книги / Механика сплошной среды
..pdfиз дискретных положительных и отрицательных зарядов плотно сти рс, взаимодействующих между собой и создаваемым ими по лем в вакууме. Электрический ток представляется только конвек тивным и равен pev<> где \ е— истинная скорость движения заряда.
Истинное Э-М поле (е, h) такой системы удовлетворяет урав нениям Максвелла
ro te = — |
divh = 0, |
сdt
(22.26)
rot h = — ——h"— PeV6 dive=4jtpe.
c dt c
На заряд pe в этом поле действует сила Лоренца: |
|
fe= pee -f — pevexh. |
(22.27) |
С |
|
Микромир зарядов ре и токов ре\ в веществе |
образует слож |
ную статистическую систему в пределах макрообъема среды dVy в макро бесконечно малом интервале времени dt. Его рассматри вают как систему SN большого числа взаимодействующих частиц (§ 1 2), в которой пренебрегают усложнениями, связанными с квантовомеханическими и релятивистскими эффектами. Усредне ния соотношений (22.26), (22.27) по малым макрообъему dV и времени dt с учетом сложной системы точечных зарядов р^. и то ков pev представляют сложную задачу. Заряды могут образовы вать диполи и мультиполи и при усреднении приводят к понятию вектора электрической поляризации 9 . Круговые замкнутые токи вместе с ними приводят к понятию вектора магнитной поляриза ции или намагниченности Ж.
Для релятивистски малых скоростей (р=и/с<^1) в рамках классической статистической механики А. Эрингеном и Ж. Можё на базе электронной теории Лоренца развита теория пондеромоторных сил и мощностей [10; 11]. Каждый точечный заряд в дви жущемся со скоростью v(x, /) с вихрем (о(х, t) лагранжевом ба зисе (малом объеме dV) имеет переносную и относительную ско рости; последняя состоит из регулярной составляющей под дей ствием лоренцовой силы в поле, возникающем от всех зарядов, и нерегулярной (тепловой) от межчастичных взаимодействий. Дви жение каждого заряда образует столь же сложный ток. Совокуп ность зарядов в единице объема при осреднении дает плотность зарядов ре, плотность электрических диполей, квадриполей и т. д. Токи приводятся к магнитным диполям, их совокупность вместе с током pev приводит к определению плотности полного тока j в (22.6). Аналогично, осредняя лоренцовы силы (22.27), действую щие на всё заряды в единице объема, их моменты гХ% и мощно сти ft>vc, получают плотности объемной силы f(e>= pF3 момента
т е=ГЛэ и мощности w^e)= Q3.
Кажущаяся столь простой реализация схемы получения основ ных для постановки задач МСС величин в действительности по требовала существенных уточнений и сложных вычислений. Здесь приводим лишь общие идеи и некоторые результаты работы [11].
Пространство наблюдателя имеет координатную систему ДЭС, в ней записаны уравнения (22.26). Усредненные в указанном вы ше смысле величины истинного Э-М поля обозначаются входящи ми в (22.6) символами
(е ) = Е, < Н ) = В (Ре). = р е, <P .v.) = j |
(22.28) |
и потому усредненные уравнения Максвелла для |
микрополя со |
впадают с (22.6). ДПС, сопутствующая физически ориентирован ному (§ 10) реперу, движется относительно ДЭС со скоростью v, которую следует отличать от истинных скоростей \ е зарядов, вхо дящих в (22.26); v есть средняя массовая скорость «частиц физи
ческого репера» ДПС относительно репера ДЭС; |
ve=v + Av/, |
где |
||
A v/— истинная |
скорость заряда в ДПС. Учитывая |
вихрь о> |
ко |
|
торый также представляет мгновенно некоторое |
макро-регуляр- |
|||
ное вращение |
макрочастицы рdV, внутри которой |
и определены |
||
Av/, ясно, что можно выделить еще одно «переносное движение» со скоростью гХ(о относительно центра масс частицы рdV\ следо вательно,
\ е= v + г х о) + Av*, |
(22.29) |
причем теперь Ave в любой системе координат (ДПС)Ь имеющей
данные v и <о |
одинаково хаотически |
распределены |
в макрообъ |
|
еме— времени |
(dV, dt). Если внести |
выражение |
скорости |
\ е |
(22.29) в уравнения (22.26), (22.27) и усреднять их, |
а также |
ток |
||
pPve, момент и |
мощность peve, rX fe, t?ve, по (dV, dt), |
станут ясны |
||
ми трудности вычисления выражений пондеромоторных сил через
средние значения функций поля |
(22.28) и другие. |
(22.28) |
|
Усредняя силу \е (22.27) и мощность we=feve, с учетом |
|||
убеждаемся интуитивно в правильности оценки главных |
состав |
||
ляющих пондеромоторной силы |
pF3=<fe> и мощности (2э=<ше> |
в |
|
формулах (22.18). |
|
|
и |
Учитывая, что по их определению векторы поляризации 9 |
|||
Ж пропорциональны соответственно средним значениям моментов зарядов и токов, можно предвидеть, что если 9* и Ж будут малы ми, то и объемной плотностью Э-М моментов можно пренебречь. В этом случае заключаем на основании условия (6.15), что тензор внутренних напряжений Коши будет симметричным. Это распро страненное в МСС предположение.
