книги / Механика сплошной среды

Обозначая 3> определитель квадратной матрицы (NxXNx)

& = И 1 ,	г [ =	D p	_	dfi	pi dy’1		(25.14)
		Dx'i		dx'i
являющийся полиномом	Nx степени			относительно всех		рг'*,	нахо­
дим все р\:
сР (z) р =	сР (Z)	D5T			d & (z) .
		Dx'	’		dz
							(25.15)
		D$-k
{p(z)pk=H(z)			’	& { ( ? ) =	d& (z)
		Dx'i			Ц
Следовательно, уравнения (25.12) принимают вид
а д , ^ ) > ( 2 ) - ^ + ^ ( 2 ) Я » ( /,		<F)=0, z =			s = 1,	2,	N.
Dx					Dx		(25.16')

Это уравнения в частных производных первого порядка: степени Nx относительно р'\ степени Nx относительно частных производных

дЦдх\ df/dy'\ линейные относительно д&~/дхд2Г1ду'\ однород­

ные относительно частных производных / и

по х\ у'

В

коор­

динатной записи они имеют вид

Hiu (f,

^ (г)

Dxj

+

cP(z)H%(f,

сГ) =

0;

s =

1 , 2 , . . . ,

N ;

D p

(25.16)

Zl i

k = \ ,

2,

Ny\

i,

/ = 1 ,

2,

”,

Dx’i

Уравнения

(25.16)

при

удачном

частном

выборе

функций

f(x\ у')t &~(х'у у')

могут оказаться проще уравнений (25.10); они

совпадут при тождественных преобразованиях:

* = /( * ',

у’) =

х',

у = Р ( х \

у') =

у \

(25.17)

поскольку в этом случае

о.

&=\,

о

DFn

z)=b),

--Р$п=Г*г

(25.17')

Dx'i

Существенное упрощение Hs системы

(25.16)

сравнительно с

(25.10) может

происходить

только для частных видов Я*

(25.10),

т. е. коэффициентов H\k{x,

у),

Н° (х,

у).

Таким образом, ставится

вопрос: каковы все неизвестные преобразования x=f(x', у'), у= =2Г(х', у'), при которых данные уравнения (25.10) допускают су­ щественное упрощение, т. е. в виде (25.16) содержат меньшее

(< N X) число	новых независимых переменных х',			функций	у', ли­
бо тех и других?				системе	(25.16)
Существенное упрощение произойдет, если в
пропадет одна	из х', например	ха' (а —	фиксированное		число
из i= 1, 2,	Nx). Для этого	необходимо	и достаточно, чтобы в

уравнениях (25.16), представляющих полиномы относительно р' степени Nx, коэффициенты при всех одночленах, содержащих р ^ (при всех k= 1, 2, Ny) обратились в нуль и чтобы все осталь­ ные коэффииценты и свободные члены не зависели от ха. Это тре­ бование приводит к переопределенной системе дифференциальных

уравнений	относительно / и 2Г Если	при данных	H lSk(f, & ) У
#?(/, &)	полученная система имеет	только тождественное реше­

ние /= /° = х ', & ~ = & ~ ° = у ' , то уравнения (25.10) не допускают рас­ сматриваемого упрощения. Перебором чисел можно выяснить другие возможные упрощения этого типа.

Достаточно общий ответ на поставленный вопрос дает теория групп Ли преобразований. Эффективные методы и приложения к дифференциальным уравнениям основаны на взаимно однознач­ ном соответствии между группой Ли непрерывных преобразова­ ний (25.11) с вещественными параметрами и алгеброй Ли диффе­ ренциальных операторов.

Однопараметрическая непрерывная локальная группа преобра­ зований (25.11) с вещественным параметром X, изменяющимся в некотором интервале, содержащем точку Х=0,

х' = у(х, у , Х)у	*/' =	ф(х, у, Х)у
		(25.18')
ф(*. У> 0 )= х ,	ф(х,	у, 0)= у,

может быть определена заданием Nx функций £‘(х, у) и Ny функ­ ций ч\к(х, у). Соответствие между группой преобразований (25.18') и координатами |*(х, у)у к]к(х, у) ее оператора устанавливается следующей теоремой Ли.

Функции <р‘, ф*, задающие группу преобразований (25.18'), удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравне­ ний по параметру X с начальными условиями при А,=0

dx'i		ду'Ь
дХ =	У'),	дХ = Т ( * ' . У’),
		(25.18)
X " 'U = 0 =	* ‘\	у'к\^й = у ’:.

