоземную			орбиту или		сразу	ж е
перевести		на	эту	траекторию; его можно запустить и
с промежуточной				орбитальной		станции,		находящейся		на
круговой		орбите:		в любом	случае		мы	можем	считать,
что	задача,		связанная с		преодолением			сопротивления

атмосферы, решена. Гомановская орбита наиболее це­ лесообразна для дальнейшего движения аппарата, у ж е достигшего высоты Н\ соответствующую скорость не­ трудно вычислить: она равна сумме скорости на почти параболической геоцентрической орбите и характеристи­ ческой гелиоцентрической скорости, и в системе, свя­ занной с Солнцем, значительно отличается от парабо­ лической скорости. В гелиоцентрической системе коор­

динат	параболическая скорость, соответствующая	ра­
диусу	орбиты Земли, равна (см. выше Стр. 35)
	^ « 42,1 км/с,	(13)

а характеристическая скорость для гомановской траек­

тории З е м л я — Марс	равна
V	U®	^ М а р с

На расстоянии, равном радиусу орбиты Марса, кос­ мический аппарат приобретает скорость (относительно Солнца)

Поскольку скорость	орбитального движения	Марса
равна
у =	2 я - ! ^ ~ 2 4 к м / с	(16)

1 Марс

74				ГЛАВА I I I
скорость		аппарата	относительно		Марса		будет равна
24,0 + 21,5		км/с. Нижний знак соответствует более пред­
почтительному случаю;				тогда ѵ » 2,5		км/с.
Заметим, что аппарату предстоит еще войти в грави­
тационное поле Марса и достичь					поверхности			планеты.
Если предположить,			что траектория			аппарата		проходит
далеко от		Марса,	на	расстоянии,		где	параболическая
2,5	км/с

		5,72 км/с
	3,64 км/с	В. торможение
		3,64 км/с
	Действие	\ /
	торможения	s
	С
Р и с .	21. Маневр торможения, необходимый для перехода космиче­
ского	аппарата на круговую орбиту спутника Марса Траектория Л

по отношению к Марсу представляется почти прямой линией, хотя относительно Солнца она является дугой эллипса. Траектория А

отклоняется вследствие притяжения Марса па угол		а.	С — часть
ареоцентрической	гиперболической траектории, по которой		двигался
	бы аппарат без торможения.
скорость меньше 2,5 км/с (т. е. превышающем		3	радиуса
М а р с а ) , то эту	траекторию необходимо будет	изменить.

На поверхности Марса параболическая скорость состав­

ляет	5,15	км/с (рис. 21).		Следовательно,			начальная
энергия должна быть уменьшена торможением							аппарата;
если	мы	хотим достичь поверхности планеты, уменьше­
ние энергии при торможении должно						соответствовать
скорости		]/5,15 2 + 2,52 =	5,72	км/с,	в	точности		равной
скорости,		необходимой	для	того, чтобы вывести аппа­
рат на гиперболическую орбиту, в					бесконечно			удален­
ной точке		которой скорость равна 2,5 км/с. Если						ж е мы
хотим	лишь вывести аппарат			на очень		низкую	круговую

В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ

75

орбиту вокруг Марса, то относительнуюареоцентриче-

скую скорость следует		довести	до величины 3,64				км/с;
таким образом, для выхода на			такую	орбиту		необхо­
димо уменьшить скорость на 5,72 — 3,64				=	2,08	км/с.
З а д а ч а	перелета к	другим	планетам		рассматри­
вается аналогично. Отметим, что для внутренних							пла­
нет, таких,	как Венера,	перелет	Земля — Венера			анало-

0	2,5	5	7,5	10	12,5	15
Р и с. 22. Связь	между	начальной скоростью			и дальностью перелета
		космического		аппарата.

гичен обратному		полету	Марс — Земля, который можно
рассмотреть	так	же, как	и предыдущий пример, изме­
нив лишь	направление		скорости на	противоположное.
На рис. 22 изображена зависимость величины стар­
товой скорости от		расстояния конечной		цели полета.

3.Применение двойных маневров

Вподобных задачах существует общая закономер^

ность:	невозможно обойтись			без искусственных		ускоре­
н и й — дополнительно			к гравитационным, — которые при­
даются	аппарату	в	определенных		точках траектории.
Эти добавочные		ускорения		следует	сообщать	аппарату

как можно ближе к притягивающему центру, поскольку при этом увеличивается прирост кинетической энергии, пропорциональной ѵ 2 ; этот прирост тем больше, чем

76	ГЛАВА I I I
б л и же точка	коррекции к перицентру орбиты, в кото­

ром, согласно закону площадей, скорость наибольшая . Рассмотрим эту точку и оценим эффективность опе­ рации коррекции. Обозначим через і»( и ѵ2 скорости со-

Р и с. 23. Как сойти с круговой орбиты и удалиться в бесконечность.