Э-М векторы Е, В при переходе от ДЭС к (ДПС)1 отмечаются двумя штрихами, преобразуются по формулам (22.17) * в которых знак перехода (-+) заменяется равенством (=).
В окрестности движущейся частицы за малое время t декар товы координаты ДЭС связаны с мгновенными декартовыми коор-
Динатами в (ДПС)1 соотношениями, соответствующими формуле
(22.29); при Ave=0 из (22.29) вытекает |
выражение |
абсолютной |
скорости любой точки г физически ориентированного |
репера че |
|
рез его поступательную скорость v и вихрь со. |
|
|
Следовательно, (ДПС)1 отличается |
от ранее рассматривав |
|
шейся ДПС учетом не только поступательного движения со ско
ростью v, но и вращения |
(вихря со). В (ДПС)[ найдены соотно |
|||
шения |
|
|
|
|
E"=E + -^JL, В"=В— |
Н"=В"—оЛ'=Н— |
с |
||
с |
с |
|
|
|
|
|
|
|
(22.30) |
cAl"=&it + V-XP , |
j" = j —pcv. |
|
||
|
С |
|
|
|
Уравнения Максвелла (22.6) преобразуются в (ДПС)) |
к другому |
|||
виду |
|
|
|
|
rotЕ"+ — В = 0, |
divB=0, |
|
||
|
с |
|
|
(22.3!) |
|
|
|
|
|
rot В"----с— E = ^с- j " 3<t) |
divD =4np3<l), |
|
||
причем возник оператор, |
названный |
конвективной производной |
||
по t для векторов поля, обозначаемый |
(*), например, |
|
||
E = -|^- + rot(Exv) + vdivE |
(22.32) |
|||
и обозначены эффективные плотности заряда и тока |
|
|||
рзФ= р,—div |
S3, j"3* = j" + c/') + croto^" |
(22.33) |
||
Отличие (22.31) от (22.6) можно объяснять тем, что система (ДПС)] вращается относительно ДПС.
В [11] приведена теорема: существуют тензор второго порядка (t3ji) и вектор G, такие, что объемные плотности пондеромоторной силы pf3 и момента т 3 выражаются формулами (/, /= 1 2, 3):
=-“ С = ^ -Е Х В ,
4 = -i- (Е2 + В2—8JW£"B) 6„ + 4я |
— В,^1) + £,£, + Д Д ; |
(22.34)
tu\ = bijht3jk= 4эт (S*iEj BjoAli—сРjEt —Bio4ij). |
(22.35) |
Как видно, новый электромагнитный тензор напряжений (i3ji) со стоит из симметричного
|
EtE, + BiBj — l- |
(Е2 -f В2—8ло/ГВ) бг/ |
(22.35)' |
и несимметричного, зависящего от поляризаций, |
|
||
|
4п(&/Е1— В/<м1). |
(22.35)" |
|
Первый |
включает известный |
в электродинамике |
симметричный |
тензор |
Минковского. Э-М тензор (taji) Може — Колле является |
||
новым, отличным от известных тензоров Минковского, Эйнштейна и Абрахама; по его построению он более точно отражает физику пондеромоторных сил для различных тел.
