книги / Механика сплошной среды

		Vy cos (vxz)—vzcos (v, y) = 0,			a		Pi
							Po
				(<r—О2
				(/г+ 1) a + fc — 1 ’				(21.41)
	9i_	(k+ 1) o + k — 1				k +
				D—cQ			1	( o - l )
	Ро	(/e — 1) a + k + 1				2k
Если		через (уо>	z0) обозначим начальные				координаты (при
t= 0)	какой-нибудь частицы			газа, то энтропия ее после прохожде­
ния	фронта ударной		волны	будет постоянна,		так что ог=-ог(£/0» 2о)>
поэтому в любой точке плоскости х0
		_ Р _ = = _ Р 0 _ о		Г fe+ 1+ (fe—	1) a 1*			(21.42)
		Р*	pg	L(k+ 1) a + fc-l		J

Уравнения движения и сохранения массы можно написать ли­ бо в координатах Эйлера, выбранных в плоскости х0>

_1_ _др_

					р	дг	’
дуу	+ 0L	dvu	+ V2	дии	1	dp	’
~dt		ду		дг	P	dy
							( 2 1 .4 3 )

dp d_ {pvy) + -^-{pvz) = Q,

dt dy

либо в переменных Лагранжа (y0i z0)

д’-у _

0 d t2

д2г

Ро d t2

'

Ро--Р | .

дг	др	1 дг		др
дг0	дУо	ду0		дга
ду'	др	ду	др
				( 2 1 .4 4 )
ду0	дг0	дг0	ду0
ду	с»2	ду	дг	\
ду0	дг0	дг0	ду0	) ‘

В последнем случае текущие координаты частиц выражаются через компоненты их перемещений иу, иг\

У= Уо~Ьиу(Уо zo> 0 » z = z oJr иг(Уо> 2о> 0 *

( 2 1 .4 5 )

Можно доказать, что для тел типа крыла, оперения и рулей, поверхность которых простирается по осям х и у и удовлетворяет условиям

d c o s(v x )		^	d cos ( улг)		__ с	д cos (vx) ^	е
	дг			дх		ду	а
dcos(vz) ^		д cos (vz)		g	dcos(vz)	^ cos (vz)	(21.46)
							^ _e
dz	^		дх		dy	a	a

скорость частиц газа вдоль оси z будет малой порядка е сравни­ тельно с У(/ и закон плоских сечений имеет место в направлении оси z с не меньшей, чем в направлении оси ,г, степенью точности. Граничное условие (21.40) принимает наиболее простой вид:

vg=v(t).

(21.47)

Условие на фронте ударной волны может быть записано в фор­

ме

vy= c0	__________ а —	1_________	(21.48)

V (Л+ 1) а + Л— 1

причем выражения a, pi/p0 и D остаются прежними (21.41), но энт­ ропия уже может рассматриваться лишь как функция y0i о=о(у0).

Уравнения (21.43) сводятся к двум в форме Эйлера

dVy_,	1	dp	ар	+i r (p^	о,	(21.49)
dt	V	~ду'	dt
или в форме Лагранжа
д*у		др		%		(21.50)
Ро дР		дУо	Ро =	Р дУс
причем р и р по-прежнему связаны соотношением					(21.42).

Таким образом, задача расчета крыла при установившемся и неустановившемся движениях сведена к простейшей задаче о дви­ жении поршня в трубе постоянного сечения, причем поршень дви­ жется по заданному закону (21.47). Это значит, что если перед несущей поверхностью мысленно выделить столбик воздуха, пер­ пендикулярный размаху и вектору скорости какой-нибудь точки по­ верхности, то при разрезании его поверхностью частицы в нем со­ вершают лишь продольные (вдоль оси у) движения. На краю раз­ маха поверхности происходит нарушение теоремы о поршне, и газ перетекает с нижней поверхности на верхнюю. Это явление подчи­ няется уравнениям (21.43). Однако с точностью

е2-Н /М2

(21.51)

сравнительно с единицей им можно пренебречь во всех тех слу­ чаях, когда отношение квадрата концевой хорды а0 к удвоенной площади поверхности в плане порядка не больше е+1 /М:

к	_	е 4	. *•	.
----<

2F М

Действительно, площадь «треугольника», в котором произойдут указанные возмущения, при этом будет порядка не более (21.51)‘ от площади F, и поэтому учет возмущений уже нецелесообразен. Однако даже и для квадратного в плане крыла (руля) пренебре­ жение краевым эффектом дает ошибку порядка не более е сравни­ тельно с единицей, т. е. порядка угла атаки в процентах от ра­ диана.

Мы переходим к некоторым приложениям закона плоских се­ чений, к задачам, встречающимся в технике.

Линеаризованная теория несущей поверхности. В тех случаях, когда при М2^>1 параметр е=гО/с0< 1 оказывается все же малым за счет угла атаки или толщины профиля несущей поверхности,

энтропию газа можно считать постоянной.
Уравнение (21.50)	вместе с условием
- g - = f - £ - V = l + 6		р~~р0 ,	(21.53)
Ро	\ Ро /	Ро

если предполагать малость vy/c0, имеет решение

,21.54)

где функция v(t) представляет закон движения поршня, т. е. ско­ рость, с которой в неподвижном столбике разрезающая его по­ верхность сжимает газ; эта скорость для любой точки поверхности равна проекции вектора абсолютной скорости элемента поверхно­ сти на нормаль к этому элементу.