Обратно, для любых гладких функций £‘(х, у) и т]*(х, у) и любой точки (х, у) решение задачи (25.18) определяет однопара­ метрическую группу преобразований (25.18').

Инвариантом группы преобразований (25.18') называется фун­ кция Y(х, у), если для любых (х, у) и % из области их изменения выполняется

Y(x',

y')=Y(x,

у).

(25.19')

Функция Y(х, у) является инвариантом группы преобразований

(25.18')

тогда и только тогда, когда

6'

дУ

■V

f* =о.

(25.19Ц)

дх1

dyk

Дифференцируя

(25.19')

по X и используя (25.18), получим

dY

dY

дх'*

dY

dy k

y . .

,

,4

dY

-rfix',

dY

dX

dx’i

dX

dy'k

дХ

ъ

J

;

dx'1

y’) —— = 0,

dy'1

(25.19")

т. e. если Y(x,

y) —

инвариант

группы (25.18'), то

выполняется

(25.19). Обратно, если выполнено

(25.19),

то

-^ - = 0, т. е*

Y(x\ у')

не зависит от параметра X и равен его значению при Х=

=0, т. е. выполняется

(25.19').

Уравнение (25.19)

имеет

Nx + Ny— 1

полных

интегралов, кото­

рые являются

независимыми

инвариантами YQ(x\

y') = Yq(x, у)

( q = 1, 2,

. .. ,

Nx+ Ny— 1), причем

любая их функция

также будет

инвариантом

(зависимым).

Многообразие ф, регулярно заданное уравнениями

Ф5(*>

У ) =

0

( s = 1,

m),

(25.20)

называется инвариантным многообразием группы (25.18'), если для

любых (х, у) у удовлетворяющих уравнениям	(25.20)	и при любом
X выполняется
ЯИ*'. У') = 0 ( s = I ,	rn).	(25.20')

Многообразие (25.20) — инвариантное многообразие группы

(25.18') тогда и только тогда, когда
\	+	= 0 ( s = l ,	т).	(25.20")
	dxl	dyk )

Свойство инвариантности используется для отыскания группы преобразований, допускаемых исходной системой уравнений, и для отыскания различных классов частных решений.

Для отыскания группы система уравнений Я*=0 (25.10) рас­ сматривается как инвариантное многообразие в пространстве пе­

ременных х е\ у ку Рь= ~[^~ (дифференциальное инвариантное мно­

гообразие). Критерий инвариантности записывается в виде

дй*	, ,» дН*	др* / я 5 = п =0>	(25.21)
(е дх1	dyk

где в отличие от (25.20") функции £*(*, у, р) вследствие зависи­

мости р\

от х, у

вычисляются

через

цк,

и приводит к системе

уравнений для функций

TJ*

(*» / = 1 .

2,

N X ’

k = l ,

2,

N , .

S =

1, 2,

N)

dHs

dHs

Dy\k

) 4

- =

0

(25.21')

V

dxi

■+

л 4 - dyk

H Dxi

Dxi

где

t

k__

Dr\k

DV

D

_

d

+

P

i ~ T -

(25.21")

dxi

■p*-

Dxi

Dxi

dxi

1

dyl

Вывод

(25.21")

принципиально

не

отличается

от

вывода

(25.13').

Левая часть (25.2Г) — полная неоднородная

квадратичная

форма относительно

рк.

Развернутая

запись

(25.21'):

• дН*

, дИ1

^

4

sk

i

дг)1

V - Г Г +

Л*— -

-Я А - g i +

U '

-Ц

дН*

+ Н1Г

dxi

ду1

дх‘

дук

дук

(25.21'")

В системе (25.21) исключается N произвольных pik, которые

находятся через остальные pj из N уравнений (25.10) и требует­

ся, чтобы полученные таким образом N уравнений тождественно выполнялись при любых оставшихся pjl. Таким образом, получает­ ся сильно переопределенная система Nxy

^ = ^ - ( ^ + 1 ) ^ + 2), N ^ N XN - N ,

однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно Nx+ Ny функций V(x>У)> л М * . У) с коэффициентами, зависящими от Н°(х, у),

Hlsk(x, у) и их первых частных производных по х, у. Эта система Nxy уравнений всегда имеет хотя бы одно решение

£ = 0, л * = 0 (1 = 1, 2,

Nx, k = l , 2, . . . . Ny),

которому согласно (25.18) соответствует тождественное преобра­ зование (25.17).

