книги / Механика сплошной среды

Представление		£?(х,	у) возможно в виде &*(х+ у), и тогда будет
R(x + y),	следовательно,
		=	t ft R' (2t—		—т2) de^x,) dsij(т2) > 0	(20.21)
		о	0
должно	быть при любых			8(/ (0,	876,7= 0. Для максвелловской мо­
дели, например, # = ./?(0)ехр(—t/tr), и потому всегда
				t
		а'* =	1 ^ г [ 1		O ^ i/C O ]2^ .	(20.21')
			г	0
Теплоемкость		при р = 0		равна	Т0- ^ - = с\ второй закон	термоди-
					дТ

намики

рТ — = —div q + pay* dt

и закон Фурье q= —л grad Т дают уравнение теплопроводности

		с —	= ЯА7’ + ш* + За7’0-^ -.		(20.22)
		dt	dt
Присоединяя	к	нему уравнения движения р(щ—У7/) = ах/, /,			закон
р = —/С div и	и	выражения (20.14), получим		замкнутую	систему
уравнений для		и и Г,	причем задачи МСС	в рассматриваемом

случае будут связными, т. е. уравнения для и и Г не разделяются,

так как	в (20.22)	входит и через w*\ в выражения	арчерез р =
= —/С (div и—Зад)		входит температура.
При	w *^0 (20.21) и s (20.19") условие (10.37)
		Р г 2Я/СО
		\ d f J p 7 W = 0 ,	(20.23)
		v

обеспечивающее требования к функции рассеяния w*, поставлен­ ные в § 10, будет выполнено.

§ 21. ДИНАМИКА СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

Основные уравнения движения произвольной сплошной среды (8.14) — (8.16) запишем в виде

dv

grad ( - у + ф ) + -^ -gradp=

~dt

:vXrot v + К— div Ds,	dp	-r divpv=0,	(21. 1)
9	dt

9 А. А. Ильюшин

содержащем параметр Х=1, который фиксирует отличие этих уравнений от уравнений движения идеальной жидкости, посколь­

ку для них девиатор напряжений Ds равен		нулю (§ 13), следова­
тельно, можно формально положить Х = 0.				Ds	ограничен
В твердых упругопластических телах девиатор
по модулю или	норме \DS\ = a = l /^ai/aI-/ (§	17,	19),	и естественно,,
diу Ds в (21.1)	будет ограничена всюду также		(кроме		особых ус­

ловий на границах и поверхностях разрывов касательных напря­ жений).

В вязких	жидкостях (§ 14). D S = 2\I 9, где р		— константа или
функция (7,	р), в вязкопластических жидких		и твердых	телах
Ds=2mVlv (§	17),	где 2т=о — функция модуля скорости дефор­
мации (v2=VijVij),		температуры и давления, такая что при		б-Я>

функция т — конечна, а при v-^oo функция m/0-^p, т. е. скла­ дывается впечатление, что девиатор Ds неограниченно возрастает

по модулю или норме \Ds\==o=Vroij<jij . Однако из опытов из­ вестно, что коэффициент вязкости всех тел р падает с увеличе­ нием числа Рейнольдса, т. е. с увеличением скорости v.

При больших скоростях движения ограниченного тела размера

/0 с характерной скоростью v0y обладающего						ограниченным		по
скорости деформации сдвиговым сопротивлением, о<оо(р, Т)								при
5->оо, при слабом возрастании сдвигового					сопротивления а вместе
с ростом давления в области больших					давлений, (о/р)-+-0			при
р~*оо, при условиях, которыми обычно обладают среды
	—	> 0 , 4 ? - > 0 ,		—	< 0 ,		(21.2)'
	d p	d v		д Т
в уравнениях	(21.1)	X можно	считать	малым		параметром,		кото­
рый в первом	приближении		можно	положить равным			нулю.

В первом приближении в области больших скоростей и давлений среды ведут себя как идеальные жидкости или газы. Следова­ тельно, их асимптотические уравнения состояния получаются при

свободной	энергии	ф, диссипации			до*		и функциях		состояния
(§ 13):
		Ч»=Ч>(0. Т),			0=1п —
							р
	dty + sdT + pdQ—(OijVif—w’)d t= 0,								(21.3>
	„	dvb		dtb		,	— ■ .	_	(21.3'>
	s = -----—,		p = ----- —, w				= o uvu ^ 0 .
		дт		ае			ч Ч ' '
Условию	неотрицательности			до*^0	удовлетворяет			не	только о ц =
=avij/v, но и (19.5), (19.6)
		vи	Ojj		(N,		М)> 0
			N

и др.