Мощность, сообщаемая полем единице объема тела имеет вы
ражение |
|
|
|
|
Q3= r jf3v-f m3w -fQ3A |
(22.36) |
|||
|
|
|
||
QbA= j"E" + E |
+ vut)i. |
|
|
|
Приведем другое тождественное с (22.34) выражение пондер- |
||||
моторной силы: |
|
|
|
|
|Лэ=4л(->еЕ" + — (j + |
XВ+ (&>grad) Е"+ (Вgrad) М" |
(22.34)' |
||
С |
|
|
|
|
Легко заметить, что в формулах |
(22.18) явно выписаны |
сла |
||
гаемые, содержащиеся в (22.36), (22.34)' |
|
|
||
Закон сохранения энергии имеет выражение |
|
|
||
pi)= tjffli,j + j"E" + pE" |
|
o^"B" + Q3A- d iv q , |
(22.37) |
|
где q — вектор потока тепла; точка |
над функциями означает |
пол |
||
ную производную по времени; функции поля с двумя штрихами должны быть выражены через основные в пространстве наблюда
теля по формулам |
(22.30); |
в произведениях их должны |
быть со |
хранены слагаемые, линейные относительно v/c (т. е. р). |
ш = т э=0 |
||
Из выражений |
момента |
шэ (22.35) и ш (6.15) при |
|
получаем полные условия симметрии тензора напряжений Коши.
Это будет, например, при коллинеарности векторов |
и J |
(c" В. |
Несимметрией тензора Коши можно пренебречь, если |
|ш э| |
мал |
сравнительно с действующими в среде основными напряжениями, т. е. если max | t3ij | <max | oij \.
В диэлектриках, обладающих пьезоэлектрическими свойствами (у большинства кристаллов, в пьезокерамиках), наблюдаются ли
нейные связи между 3, 6, Е, D. Пренебрегая |
тепловыми и маг |
|||||
нитными |
эффектами и считая, |
что токи отсутствуют, |
а заряды |
|||
сводятся |
только |
к диполям |
(следовательно, |
р/= 0), |
уравнения |
|
Максвелла для |
векторов D', |
Е' |
rot Е'=0, div D'=0 приведем к |
|||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
E'=grad ф, |
div D'=0. |
|
(22.38) |
|
Они представляют уравнения электростатики для потенциала ф.
При малых деформациях |
(р=ро), |
изотермических |
процессах, |
в предположении отсутствия |
потерь |
w*, q объемную |
плотность |
внутренней энергии роu=U следует считать функцией тензора де
формации и вектора поляризации |
или D' Работа |
внутренних |
||
сил равна |
|
|
|
|
6M=Sd6 + E W |
|
(22.39) |
||
Из закона сохранения энергии |
|
|
|
|
dU{8, |
D ')=6'А |
(22.40) |
||
получаем |
|
|
|
|
dU |
|
Е'г- |
dU |
(22.40) ' |
д Е ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
Ограничиваясь квадратичной |
формой в разложении |
U (6, D'), |
||
учитывая для анизотропных тел выражение закона Гука, заклю чаем, что ковариантность разложения требует существования еще двух групп констант вещества: двухиндексных —для сверток ком
понент вектора Е' и трехиндексных — для сверток |
компонент e 2J- |
и Ек. В результате |
|
= Ецтп&и&тп -{-EijDiDjEij'k&i/Dk. |
(22.41) |
При этом упругие модули обладают известной симметрией (§ 16)
и второе слагаемое (22.41) представляет |
положительно опреде |
|||||
ленную квадратичную форму с матрицей |
диэлектрической |
про |
||||
ницаемости (E3ij)yтакже симметричной. |
|
|
связи |
3 с |
||
Подставляя |
(22.41) в (22.40)', находим уравнения |
|||||
6 и D', отражающие пьезоэлектрический эффект |
|
|
|
|||
Яц’= Ецтп£тп + Eij.kDk, Dfi=EfijDjJrEjuiEii. |
(22.42) |
|||||
Следовательно, |
е = ( £ \ ?) — матрица |
диэлектрической |
проницае |
|||
мости; (Eij.k) представляет пьезоэлектрические |
модули. Они сим |
|||||
метричны по i]\ Ец'к=ЕцмУотличны |
от |
нуля |
у пьезокерамики, |
|||
пьезокварца и множества других кристаллов и обеспечивают су ществование прямого и обратного пьезоэлектрических эффектов
(если <§=^0, то D'¥=0, и наоборот). |
|
|
|
и скоростей движения |
||||
Для малых деформаций, |
перемещений |
|||||||
диэлектриков системы уравнений механики |
|
|
||||||
d 2U j __ |
dog |
е |
= |
1 |
/ |
duj |
duj |