ответственно до и после приложения импульса. Тогда разность энергий будет равна

	ô £ = y (у\—	і^) т =	ѵЬѵт,		(17)
поскольку потенциальная		энергия	не	изменяется.	Но
для сообщения	импульса	необходимо		затратить	энер­
гию
ô ' £	= - i ( D 2 - r ) l ) 2 ' " =		y ( ô w ) 2 m .		(18)

Следовательно, эффективность можно определить отно­ шением

	#	= - ^ ± ^ ~	2 ^ .		(19)
При заданном	ôv,	или ö'E, эффективность возрастает
с увеличением	ѵ.	Это свойство	лежит	в основе предло­
женных методов использования			двойных	маневров;	для

иллюстрации сути этих методов обратимся к примеру, рассмотренному Берманом.

Предположим, что мы хотим решить следующую за­ дачу: перевести космический аппарат, находящийся на круговой орбите, в бесконечность по параболической или гиперболической траектории. Простейшее решение дается траекторией типа а (рис. 23), в единственной точке А,

В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ

77

которой сообщается ускорение. Существует другое ре­ шение, типа б, в котором коррекция производится д в а ж ­ ды: в точках А и В. В маневре а

àvA =

ü K p y r

— Опт .

(20)

а в маневре

б

аѵв

=

(ѵкт>ут

— ѵ9ЛЛ,в)

+

(ѵгпп

— ѵзлл>А).

(21)

Энергия

ракеты

на

гиперболической

орбите

равна

£ = і

m

o

L

=

i w o L

\ потен

= -

^ - j ,

(22)

2

п ш

потен

2

°°

/-

откуда

А

/

о

1

2GM

, о о ч

ѵ 1

+

- ^ —

•

(23)

Понятно, что в выражение (21) входят различные ско­ рости, соответствующие точкам А и В эллиптической орбиты:

			элл. Л -	/ 0 Л ( т -		ѵ	Ь	^	_	( 2 5 >
Скорость		на	круговой орбите		о к р у г	=
	Таким	образом		приращение скорости в маневре б
равно, как		нетрудно		вычислить,
б о б = о к р у г		1 - 1 /		2 ( т ; + 1 ) +						(26)
С	другой	стороны,		для более	простого		маневра			типа а,
		аѵа = ѵкруг		- 1 + |	/ 2 ( і	+	^	)		(27)
Соотношение			(26)	получается	из	(27)	если		положить
гА	= гд.	Величина		А = 8ѵб/5ѵа,		которая			определяет

78

ГЛЛВЛ

111

эффективность

двойного

маневра,

зависит от

параметров

a =

2 ( l

(28)

и

ß =

2 ( - ^ + l ) .

(29)

Отсюда

А =

і -

т

/ р

+

Ё

Е І ,

(30)

У а — 1

Рассмотрим некоторые частные случаи. Прежде

всего

при Ѵсс/Ѵи «

0

(окончательная

траектория — параболи­

ческая)

а —2

и эффективность

двойного маневра

за­

висит только

от ß:

ь=у=—[(1

- Ѵ$-Ѵ$=%,

(зі)

и возрастает

с

увеличением ß. При изменении гв/гА

от

единицы

до

бесконечности

А

изменяется

от

1

до

і / ( | / 2 —

l ) . С

ростом

а

(гиперболическая

окончатель­

ная траектория) эффективность двойного маневра

(при

равных

значениях

ß) падает. Если а—* сю, то А—»1

не­

зависимо от значений ß. Таким образом, двухимпульсный переход типа б всегда предпочтителен, тем более, когда конечная скорость приближается к параболи­ ческой, а промежуточная орбита имеет, насколько возможно, низкий перигеи Л; лишь ограничения, связан­ ные с другими факторами, в основном с сопротивлением атмосферы, не позволяют располагать точку выведения слишком низко.

4. Сложные орбиты

Очевидно, задачи, рассмотренные выше, крайне усложнятся, если их решать в рамках задачи п тел, учитывать вращение планет и планетоцентрическую ши­ роту ракеты в каждый момент времени. В качестве при­ мера приведем геоцентрическую траекторию «Пионе-

		В В Е Д Е Н И Е В АСТРОНАВТИКУ	79
ра-4»,	хорошо	знакомого астрономам, поскольку он час­
то упоминается на ежегодных конгрессах			К О С П А Р ;
кроме	того, на	рис. 24 показана траектория	«Луны-3»,

Р и с. 24. Траектория «Луны-3» в системе координат, связанной с по­ ложением Луны в момент ее облета (ТАСС).

