книги из ГПНТБ / Пекер Ж.К. Экспериментальная астрономия

42				ГЛАВА	II
Член нулевого порядка				Ѵ0 — —GM/x			был нами			рассмот­
рен	раньше.
Возвращаясь к рис. 3, найдем, что
		с о	з Ѳ = = " І + ^			+ ѵ £ ,				(43)
где	I , г], £ — координаты точки					М, в	которой		сосредото­
чена	масса dm; a, ß, у — координаты						точки	Р,	в	которой
вычисляется		гравитационный			потенциал;			наконец,
	Vi = -	| г [a J	I dm + ß { ч d/и + Y \ldni].							(44)
Интегралы,		стоящие	в скобках,			определяют координаты
центра масс тела (эти интегралы обращаются										в нуль,
если начало координат поместить в центре масс) .
Таким же образом				можно	вычислить			составляющие

Уъ Уз, І74- В выражение для Уг входят главные и центро­ бежные моменты инерции тела относительно осей коор­

динат. Члены Уз и			Ѵі содержат		моменты		инерции		высших
порядков.
Если тело сферически симметрично и состоит из одно­
родных		шаровых	слоев	(случай,		рассмотренный на
стр. 28), то все члены, кроме Ѵ0,					обратятся в			нуль.
В современных работах потенциал Земли представ­
ляется		в виде функции		от широты		ср и	долготы		L:
			?А^Г-\Рп		(5ІПф)		+
			п = 2
+ І	( - Т 1 ) " Рп < s i n		Ф) ( с « * cos ml		+ Snm	sin ml)		} ,	(45)
m=I							-I '
где	Pn	— полиномы Л е ж а н д р а ,			a p% — присоединенные
полиномы Л е ж а н д р а :

PnW—y

2(2n+ \){n-m)\

^ X>

dxm

•

ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ

ТЕЛА

43

Коэффициенты

fn

называются

«зональными гармони­

к а м и » * ; они

равны

(Козам, 1964

г.):

72

— 1082,64 • Ю - 6 ,

/ 3 = - 2 , 5 5 -

1(Г6 ,

=

—1,65

• Ю - 6 ,

^ 5 =

—0.21 • Ю - 5 .

а коэффициенты

Спт

и 5,1 ? „ называются «тессералы-іыми

гармониками»,

согласно

Андерлю

(1965

г.):

С 2 2 = 2,45 • Ю -

6 ,

S2 2

= - l , 5 2 . Ю - 6 .

Физический смысл этих коэффициентов таков: fz

ха­

рактеризует

наличие

экваториальной

выпуклости

Зем ­

ли; ?г

— асимметрию

южного

и

северного

полушарий

(вследствие

такой

асимметрии

Земля

имеет

грушевид­

ную форму);

С 2 2

и S22 — эллиптичность

экватора. Благо ­

даря достигнутой высокой точности анализа

наблюдений

за движением спутников, к настоящему времени

изве­

стны

более 200

коэффициентов

С„т

и

Snm.

Д л я вычисления и прогнозирования

положения

спут­

ника

с точностью

до

20

м необходимо

использовать все

эти коэффициенты. Данные, полученные с помощью ла­ зерной локации, позволят определить еще больше коэф­

фициентов	fn, Спт	и Snm, и прогноз	станет еще точнее.
Б.	Другие	гравитационные	возмущения

Лунные возмущения в движении искусственных спут­ ников Земли, как и приливные силы, более значительны, чем возмущения от Солнца. А если речь идет о косми­ ческих аппаратах, предназначенных для полета к Луне, влияние Луны уже. нельзя рассматривать как

*	«Гармониками»		обычно	называют	не	постоянные величины
fn, C„m, S„m,		а функции в		разложении	(45),	коэффициентами ко­
торых	являются	эти	постоянные. — Прим.		ред,

44	ГЛАВА	I I
возмущающее — необходимо		решать задачу	трех	тел,
массой одного из которых можно пренебречь*.
Возмущения	от Солнца также очень важны		(они	яв­

ляются основными в движении естественных спутников — например, Луны — вокруг «своих» планет). В межпла­ нетном полете (скажем, от Земли к другой планете) Солнце оказывается главным притягивающим телом, а Земля пли, например, Марс становятся возмущающими телами при движении аппарата в гравитационном поле Солнца (см. стр. 72).

Возмущениями от других планет или искусственных спутников на околоземных орбитах можно пренебречь, за исключением случая очень близкого прохождения

другого	спутника. В		этом случае происходит «столкно­
вение»,	при	котором	спутники	обмениваются энергиями
и переходят		с одной	орбиты	на другую; этот переход

протекает за очень короткий промежуток времени по сравнению с периодом обращения, и длина отрезка пере­ хода значительно меньше длины всей орбиты. Может случиться, что после «столкновения» новая орбита не будет принадлежать семейству допустимых орбит; тогда спутник неизбежно упадет на Землю . Однако число спут­ ников, находящихся на околоземных орбитах, все еще слишком мало, и вероятность такого «столкновения» близка к нулю.