Если существует л других, линейно независимых решений си­

стемы	Nxy уравнений (£(,, Л*), v = l , 2,	n<Nx + Ny, то из
(25.18)	для каждого v имеем

“	V= & ( *у'),	-	^	=	Лу'У,$ ( * \
					(25.22)
Я',= 0 ,	xn= x l, y'k =	yk,	v = l , 2,		п,

и решение этих уравнений представляет п-параметрическую груп­ пу Ли преобразований, которую допускает система (25.10).

Преобразования л-параметрической группы получаются пере­

множением преобразований однопараметрических групп.
Изучаемую	исходную систему уравнений можно не	приводить
к виду (25.10),	вычисляя при составлении системы уравнений для
V(x> У)у Цк(х> У) значения соответствующих величин через			y\k
для преобразования вторых, производных и т. д.
Известная группа преобразований позволяет найти		классы	ча­

стных решений, получаемых из системы уравнений меньшей раз­ мерности.

Пусть известна л-параметрическая группа преобразований, до­ пускаемых системой (25.10)

	х'1 = у'Цх, у, Я) =		ф'' {х,	у\ Я1,		Я"),	y'k=ty'k(х,		у,	Я);
		х‘= у ( х ' , у \		Я),	ук =	\|>(*',	у',	Я)		(25.23)
или функции £*,(*, у),			л*(х,	у)	( v = l ,	2,	п).
На основании (25.22), (25.23) получаем
dHv	d Y v	у ' )	dYv		y ' ) = 0 , v = l ,			2,	n.	(25.24)
	дх'1		dy'k л5(*'.

Критерий инварианта (25.19) принимает вид системы диффе­ ренциальных уравнений.

Классы решений, инвариантных относительно подгрупп группы (25.23), связаны с числом функционально независимых решений

этой системы, т. е. с рангом матрицы		||£*,,	Л* ||.
Для	однопараметрической подгруппы,		заданной		Л*, при
фиксированном v, базис инвариантов		Y^, (q=l , 2,		. . . ,	Nx+ Ny—
— 1),	независимых по отношению к переменным у,			позволяет по­

строить преобразование (25.25), где за новые переменные выбра­ ны инварианты подгруппы v:

х‘* = У?(х', у'), ха=х',

(25.25)

ykp=Yp (х\ У')-

Поскольку любая функция инвариантов Yq при фиксирован­

ном v есть инвариант, то в (25.25)	вместо Yq,	Yp можно выби­
рать удобные их комбинации.
Существенное упрощение системы (25.10) при преобразовании
типа (25.25) с фиксированным v состоит в том, что в виде (25.16)
уравнения будут содержать Nx— 1	независимую	переменную, т. е.

на единицу меньше, и определяют частное решение системы ин­ декса V .

Применительно к задаче теплопроводности (система (25.7)) од­ но из двух существенных упрощений, получаемых из системы (25.21") и (25.7), приводит к автомодельному решению (25.7х), другое дает следующую связь между функциями:

(г= 1, 2; k = \ ,	2)	при	xl= z ,	х2=х, у1=&~, у2= и ,
					(25.26)
? = 4 * .		т11= 2 £ 2, Т)» = и? .
Уравнение (25.19")
z_^L_]_JL - j - 2 - ^ - + u — = 0
дг	дт		д^~	ди
приводит к системе уравнений
—	= d x = +		- ^ - = — ,		(25.27)
г			2	и	v
которые имеют полные интегралы
Y1=ze~x, Y2= £ T —2 т ,				Ya= u e - X.
Принимая их за новые переменные т'=т, z'=g, T'=Q, u'=v,
l= ze ~ x,	0 © = ^ * — 2т,			v(l)=ue~\	(25.28)
получим систему обыкновенных			дифференциальных		уравнений
S - X + 4 - = 2’				4	(25.29)
dl		dl

Как видим, громоздкость преобразований оправдывается сущест­ венными упрощениями при получении фундаментальных частных решений.

ЛИТЕРАТУРА

1.

А с т а р и т а

Дж., М а р р у ч ч и

Дж . Основы гидромеханики неньютоновских

жидкостей. М.: Мир,

1978.

2.

Б о л ь ц м а н

Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ, 1956.