(22.43') |
dt2 |
dxj |
|
|
2 |
\ |
dxj |
dxt |
|
|
|
|
||||||
электростатики (22.38) |
вместе |
с |
уравнениями состояния (22.42) |
|||||
представляют замкнутую систему четырех уравнений для вектора
и (щ, i= 1 |
2, 3) и электрического |
потенциала |
ср |
приводящуюся к |
||||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ро |
d2ui |
р |
d2um |
+ Дij-k |
а2ф |
=0 |
(i= 1,2,3), |
|
д е _ |
с-аш |
д х , д ч |
dxjdxk |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2щ |
d2q> |
- = |
0. |
(22.43) |
|
|
|
Eu.k- dxjdxk + E ik: - dxjdxk |
|||||
Граничные условия для напряжений и перемещений, а также для потенциала ср могут быть взяты обычными в теории упругости и электростатике. Например, на всей поверхности 2 тела можно задать любые изменяющиеся с частотой со силы, а два изолиро ванных ее участка 2 Ь 2 2 покрыть проводящей пленкой. Тогда с частотой со на 2 Ь 2 2 будут возникать потенциалы cpi=^cp2 позво ляющие получать ток.
Ввиду отсутствия зарядов и слабости токов (о « 0) в (22.43') отброшены пондеромоторные силы. Оценку возникающего магнит ного поля Н за счет слабой нестационарности Е' и скорости дви жения ди/dt можно получить из неиспользованных уравнений (22.22) при уже найденных Е', Dx:
divB' = 0, rotH' = — — .
с dt
После этого можно дать оценку отброшенной в (22.43) пондеромоторной силы.
Другие электромагнитные эффекты получаются при иных пред ставлениях внутренней энергии U в зависимости от Е, Н и закона
Ома для металлов и полупроводников различной структуры, на пример представлениях ее в виде, подобном (22.41) при замене Е на Н и т. д. Закон Ома для изотропных металлов и ряда монокри сталлов, например, при переменном температурном поле имеет более точный вид
j = a(E + a 7q), q = —Л grad 7,
где а, а т — скалярные константы или матрицы проводимости и термоэлектрических эффектов.
До сих пор не рассматривались электромагнитные граничные условия на границе двух различных сред; механические граничные условия кинематического типа не зависят от электромагнитного по ля, динамические же иногда требуют в МСС поправок, связанных с тензором натяжения Максвелла [54], который отличен от нуля да же в пустоте, что и говорит о малости этих поправок. Электро магнитные граничные условия должны быть согласованы с урав нениями Максвелла и опытом. Например, во всех средах div В'= =0; выделяя около границы 2 двух сред тонкий, охватывающий обе среды слой толщиной 6-^0 и вычисляя интеграл
|
B'nd2 |
^ (В2П—Bin) d2, |
|
|
находим условия на 2 с нормалью п |
|
|
|
|
Д (В'п) = |
ВоП—Bin= 0, |
(22.44) |
||
т. е. нормальная составляющая вектора магнитной |
индукции |
на |
||
2 непрерывна. Аналогично из |
(22.6), |
(22.7) при |
конечных |
р<? |
dpjdt следуют два эквивалентных друг другу условия |
|
|||
Д (D'n) = |
0, Д (j'n) = 0, |
(22.45) |
||
причем для диэлектриков берется первое, для проводников — второе, а для их комбинации — любое из (22.45). Применяя фор мулу Стокса к интегралу по части того же объема, опирающейся на малый элемент Д2 площади поверхности 2, ограниченной ма лым контуром Д/, от rot Н и rot Е, на основании уравнений Макс велла получим при некоторых несущественных ограничениях на <ЗВ/dt, dD/dty j условия непрерывности тангенциальных составляю щих Н и Е:
Д (Н'т) = 0, Д (Е'т) = 0, |
(22.46) |
где т — любой тангенциальный вектор на 2(тп=0). Как видим, за счет скачка нормальной составляющей векторов Н', Е', j', вы текающего из (22.44), (22.45) и материальных уравнений (22.15), (22.16) или (22.12), (22.13), в ДПС
(22.47)
на границах сред могут возникать большие термомеханические и электромагнитные эффекты, например большие пондеромоторные силы и мощности и другие физические краевые эффекты.