В инерциальных системах координат скорость относительного движения не влияет на физические законы, поэтому, говоря о больших скоростях, надо иметь в виду, что скорость в некото­ рой точке области движения принимаемой инерциальной системы равна нулю. Например, равна нулю скорость центра масс и т. п. Пусть v0 — характерная большая скорость; это значит, что

»0» т а х ( У - | - . У А

).

Пусть ро — характерное большое давление

Ро » шах (a, p0t>o/2

)•

Пусть линейные размеры lVi lP, L оценивают градиенты по модулю

dv	~ Л*.	др	I~	!± -	до
дх	lv ’	дх	1	Ь	дх

и пусть девиатор Ds оценивается двучленом

\Ds\ ~ o 0 + \iv0/lv.

Тогда по порядку величин уравнение (21.1) имеет вид:

(1) - ^ - + (2 ) '- ^ 7 - + — l—				((3)o0 + (4)(i ^ } ~ 0 . (21.1')
f-v ~	Р	Р о	‘а	\	/
Отсюда получаем	оценки	относительного веса Ds			сравнительно
с двумя первыми слагаемыми
*™=(3)/(1)		~ ^ г	,	К р=(3)/(2) = ±	-5*-,
	‘a	p0t)Q		'а	Ро

** -(4 « 1 » = У ' У Г-

Малость третьего и четвертого слагаемых сравнительно с (1) оп­ ределяют малость, которую характеризует в (21.1) параметр

Л= 1.

Во всех движениях рассматриваемого типа справедлив закон плоских сечений [62], который демонстрируется на примере аэро­ динамики больших скоростей. Ввиду несимметрии координат XiX X (/= 1 2, 3) используются обозначения: х\=х, х2=у, Хз=г.

В результате анализа движения тонких твердых тел с больши­ ми сверхзвуковыми скоростями в различных твердых, жидких и газообразных средах обнаружено следующее общее свойство, наз­ ванное законом плоских сечений: если вектор скорости какой-ни­ будь точки правильного тела есть U и если поперечные скорости других его точек порядка не более &U, то при установившемся и

неустановившемся движениях тело вызывает в окружающей среде только поперечные возмущения, причем давление в любой точке поверхности тела, рассчитанное согласно этому закону, может от­ личаться от истинного на величину порядка не больше

1+*1-	1	fc2 1	1	(21.4)
2М2	2	\	М2

по сравнению с единицей.

Отсюда следует, что если перед телом двумя соседними парал­ лельными плоскостями выделить плоский слой физических частиц, среды, перпендикулярный вектору скорости U какой-нибудь точки тела, то при расчете давления с указанной степенью точности сле­ дует считать, что частицы среды будут совершать движения, па­ раллельные плоскостям, так что плоскости для них будут как бы жесткими непроницаемыми стенками.

Закон плоских сечений существенно упрощает как постановку и решение задач сверхзвуковой аэродинамики, так и методы экс­ периментального исследования движения тел. Поэтому воспроиз­ ведем основные пункты доказательства этого закона.

Рассмотрим сначала случаи установившегося движения тела и направим ось х по скорости потока, а оси у и z выберем в пер­ пендикулярной плоскости, считая систему координат неподвижной относительно тела.

Косинус угла наклона нормали к поверхности тела с осью х

обозначим
		cos (vx) = е cos ф,			(21.5)
где е, следовательно,		максимальный	угол	наклона	нормали
к плоскости (у,	г), а	\р — заданная функция		координат на по­
верхности тела.					удовлет­
Тогда на поверхности тела скорости среды должны
ворять условию
	vy cos (vy) + vz cos (vz) =		evx cos ф.		(21.6)
Считая для	общности, что тело имеет в плоскости (у,				z) соиз­

меримые поперечные размеры, из (21.6) имеем следующие оценки скоростей на поверхности тела:

(21.7)

т. е. скорости частиц в поперечном направлении в е раз меньше скорости продольной.