Р и с . 25. «Проекция траектории	«Луны-1» на плоскость эклиптики
(по Д о м а н ж е	и Мюллеру) .

огибающая Луну. Естественно, такие траектории имеют более простой вид в гелиоцентрической системе коорди­ нат, в чем нетрудно убедиться на примере «Луны-1» (рис. 25).

Входить	глубже	в	детали	здесь не представляется
возможным	.	"	-	-

80	ГЛАВА I I I
5.	Влияние	ошибок выведения
Выше мы упомянули о важности проблемы исправ­
ления ошибок	выведения	посредством коррекции орби­

ты, проводимых по командам с наземных станций сле­ жения, или, если аппарат с экипажем, самими астро­ навтами. Разумеется, расчет коррекций, которые могут потребоваться, должен проводиться до полета. В одних случаях достаточно лишь небольшого изменения траек­

тории, в	других — требуется	более значительная коррек­
ция. Мы	не имеем возможности обсуждать эту проблему
в общем	виде и ограничимся	одним простым примером.

Предположим, что ошибка в величине скорости и угле

выведения (отсчитываемого от						горизонтального				направ­
ления) составляют 1% и Г						соответственно.				Каковы
будут	ошибки		в расстояниях			апогея и перигея? Вели­
чина	скорости		выведения		находится			из	равенства
			2С/ѴІД,		п	1
			-R^7T-V°=T:GM®-							( 3 2 )
На круговой орбите Ra = RSl-\-H,							что		приводит	к тео­
ретическому		значению		ѵ0	= у к р у г		. Нетрудно убедиться,
что
	Яа	-	(Яда + Н )	' =	Ч2		„ Ч
	а		V ®		—		2 —	=	0,02.	(33)
							"о

Если точка выведения совпадает с одним из концов

главной оси, то при уменьшении скорости выведения					на
1% высота перигея	уменьшится		на 2% (при небольших
высотах Н, не превышающих 140км) . Таким				образом,
необходима очень высокая точность выведения.				Ошибка
в величине угла выведения приведет к ошибке				в значе­
нии эксцентриситета е. В приведенном выше случае					Ѵ0
можно, вообще говоря, найти из			равенства
е2 =	1 — s i n 2 1 / 0	=	cos2 У0 .		(34)
Следовательно,
	de = — sin	V0	dV0		(35)

de

т Й Д г ^ о -

(36)

	ВВЕДЕНИЕ В АСТРОНАВТИКУ								81
В окрестности Ѵ0		= л/2 имеем
	sin V0	~ 1,		cos2 VQ		л	-Vo
						2
поэтому ошибка очень мала.
При	идеальном		выведении е =			0; ошибка			в Г при­
водит к	значению		эксцентриситета				е — 0,003.		Следова­
тельно, ошибка В			/'щах И /'min		равна
	(/?© +			//) в «	0,00029/?®,
т. е. апогей и перигей изменятся на							0,03%,	что состав­
ляет ~ 2 км.
Ясно, что подобные расчеты совершенно								необходимы
при рассмотрении			полетов к Венере				или к Марсу. В этом

случае ошибки могут быть очень значительными, по­ скольку цель очень удалена.

Однако мы	уже достигли		замечательных	успехов
в овладении	методами	таких	расчетов: из	табл. 2
(стр. 153), где приведено большое количество				удачных
запусков, это видно очень		хорошо.

6.Заключение

Самые большие электронные вычислительные маши­ ны космических центров С С С Р и США (а также Ев­ ропы и — в ближайшем будущем — других стран) круг­ лосуточно работают, рассчитывая орбиты текущих и планируемых полетов. В этих сложных непрерывных вычислениях используются горы перфокарт и магнит­ ных лент. Отметим, что такие расчеты, в которых с вы­ сокой точностью вычисляются все возмущения и, разу­ меется, учитывается возможное изменение плоскости орбиты под влиянием каждого возмущения, значительно

усложняют задачу. Читатель должен			понять,	что мы
попытались лишь	ориентировать	его	в этой	области
науки. Благодаря	искусственным	спутникам		и плане­
там небесная механика Л а г р а н ж а		и Леверрье		получила

великолепное поле для приложении, требующих как тонкости, так и точности, в которых расчеты проклады­ вают путь для дальних экспедиций Магелланов кос­ мического пространства. Космические исследования