В.	Hегравитационные	возмущения
Помимо	возмущения из-за	несфернчности Земли,

столь ж е значительную роль играет и ряд других воз­ мущений.

Поскольку искусственные спутники движутся в до­ статочно плотной атмосфере, нельзя пренебрегать воз­ никающей силой сопротивления. Эта сила зависит от высоты спутника и, следовательно, изменяется вдоль ор­

биты, если	только орбита		не является		круговой.
Весьма	существенно	и	влияние давления			солнечного
излучения,	в особенности		когда	площадь		поверхности
спутника,	освещаемая	лучами		Солнца,	достаточно ве-

* Так называемая «ограниченная задача трех тел». — Прим. перев.

	И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ				ТЕЛА	45
лика	(как у спутников типа «Эхо»). Ясно, что действие
солнечных лучей		прекращается	(или	возобновляется)
в тот	момент, когда спутник с освещенной стороны пере­
ходит	в область	земной тени (или обратно) .			Динамиче­
скими	эффектами	от солнечного	ветра,	пли	потоков	бы­

стрых частиц, испускаемых солнечной короной, прене­ брегать, разумеется, также нельзя, однако эти эффекты

пока плохо	изучены. Еще меньше исследованы электро­
статические	и электромагнитные	силы.
	Г, Искусственные	возмущения

Наконец, мы должны выделить представляющие осо­ бый интерес искусственные возмущения, которые вызы­ ваются радиокомандами, автоматическими программ­ ными устройствами па борту спутника или экипажем аппарата. Эти возмущения порождаются работой не­

больших реактивных			двигателей, которые			включаются
для коррекции		орбиты	или траектории во время				полета.
Таким	путем	можно	исправить		ошибки	выведения, а
также	получать траектории,			не	являющиеся ньютонов­
скими.	Позднее	мы подробней		рассмотрим		такие	задачи,

относящиеся к проблемам астронавтики. Однако, по­ скольку управление движением таких аппаратов может быть непрерывным, как, скажем, при движении авто­ мобиля, исследование их динамики едва ли будет по­ лезно для изучения естественных сил, действию кото­ рых они подвергаются. Это уже не экспериментальная небесная механика! .. Поэтому мы пока отложим зна­ комство с этими возмущениями, но позднее (стр. 65) вернемся к ним.

6. Подробное исследование гравитационных возмущений

Исследование гравитационных возмущений прово­ дится обычно в рамках задачи трех тел (спутник, Земля, масса которой предполагается сосредоточенной в ее центре, и возмущающее тело) . В общем случае эта за­ дача исключительно сложна, поэтому мы коснемся здесь лишь некоторых ее сторон. Рассмотрим вначале простей­ ший случай,

40,

ГЛЛВЛ It

А. Определение нейтральной точки

П р е ж де всего рассмотрим простейший случай одно­ мерной задачи (строгой!), в которой па прямой Земля — Луна разыскивается нейтральная точка, в которой при­ тягивающие силы этих двух тел равны между собой. За ­ тем мы исследуем некоторые свойства этой замечатель­ ной точки.

Обозначим через Мф и			массы		Земли	п	Луны
соответственно,		сосредоточенные в		точках		О	п	О'
(рис. 11). Тогда уравнение			движения	будет		иметь		вид
v -	dr	= -G~^-±G	,		•			47)
		г	(a + r ) !				s	'

Нижние знаки в этом уравнении соответствуют распо­ ложению тела на продолжении прямолинейного отрезка

з п	Земля	а	Луна
•	?		5'

Р и с . 11. К определению «нейтральной» точки.

Земля — Луна за его пределы. Верхние знаки соответ­ ствуют положению тела на этом отрезке между Землей и Луной.

Это уравнение легко интегрируется:

v i = x	f l	+	2GMJ-~—		) ±2GMg		\—L	^ 7 - 1 .	(48)
Д л я	сравнения найденного					результата с		полученным
ранее		при		рассмотрении	системы		спутник — Земля		вве­
дем	в	это		соотношение	величины		параболической		ско­
рости, соответствующие					расстояниям го (от центра Земли
О)	и b		(от	центра Луны О');		Землю и Луну мы			здесь

рассматриваем изолированно). Тогда можно написать (см. выше, стр. 35):

*p('o) =	2 G - ^ f	(49)
и	Mr
ѵ*(Ь) =	2 0 - ± ,	(50)

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ

КАК НЕБЕСНЫЕ

ТЕЛА

47

следовательно,

(^

1) ± vi

" 2 = °3 +

vi

(г0)

-

[Ь) (

^

і ^ -

.