Здесь и в дальнейшем символ ~ означает, что величины од­ ного порядка по модулю, а символ ^ — что одна из них либо того же порядка, либо меньше другой.

Фронт ударной волны, вызываемой телом, движется относи­ тельно неподвижного газа со скоростью Д различной в разных

точках поверхности фронта, причем относительно тела он является неподвижным.

Следовательно, косинус угла наклона нормали к поверхности фронта с осью х равен

cos(vx) = — £	(21.8)
где U — скорость движения тела.	через
Условие сохранения массы, втекающей и вытекающей
площадку поверхности фронта волны, имеет вид
щ = — = Pi [vx cos (vx) + vycos {vy) + vzcos (vz)],	(21.9)

а закон сохранения количества движения и импульсов дает урав­ нения

Щ (U— vx)= (p1— p0) cos (vx);

mi ( vy)= (ft. Po) cos (vy);

10)

Щ (•—Vz)= (pr—p0) cos (vz),

причем po, po — давление и плотность невозмущенного газа (пе­ ред фронтом волны), а рь р{ — их значения сразу же за фронтом.

К уравнениям (21.9) и (21.10) необходимо присоединить ус­ ловие сохранения энергии, которое в общем случае эквивалентно уравнению Гюгоньо:

	_ P i _ _	(&+ 1) 0 + k — 1_	/ a =	_Pi^\	(21.11)
	Po	k + l + ( k - \ ) a	\	po } '
	Поскольку энтропия газа выражается через величину а:
Л	R		Г k + 1+ (k— 1) a		(21. 12)
	k — 1		L (л+ 1)о+ л- 1 .

так что Js= 0 при о=1, то для краткости величину о= р\1ро будем

называть энтропией.

Из (21.10) видно, что скорость частицы газа V\ относительно неподвижного пространства, получаемая ею после прохождения фронта волны, направлена по нормали к фронту и равнаI

		I	Pi — Po	(a — 1) c-Q	d =	(21.13)
	m1			kD
		D	Po		\	po

где Co — скорость звука в невозмущеннойсреде. Следовательно,

vx— U = vLcos(vx), vy= vl cos(vy), v2 = v1cos (vz). (21.14)

Кроме того, умножая первое уравнение группы (21.10) на cos(vx), второе — на cos (vy), третьей — на cos(vz) и складывая, получим на основании (21.8) и (21.9)

D2=- Pj- -Pl—^-=cl f 1 -i-		* +1 (q— 1)	(21.15)
pi —Po	L	2k

Исключая из (21.15) о при помощи (21.13) и решая уравнение относительно D, находим

D = - ± ± L V l+ Y

(21.16)

Отсюда имеем оценку порядка скоростиударной волны для

ЛЮбОГО

D ^ c 0 + Vl.

(21.17)

Поскольку из (21.14) v{~ v y~ v z и в соответствии с (21.6)

		V1^ v y zzv 2 ^г еих,									(21.18)
то для угла наклона ударной волны из						(21.8)	имеем
	cos (vx)		Со+ t'i _			1 +	е.				(21.19)
			U			М
Из первого уравнения (21.14) теперь имеем								оценку		для ско­
рости Vx '.
		Vx_ и ^ и (е2 +			г/М).						(21.20)
Граничное условие		(21.6)	теперь		с точностью			е2 + е/М			сравни­
тельно с единицей следует записать в виде
vy cos (vy) + vz cos (vz) =						UE COS -ф					(21.21)
причем с точностью е2
		cos2 (vy) +		cos2 (vz) = 1,
т. e. нормаль к поверхности можно в						(21.21) заменить				нормалью
к контуру поперечного сечения, лежащей в плоскости									(у,		z).
Условие на фронте ударной волны, вытекающее из										(21.14) и
(21.13), с точностью до е2+1 /М2 будет
2	.	2		(сг — I ) 2							(21.22)
Vy	V2---		• -----------------------
		k		( k + \ ) o + k — 1
причем энтропия о	выражается			формулами			(21.11) и		(21.12) че­
рез плотность и давление.				тела		вдоль	оси	х,	на		которой
Пусть а будет часть длины
cos(vx) изменяется	на	величину		порядка е,			причем а		соизмеримо