3.

Г и б б с

Дж . Термодинамические работы. М.—Л.: ГИТТЛ, 1950.

4.

Г р и н

А.,

А д к и н с

Дж . Большие упругие деформации и нелинейная

меха­

ника сплошной среды. М.: Мир,

1965.

5.

G r e e n

А.

Е., Z e r n a

W.

Theoretical

elasticity. Oxford: Clarendon

Press,

1954.

6.

Г р о о т

С.,

М а з у р

П. Неравновесная

термодинамика. M.: Мир, 1964.

7.

Д е м и д о в

С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979.

8. Д э й

У А. Термодинамика

простых

сред с памятью. М.: Мир, 1974.

9.

E r i n

g e n

А. С. Mechanics of Continua. N. Y.: Wiley, 1967.

10.

M a u g i n

G.

A., E r i n

g e n

A.

C.

On

the equations of the electrodynamics

of deformable

bodies

of

finite

extent//J.

de Mecanique. 1977. V. 16, N 1.

11.

Ж е р м е н

П. Механика

сплошных сред. М.: Мир, 1965.

12.

И л ь ю ш и н

А. А. Пластичность. Упругопластические деформации. М.—Л.:

Гостехиздат,

1948.

13.

И л ь ю ш и н

А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.:

14.

Изд-во АН СССР, 1963.

И л ь ю ш и н

А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1971.

15.

И л ь ю ш и н

А. А. Механика

сплошной

среды. М.: Изд-во Моек, ун-та,

1978.

16.И л ь ю ш и н А. А. Деформация вязкопластичного тела//Ученые записки Моек. гос. ун-та. Механика. 1940. Вып. XXXIX. С. 3—81.

17.

I l i o u c h i n e

A.

A.

Plasticite.

(Deformations

eiastico-plastiques).

Paris:

18.

Eyrolles,

1956.

L o m a k i n

W.

A.,

S z m a k o w

A. P. Mechanika

osrodkow

1 1 j u z у n

A. A.,

ciaglych

w

zadaniach i cwiczeniach. Warszawa,

1987.

19.

И л ь ю ш и н

А. А.,

П о б е д p я Б. E. Основы математической

теории

термо­

вязкоупругости. М.:

Наука, 1970.

20.

И л ь ю ш и н

А. А.,

Л о м а к и н

В.

А.,

Ш м а к о в А. П. Задачи

и

упраж­

нения по

механике

сплошной среды. М.: Изд-во Моек,

ун-та,

1973.

21.

К л ю ш н и к о в

В.

Д.

Математическая теория

пластичности.

М.:

Изд-во

22.

Моек, ун-та, 1979.

по устойчивости

деформируемых

систем. М.:

К л ю ш н и к о в

В. Д. Лекции

Изд-во Моек, ун-та, 1986.

23.

К о ч и н

Н. Е.,

К и б е л ь И. А.,

Р о з е

Н. В. Теоретическая

гидромеханика.

Ч. 1, 2. М.: Физматгиз, 1963.

24.

К р и с т е н с е н

Р.

Введение

в

теорию

вязкоупругости. М.:

Мир,

1974.

25.

К у т и л ин

Д. И. Теория конечных деформаций. М.—Л.: Гостехиздат, 1949.

26.

К у п р а д з е

В. Д.,

Г е г е л и а

Т. Г.,

Б а ш е л е й ш в и л и М. О.,

Б у р ч у -

л а д з е

Г

В. Трехмерные задачи математической теории упругости и тер­

моупругости. Классическая и микрополярная теория. Статика, гармониче­

ские колебания, динамика. Основы и

методы

решения. М.: Наука,

1976.

27.

Л а м б Г

Гидродинамика. М.—Л.: Гостехиздат,

1949.

28.

Л а н д а у

Л. Д.,

Л и ф ш и ц

Е. М. Теория поля. М.—Л.-

Гостехиздат,

1948.

29.

Л а н д а у

Л.

Д.,

Л и ф ш и ц

Е.

М.

Гидродинамика.

М.:

Наука,

1988.

30.

Л а н д а у

Л. Д.,

Л и ф ш и ц

Е.

М.

Электродинамика

сплошных

сред.

М.:

Наука, 1982.