(51)

Полоокение

нейтральной

точки.

Равенство

сил

при­

тяжения

Земли

и Луны определяется

соотношением

™ ѳ _

G

M

4

( 5

2

)

rl

(а -

' . if

откуда

/И

(53)

1

+

Подставляя

сюда

данные из табл. 6 приложения,

найдем

/•„ =

51,2/?®.

(54)

Заметим,

что а — 60,258 R&

Какова

начальная

скорость,

необходимая

для

дости­

жения

Луны

по прямой

линии?

Положив в

(48)

г =

га

и V =

0,

найдем,

что минимальная

начальная

скорость,

необходимая для перелета к Луне, равна

ѵ0—

11,05

км/с,

(55)

что

немного

меньше

параболической

скорости

(и = 1 1 , 1 8

км/с) . Ясно, однако, что

без учета

поступа­

тельного

и

вращательного

движения

Луны

и

Земли

космический аппарат к Луне запускать нельзя, так что полученное приближение совершенно недостаточно.

Какова		начальная		скорость,		необходимая			для	того,
чтобы	аппарат,		запущенный		с Земли,		покинул		поле тя­
готения	Солнца?		Заменим		в предыдущих			соотношениях
Землю	Солнцем		и	Луну	Землей.		Пользуясь		данными
о Солнце		и Земле		(приложение,		табл. 5		и 6), получим
величину		43,7 км/с. В действительности						Земля		обра­
щается	вокруг Солнца, так что спутник Земли								уже имеет

некоторую скорость относительно Солнца. Поэтому до­ полнительная скорость, необходимая для выхода из поля тяготения Солнца, меньше вычисленной выше. Позднее

48	ГЛАВА II
мы подробно	исследуем (стр. 72) движение аппарата

вне области, где сила притяжения Земли является доми­ нирующей.

Б. Вычисление	гравитационных		возмущений
в	общем	случае

Очевидно, что вычисление гравитационных возмуще­ ний в общем случае — гораздо более сложная задача, чем в только что рассмотренном простейшем примере.

Впринципе математическая формулировка этой

задачи

в самом общем

виде

дается

уравнениями

Лаг -

р а н ж а .

Однако

в случае

искусственных

спутников

воз­

мущения достаточно

малы

и поэтому

их

можно

рассмат­

ривать

независимо

друг

от

друга.

В

этом

случае

уравнения

движения

имеют вид

d7r

I М~ + m \

+GM'

I d

а \

< 5 6 )

-ж = - G [-*?—)г

Ы

-

7 - ) •

где

М'

— масса

возмущающего

тела,

расположенного

на

расстоянии

а от центра

Земли (рис. 12). Введя «воз­

мущающую

функцию» 31,

напишем

d-r

I Мщ. + m \

где

4t>=-G[-^T>

j r

+

g r a d $ ,

(57)

й = О Л / ' ( - 1 - І £ ) .

(58)

Возмущающая

функция

31 была

уже

раньше

записана

в общей форме без предположения

о

точечности

массы

М'.

Однако в

равенстве

(42)

31

являлась

функцией от

широты и

долготы

точки

на Земле, над которой нахо­

дится

спутник

(подспутниковая

точка);

существенно,

что возмущающие массы предполагались присоединен­ ными к Земле.

Более удобно выбрать в качестве аргументов функ­ ции 31 шесть параметров оскулирующего кеплеровского эллипса * (большая полуось а, эксцентриситет е, накло-

* Спекулирующим эллипсом возмущенной траектории называется эллипс, по которому стало бы двигаться исследуемое тело, если бы начиная с данного момента все возмущения обратились в нуль.—.

Прим. ред.

И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ			КАК НЕБЕСНЫЕ		ТЕЛА	49
пение і, долгота восходящего			узла	<Q,, аргумент		пери­
гея со, средняя	аномалия	М\ см. рис. 16).
Уравнения	Л а г р а н ж а	позволяют		найти	изменения

параметров оскулирующего эллипса. Решение этих урав­ нений возможно только приближенными методами. Мы не можем здесь углубляться в эти методы и отсылаем

читателя к книге Ж .	Ковалевски *. Дл я нас	достаточ­
но, что, пользуясь этой	общей теорией и введя	функцию

		Р и с . 12. К определению				«нейтральной»		точки.
52,	зависящую		как	от	времени, так		и от	положения
в	пространстве,		можно		с ее помощью		вычислить		возму­
щения		от Луны	и Солнца.
		В.	Члены,	зависящие		от	времени
	В	окончательном		решении		каждый параметр			орбиты

представляется рядом, содержащим четыре вида членов, зависящих от времени.