с длиной тела. Потребуем, чтобы поверхность тела была доста точно гладкой, а именно

д cos (vx)	_е_	д cos (vx)		~ 1	д cos (vx)	^	1
dx	а	ду		а	dz		а
				1	д c o s (vy)		(21.23)
д cos (vy) ^	1	д cos (vy)	<			^	1
дх	а	Ту		га	dz		га

причем для cos (vz) требования так же, как для cos (vy), должны выполняться почти всюду. Тогда, дифференцируя (21.21) по про­ дольной дуге S

J L = - ? - c o $ (Sx) + - i - cos (St/) +

dz

cos (Sz) =

— 1- e

dy ^

edx

dS

dx

dy

dx

dy

и учитывая

найденные оценки:

vy'

v2~ tU

и

(21.23),

получим

dvL

дии

dvz

dvz

гЦ

(21.24)

dx

dy

dx

dz-

a

Дифференцируя по поперечной дуге 5, найдем

dvy]

dvz

^

U

(21.25)

\dz

dy

Точно так же можно дифференцировать

соотношения

(21.14)

на фронте волны, причем из первого получим

—

(е2+ —

).

(21.26)

дх

а

'

М

)

v

’

Остальные же оценки совпадут с уже найденными.

на

фронте

Итак, из условия на

поверхности

тела и условий

волны получились следующие согласованные оценки скоростей и их производных с точностью до е?-г1/М2:

		Vx= и ,		v z	zU ,
_^JC_ ^	—	i z 2 ,	е \	dvx	__ dvx	гЦ	(21.27)
дх	а	\	М )'	dy	dz	a t
dvy __	dvz	гЦ	dvy		dv2	doz _	и
dx	dx	а	dz		dy ^	dz	a

Кроме того, не пренебрегая возможными вихрями, которые воз­ никают на фронте ударной волны, имеем

	dvy	dvz	dvK	dvx	dvu	(21.28)
	dz	dy ’ ~ d 7	dz	dy	dx

Покажем теперь, что из дифференциальных уравнений движе­ ния газа вытекают оценки, совпадающие и не противоречащие

данным выше. Условие неизменяемости массы жидкой частицы можно записать в виде

дх	с	02		3inp_		у	^		дг	(21.29)
				'	дх		ду
Обозначим отношения производных давления р к производ­
ным плотности р через			с'х, Су,		с\:
				j p _ — c 2		j p _ '	J P _ =		c z J £ _ '	(21.30)
	дх	дх		ду		ду	дг		дг
Тогда, очевидно, величины сх, су, сг будут порядка местной
скорости звука частицы на фронте волны:
		с, ^=су ^ с г *= с							D.	(21.31)
Уравнения движения теперь запишутся в виде
		d v x ,		d v x	,	d v x		2 д In р
	° х - Т * - + и У ^ Г + и г ^ = ~ С* — Г 1
		дх	ду		дг				дх
	^		^		*V =			2^1пр_
		^дх	у	ду		дг			ду	(21.32)
		dvz		dvz	,	dvz		2 д In р
		дх	у	ду	•	дг			дг
Внося отсюда производные Inр в (21.29), получим
V	X ) дх		[		£ ) ду ^ \				d ) дг
	1	dv
	_2	ду	4 ^ 1 ”				{ 4	*	^ * , +
		+ »A		1	dv2		1	dv*		(21.33)
					dx		r2	dz
Поскольку
				и2		1		»	1.
				D2	(e+l/M)2

единицу в скобках первого слагаемого следует отбросить, соблю­ дая точность е2+ 1/Л12.

Аэто значит, что следует отбросить первое слагаемое в (21.29),

т.е. с такой же степенью точности в уравнении сохранения мае-

сы считать vx=U постоянной. Все остальные слагаемые в (21.33) будут одного порядка, а именно Ufa.