а пондеромоторная сила pF3 |
(22.18) |
|
pF3= |
PcE + — j x H |
(22.50) |
|
С |
|
называется силой Лоренца.
В случае баротропных течений газа или жидкости, для кото рых уравнение состояния имеет вид р= р(р), уравнения движения и сохранения массы
- J - + gradP(p) = Fe + F „
(22.51)
^ + M iv v = 0 ( Р ( . ' ) = ^ )
совместно с (22.50), уравнениями Максвелла (22.49) и законом Ома (22.17) дают замкнутую систему пятнадцати уравнений от
носительно тринадцати функций v, р, Е, Н, j,
При решении практических задач магнитной гидродинамики используют различные упрощенные системы уравнений. Ввиду ма лости распределенных зарядов полагают р<?=0. В ряде случаев, например для сильно ионизированных газов, можно считать так же, что среда имеет бесконечную проводимость а. При этом упро щения уравнений оказываются весьма существенными. Для бес конечно проводящей среды из закона Ома (22.17) в силу конеч ности плотности тока j получим р<?=0, а=оо
Е = ---- - [ v x H ] , |
(22.52) |
с |
|
а из второго уравнения (22.49) |
|
— j = rotH. |
(22.53) |
С |
|
Уравнения Максвелла (22.3) и выражение силы (22.50) прини мают вид
-^ - = ro t(v х Н], |
divH =0, |
|
pF3= -i-n ro tH |
х Н. |
(22.54) |
Отметим также, что для бесконечно проводящей среды джоулево тепло равно нулю.
В полученную таким образом замкнутую систему (22.51), (22.54), кроме скорости v и плотности среды р, входит лишь одна векторная электромагнитная функция — напряженность магнит ного поля Н.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 23. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ
Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, свя зывающие между собой различные размерные величины Qry среди них — геометрические и механические: координаты и пере мещения х, п=х—х, время t, скорость v, ускорение w, векторы базиса э/, массовая F и поверхностная Р(Г1) силы, напряжения фи зические Gij, компоненты тензора напряжений S*/, деформации е*/, скорости деформаций ецу работа А , мощность R, кинетическая энергия К, различные механические константы среды — модуль упругости Еу коэффициент вязкости ц и ряд других; термодинами
ческие: температура |
Ту количество тепла Q, тепловой |
поток q, |
|
внутренняя и свободная энергия |
иу ф, энтропия sy рассеяние w*y |
||
коэффициенты теплоемкости с, |
теплопроводности А, расширения |
||
а и т. д. и величины |
р электромагнитной (Е, Н, В, D, е |
..) и дру |
|
гой природы.
Система единиц CGS достаточна для построения МСС (и всей
физики) и содержит три независимых |
параметра: длину I |
(санти |
метр), массу т (грамм), время т (секунда). |
|
|
Размерности |
|
|
[/] = С, [m] = G, |
[T] = S |
(23.1) |
можно рассматривать как действительные числа, для которых определена коммутативная операция умножения и возведения в степень, т. е. определена группа величин Qi (i=0, 1 2, ...) при <2о=1, размерность которых [Q/] равна
[Q ^ C ^ G W ', |
(23.2) |
причем Xi, р/, V/ — числа, называемые показателями |
размерности |
Qi. Любая величина Qc называется безразмерной, если %с=\лс= =vc= 0, т. е. [Qc] = 1. Для группы Qt определена размерность про изведения
[QiQ/] = [Qi] [< ? ,] = c ?^ x/G^ h№ +v/. |
(23.3) |
В соответствии со свойствами всех уравнений МСС (вообще фи зики) операция сложения двух величину отличных от нуля, опре-