31.	Л о м а к и н			В. А. Теория	упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моек,
32.	ун-та,	1976.			теория	упругости. М.: Наука, 1980.
	Л у р ь е А. И. Нелинейная
33.	Л я в А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.
34.	М а д е л у н г			Э. Математический		аппарат физики. Справочное руководство.
35.	М.: Наука,		1968.			В. П., Т е т е р е Г. А. Сопротивление жест­
	М а л м е й с т е р А. К., Т а м у ж
	ких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1972.
36.	М е й з	Дж . Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.
37.	М и х л и н		С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.—Л.:
	Гостехиздат,			1952.
38.	М и х л и н		С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука,
	1970.

39. М о ск в ит и н В. В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во

Моек, ун-та, 1965.

40. М у с х е л и ш в и л и

Н. И. Некоторые

основные задачи

математической

тео­

рии упругости. М.: Наука, 1966.

41.

Н о в а ц к и й

В. Теория

упругости. М.: Мир,

1975.

42.

Н о в о ж и л о в

В.

В.

Основы нелинейной

теории

упругости.

Л.—М.:

Гос­

43.

техиздат, 1948.

Л.

В.

Групповые

свойства дифференциальных уравнений.

О в с я н н и к о в

Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

44.

П а р т о н В. 3.,

К у д р я в ц е в Б. А. Электромагнитоупругость

пьезоэлектри­

45.

ческих и электромагнитных тел. М.: Наука, 1988.

Моек,

ун-та,

П о б е д р я

Б. Е. Лекции по

тензорному

анализу. М.: Изд-во

1986.

46.

П о б е д р я

Б. Е. Численные методы

в теории упругости

и пластичности. М.:

47.

Изд-во Моек, ун-та, 1981.

по

геометрии. Ч. I. Аналитическая

геометрия.

П о с т н и к о в

М. М. Лекции

Ч. И. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1975.

48.

П р а г е р

В.,

Х о д ж

Ф.

Г.

Теория

идеально-пластических

тел.

М.:

ИЛ,

49.

1956.

И. Неравновесная

статистическая механика. М.: Мир,

1964.

П р и г о ж и н

50.

Р а б о т н о в

Ю. Н. Ползучесть

элементов

конструкций. М.: Наука,

1966.

51.

Р а ш е в с к и й

П. К. Риманова

геометрия

и тензорный

анализ. М.: Наука,

1967.

52.

С е д о в

Л. И. Введение в механику

сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

53.

С е д о в

Л. И. Методы

подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977.

54.

С е д о в

Л. И. Механика сплошной

среды. Т. 1к 2.

М.: Наука,

1983,

1(984.

55.

С л е з к и н

Н. А. Динамика

вязкой

несжимаемой

жидкости. М.:

Гостехиз­

56.

дат,

1955.

И.

Н.,

Б е р р и

Д. С. Классическая теория

упругости. М.: Физ­

С н е д д о н

57.

матгиз,

1961.

анализ

для физиков. М.: Наука, 1965.

С х о у т е н

Я. Л. Тензорный

58.

Т и м о ш е н к о

С. П.

Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972.

59. Т р у с д е л л

К.

Первоначальный

курс

рациональной

механики

сплошных

сред. М.: Мир,

1975.

60.

Ф р е й д е н т

а л ь А.,

Г е й р и н г е р

X.

Математическая

теория

неупругой

сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

61.

Х е й з

У.

Д.,

П р о б с т и н

Р. Ф. Теория

гиперзвуковых

течений. М.:

ИЛ,

62.

1962.

Р. Математическая

теория

пластичности. М.: Гостехиздат,

1956.

Х и л л

63.

H i l l

R. The mathematical theory

of

plasticity. Oxford, 1983.

64.

H i l l

R. Handbuch

der

Physik, 33, Springer, 1965. (Нелинейная теория поля).

65.

Ц я н ь С ю э - С э н ь .

Физическая механика. М.: Мир, 1965.

66.

Ч е р н ы й

Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988.

1986.

67.

Ч е р н ы х

К. Ф. Нелинейная

теория

упругости. Л.: Машиностроение,

68.

Г р и н ч е н к о

В. Т.,

У л и т к о

А.

Ф.,

Ш у л ь г а

Н. А.