Таким образом, уравнение сохранения массы записывается в виде

а ^дх+ - тду- Ю у + -0 2 г ^ = 0

(21.34)

и означает, что масса газа, заключенная между двумя плоскостя­ ми уг, движущимися со скоростью у, остается неизменной с точ­ ностью е2+1/М2 сравнительно с единицей, а следовательно, и дав­ ление р определяется с такой же степенью точности только через перемещения частиц, параллельные осям у и г. Отсюда вытекает также, что градиент давления вдоль оси х должен быть малым сравнительно с градиентом по осям у и г. И действительно, при­

меняя оценки (21.27) к уравнениям			(21.32), мы видим,	что левая
часть первого уравнения содержит			величины порядка малости е+
+ 1 /М сравнительно	с величинами		второго и третьего	уравнений.
Оценки (21.28)	позволяют	найти интеграл уравнений (21.32)
по порядку величин
Vx— Л ^ р/р +		v2y -г v2Zt y4 = const.		(21.35)
Применяя это соотношение к границе тела и фронту ударной
волны, на основании (21.31) и (21.17) получим
	vl— U* =	(е2 +	ММ2) U\	(21.36)

откуда ясно, что оценки, вытекающие из всех основных уравнений, граничных условий и условий на фронте волны, совпадают и с точ­ ностью е2+1/М2 определяются формулами (21.27) и (21.28).

Второе и третье уравнения (21.32) теперь не зависят от vx:

	и O^L + V y - ^ + v,				dvy	др
	дх		и	ду	дг	ду	(21.37)
	Т7 dv?	I		dvz	dvz	др
	U — —	4 - V		~ду~	dz	дг
	дх	^	у
Вместе	с граничным		условием		(21.21)	и условиями	(21.13),
(21.14) и	(21.22) на фронте волны				система	уравнений	(21.34) и

(21.37) доказывает закон плоских сечений при установившемся движении.

После того как найдены vyy vZy р, первое уравнение (21.32) позволяет найти скорость vx в различных сечениях. Однако в этом уже нет никакой необходимости.

Легко видеть, что в случае неустановившегося движения тела закон плоских сечений будет иметь место в том случае, если на пути порядка размера тела а его продольная скорость изменится на величину порядка не более e2f/, а поперечные скорости будут

порядка не более е£Л Применительно к ракетам, снарядам и са­ молетам при М2^>1 эти требования не накладывают ограничений на движение. Доказательство вытекает из того, что при движении тела через неподвижную в пространстве плоскость, перпендику­ лярную оси х, переход от установившегося движения к неустапо­ вившемуся с точки зрения явлений, происходящих в этой плоско­ сти, эквивалентен замене одного тела «тонкости е» другим той же степени тонкости.

Новая постановка задач сверхзвуковой аэродинамики. Необхо­ димо теперь отвлечься от обычного эйлерова представления об обтекании тела потоком и рассмотреть явления, происходящие в неподвижной в пространстве плоскости х0у выбранной при /=0 у носика тела и перпендукулярной вектору скорости какой-нибудь точки тела в этот момент. При проникновении тела через эту плос­ кость частицы газа получают движения, не выходящие из плос­ кости х0. В момент времени t в плоскости Хо будет находиться се­ чение тела, расположенное на расстоянии ^=U0t от носика, причем U0 есть скорость U при /=0.

Уравнение контура фигуры f(y, z, /), образуемой телом в плоскости *о, следовательно, известно. В случае неустановившегося движения снаряда, например, это будет расширяющаяся и пе­ ремещающаяся окружность. Если снаряд имеет оперение, то на этой окружности в некоторый момент времени появятся сначала радиальные линии, которые затем будут развиваться и переме­

щаться вместе с ней, и т. д.		и t	частные производные	функции
Обозначим индексами	у, z
/ = / (г/, г, t). Направление	нормали		к контуру определяется на­
правляющими косинусами:
cos(v*)=--------U------- .		cos Ы ) = -------- -------- .		(21.38)
* V ~ t U K

причем скорость расширения контура по нормали в любой точке будет

о = ----------- к-------	(21.39)
7 ,
Граничное условие, означающее непроницаемость контура:
vyQOs{vy) + vzcos(vz) = v или vyfy + v j 2 = — ft.	(21.40)

Вокруг контура f в плоскости х0 будет распространяться удар­

ная волна со скоростью D по нормали к фронту. В первое время контур фронта будет подобен контуру /.

Если vi есть нормаль к фронту в плоскости х0у то условия на нем принимают вид