1. Вековые	члены.	Эти	члены	линейно зависят от
времени. Они	обнаруживаются в			перемещении	перигея
(вращение «линии апсид»,			т. е. большой оси в плоско­
сти орбиты)	и восходящего		узла	(вращение	плоскости
орбиты вокруг земной		оси). Эти два движения			являются

наиболее существенным свойством орбит искусственных спутников. Другие ж е изменения параметров суть про­ сто колебания относительно некоторой средней вели­ чины, постоянной или линейно меняющейся со временем.

Поскольку вековые члены связаны с возмущающей функцией 52, определяемой гравитационным потенциа­ лом сжатой Земли, для их расчета необходимо знать ее

* /, Kovalevsky, Introduction to celestial Mechanics, Springer,

50

ГЛАВА II

потенциал. Приведенные выше выражения позволяют определить перемещение перигея и восходящего узла из соотношении (в градусах дуги за сутки)

^ = 4 , 9 8 ( - ^ ) ' / , ( 1 - еГ2 (5 c o s * i - l ) .

(59)

^ = 9,97 l^j'\l-er2cos/,

(60)

где правые части являются функциями от параметров орбиты (рис. 16). На практике эти члены имеют вели­ чины порядка нескольких градусов в сутки. Нетрудно

убедиться,

что

два

значения

наклонения:

і =

90°

и

і =

63°,4 (cos

i

=

і / / 5 ) ,

играют особую роль. На

поляр­

ной

орбите

(і =

90°)

dSl/dt

= 0;

поэтому, когда

значе­

ние і проходит через 90°, меняется

направление

враще­

ния

плоскости

орбиты.

При і ф

63°,4

(«критическое»

наклонение)

имеет

ме­

сто

либрация

перигея:

при і <

і , ф І 1 т

перигей

движется

в направлении

вращения

спутника,

при і > ( 1 ф „ т

в про­

тивоположном *.

2. Долгопериодические

члены.

Эти

члены

сравнимы

с членами, определяющими колебания Луны. Их период определяется движением перигея в плоскости орбиты спутника и равен д в у м — т р е м месяцам. Наиболее ин­ тересны долгопериодические члены, возникающие благо­

даря коэффициенту tf% в разложении земного						потен­
циала	(характеризующему		асимметричность		северного
и южного полушарий З е м л и ) . Наблюдаются					большие
изменения		эксцентриситета.	Высота	перигея	колеблется
с амплитудой в несколько десятков				километров.
3.	Члены	с периодом, близким к		суткам. Они		возни­

кают вследствие зависимости потенциала от долготы и

связаны с вращением	Земли. Появление их объясняется,
в частности, эллиптичностью			экватора		Земли,
* Здесь недостаточно	точно описан			характер		движения			пери­
гея ИСЗ . Если наклонение	і	орбиты	И С З	далеко		от	! „ р и т ,	то	дви­
жение совершается так, как		сказано	у автора.		Если		ж е і	близко к

ікрпт, то могут существовать либрациоппые орбиты спутников, т.					е.
такие орбиты,		перигей которых	не обладает вековым	движением,
а	совершает только колебания		около значения со = л/2	или со	= .
==	Зл/2. — Прим.	ред.

	И С К У С С Т В Е Н Н Ы Е С П У Т Н И К И КАК			Н Е Б Е С Н Ы Е		Т Е Л А	51
4.	Наконец, существуют		члены,	возникающие			вслед­
ствие	притяжения	Солнца	и Луны.	Д л я	низких		спутни­
ков они пренебрежимо малы и				становятся		значитель­
ными только на очень высоких				орбитах		(с большим
эксцентриситетом)		и, разумеется, на			межпланетных
траекториях.

7.Негравитационные возмущения

Силы иегравитациониого происхождения (сопротив­ ление среды, давление солнечного излучения) играют значительную роль, однако практически невозможно построить аналитическую теорию возмущений от этих сил. При обработке наблюдений с целью оценки воз­ мущающих факторов уравнения движения приходится решать специально подобранными численными методами.

Уравнения имеют следующий вид:

	rf?r		/ AU	+	m\		I dr	\
	^ —	G [	- ^ r	-	)	r	+ F(w,r.t).		(61)
В	частности,	возмущающая				сила сопротивления среды
равна							dr
					kSp				(62)
			тр				dt
где	\dr/dl\—скорость		спутника				относительно		атмосфе­
ры;	р — плотность		атмосферы,				5 — площадь		попереч­

ного сечения спутника; коэффициент k зависит от формы спутника, его величина — порядка единицы. Выражения для других . возмущающих сил очень сложны, причем иногда они терпят разрыв, например при переходе из освещенной области в затененную.

Сила	давления солнечного излучения	на	спутник
равна
а) в	случае полного отражения солнечных		лучен
	Л І М = - т - 5 ;		(63)
б) в случае полного поглощения лучей		(«абсолютно
черное	тело»)

F*3» = T S -

(64>