Механика

связан­

ных полей в элементах

конструкций. Т. 5. Киев, 1989.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава I

Система частиц и континуум

§ 1. О статистическом описании динамики системы Функция и уравнения Гамильтона (10). Идеи метода статистической

механики (13). Уравнение Лиувилля (15). Среднее статистическое функции (16). Простые замкнутые системы. Фазовое пространство

(18). Равновесный ансамбль (20). Канонический ансамбль Гиббса

(23). Макроскопическая плотность, скорость (24). Уравнение сохра­

нения импульса (26). Метод кинетических уравнений (31).

§ 2. Термодинамика замкнутых равновесных систем

Равновесный процесс (38). Энтропия, свободная энергия (41, 42). Уравнения состояния. Интеграл состояний (42, 43). Идеальный газ (45). Одномерная модель монокристалла (47).

Г л а в а II

Кинематика и внутренние напряжения

§ 3. Основные понятия и уравнения МСС. Лагранжево и эйлерово пред­ ставления движения

Плотность, скорость, неизменная масса среды (51, 52). Тривектор или тензор внутренних напряжений (56). Термодинамические соот­ ношения (58). Теплообмен (59). Замкнутая система уравнений, фи­ зически возможные решения (60). Метод Лагранжа (64). Метод Эйлера (64).

§ 4. Деформация окрестности точки сплошной среды

Аффинные преобразования окрестности точки (69, 70). Тензор де­ формации лагранжева базиса (72). Деформация физических площа­ док, объемов (73—75). Физический смысл компонент деформаций, их выражение через вектор перемещения (76—79). Инварианты тензо­ ра деформаций, главные оси деформаций (79—80).

§ 5. Конечные, малые и бесконечно малые деформации

Условия совместности деформаций (82—84). Тензор скоростей де­ формаций, малых деформаций, свойства аддитивности (85—87). Девиатор и шаровой тензор, октаэдрический сдвиг, интенсивность де­

формаций

(89). Линии

тока,

трубка тока,

потоки

массы и

вихря

через поверхность (92—93).

§

6.

Теория напряжений

94

Вектор

истинного внутреннего

напряжения — линейная

функция нор­

мали

(96).

Симметрия

тензора

напряжений

Коши — Лагранжа

(97). Условные напряжения (98—99). Октаэдрическое

напряжение,

девиатор

(103). Выражения

главных напряжений

(106).

§

7.

Напряжения

и

деформации

в

произвольных

координатах

106

Преобразование

компонент

тензора

напряжений (109). Тензор де­

формаций

в

различных

системах

координат (111).

Ковариантные

производные

вектора и

тензора (112— 113). Производная по

време­

ни тензора деформации (115).

Г л а в а III

117

Физические

законы

и постановка

задач

механики

сплошной

среды

§

8.

Уравнения

движения

117

Дивергенция

тензора напряжений,

динамические

уравнения

Эйле­

ра—Коши (118). Общие теоремы о движении конечной массы (120,

121). Объемная

плотность мощности внутренних сил

(122). Теорема

о кинетической энергии (123). Вариационный принцип, обобщенная

постановка задач МСС (124).

§

9.

Процессы

деформации,

нагружения

и другие

125

Физически ориентированный репер (127). Ориентация среды. Преоб­ разование оператора (127, 128). Функционал процесса (129). Ин­ терполяционный полином Лагранжа (131). Функционал как предел функции многих переменных. Аналитический процесс. Аналитический функционал (131, 132). Операции дифференцирования и интегриро­ вания тензоров в лагранжевых и эйлеровых пространствах (133). Тензор скорости напряжений (136). Соотношения типа упругости и вязкости. (138). Пространство вектора деформаций (139).

§ 10. Основной постулат МСС и термодинамика					141
Постулат	макроскопической	определимости.	Процесс и реакция
(143). Функционал энтропии (144). Механическая энергия и тепло­
выделение (145). Уравнения распространения тепла. Закон сохране­
ния энергии (145). Основное термодинамическое				тождество	(146).
Уравнение	теплопроводности.	Уравнение баланса		энтропии	(147).
Макрообратимые термомеханические процессы			(148). Термодинами­

ческое тождество необратимых процессов (150). Вариационный тер­ модинамический принцип (154). Интегральная форма первого и вто­ рого законов (156).

§ 1 1 . Замкнутые системы уравнений МСС

157

Уравнения МСС в лагранжевых координатах (158, 161). Уравнения МСС в эйлеровом пространстве (162— 164). Взаимосвязь постановок задач в лагранжевом и эйлеровом пространстве. Идеально изотроп­ ная среда (164— 166). Разностно-интегральные уравнения МСС (166).