Поскольку согласно (21.54)

то из (21.50) и (21.53) получаем выражение давления

и, в частности, на поверхности тела избыточное давление равно

Р—Po= &P— kPo ——	(21.55)
С 0

Итак, избыточное давление на любой площадке поверхности согласно линеаризованной теории равно давлению в неподвижном воздухе, умноженному на показатель политропы k и умноженному на отношение нормальной составляющей вектора скорости этой площадки к скорости звука в невозмущенном воздухе.

§ 22. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Во всех деформируемых и покоящихся средах в зависимости от их электромагнитных свойств наблюдаются более или менее сильные влияния электромагнитного поля на движение и макро­ скопическое состояние сред и обратное влияние движения сред на электромагнитные поля. Объекты, реализующие макровзаимодей­ ствие электромагнитного поля и среды, — это электрические заря­ ды среды и проходящие в ней токи, и потому взаимодействия су­ щественно различны в средах — проводниках, полупроводниках и диэлектриках. На скрепленный со средой электрический заряд объемной плотности р / в электрическом поле напряженности Е' в покое действует сила р/Е', которую он и передает единице объема среды; ток объемной плотности j', проходящий в той же точке среды, при наличии магнитного поля с вектором магнитной ин­ дукции В' в этом случае (в покое) сообщает единице объема среды силу j'XB'/c.

Если тот же единичный объем среды движется со скоростью v относительно некоторой системы координат наблюдателя (эйлеро­ во пространство), то движение заряда представляет ток p/v; век­

торы	j,	Е, В,	., определенные в этом	пространстве, отличаются
от j',	Е',	В',	в той же физической точке среды, т. е. по их при­
роде векторы электромагнитного поля j,				Е, В,	при переходе от

неподвижной к подвижной системе координат преобразуются по особым законам, отличным от преобразований векторов, ранее рас­ смотренных. Понятно, что все преобразования в системах коорди­ нат (декартовых, криволинейных), неподвижных одна относитель­ но другой, сохраняются для j, Е, В, такими же, как и для обыч­ ных векторов и тензоров. Эти особенности электромагнитных по­ лей связаны с различием физических законов классической меха­ ники и теории относительности, определяемым параметром $=v/c (отношение скорости движения к скорости света).

В классической механике, а следовательно, и в МСС все урав­ нения ковариантны (не изменяются) относительно преобразований Галилея: если вместо некоторого пространства наблюдателя с ра­

диус-вектором х выбрать другое	(*'), совпадающее с ним при
i = t 0 и движущееся поступательно	с постоянной скоростью V0, то

для движущейся физической точки, определенной лагранжевой ко­

ординатой х при	t = t 0 и при t > t 0, одинаковой в обоих простран­
ствах (х'=х, так	как	х, по существу, есть	«номер» точки),	закон
движения будет иметь вид				(22.1)
/' = /,		х' = х' (х, t') = jс(х,	t ) ~ V0f.

Здесь очевидна тождественность отрезков времени dt'=dt и физи­ ческих отрезков в обоих пространствах:

дх дх

Уравнения электродинамики ковариантны относительно более общих преобразований Лоренца, при которых вместо сохранения времени и длины в трехмерном евклидовом пространстве

di'2=dt2,	dx'2=dx2	(22. Г)
сохраняется квадрат «длины»	dsA2 в четырехмерном	простран­
стве— времени Минковского:
ds?=c2dt'2—dx/2=c2dt2—dx2.		(22.2)

Опыт показал, что (22.2) совпадает с (2 2 .Г ) при p = V 0/c< C l. Скорости, обычно рассматриваемые в МСС, малы сравнитель­

но с с, даже если они порядка сотен и тысяч километров в секун­ ду. Но учет электромагнитных сил и мощностей в МСС требует правильного выражения векторов электромагнитного поля.

Инерциальной декартовой подвижной системой координат (ДПС) в точке x=const (точка х пространства наблюдателя) в момент t\ назовем декартову систему, которая поступательно дви­ жется с местной скоростью v(x, /i)=V(x, ^i) в течение малого ин­

тервала времени t\—	+	окрестность точки х в этот пе­
риод с точностью до малых высшего порядка (и поворотов)			оста­
ется «неподвижной»	в ДПС. Местную систему координат,		непо­

движную в пространстве наблюдателя и совпадающую в момент

t=t\	с ДПС, назовем ДЭС (декартова			эйлерова система). ДПС
иногда называют		сопутствующей	системой (относительно ДЭС
она	движется со	скоростью v(x,	£)).	Преобразование векторов

электромагнитного поля от ДПС к ДЭС и называется преобразо­ ванием этих векторов от лагранжевой системы к системе про­ странства наблюдателя, от их значения в «покое» к значениям в системе наблюдателя.

Электромагнитное поле в пустоте вполне характеризуется на­ пряженностью Е электрического и напряженностью Н магнитного полей, иначе — электрическим Е и магнитным Н векторами, кото­ рые удовлетворяют уравнениям Максвелла

ro tE = ---- , divH =0,

сdt

(22.3)

ro tH = — — , div E—0.

c dt

Из первой	пары	уравнений		(22.3)	получаем выражения			Н, Е
через векторный			и скалярный		потенциалы	из	H=rot<p,	Е=
= —c~ldy/dt+ gradcp			Полагая	div<p=c-1d<p/d/,			оставшихся
уравнений	(22.3)	находим волновые			уравнения	для	потенциалов
ф И ф!

из них следует, что в пустоте распространяются электромагнитные

(Э-М)	волны	со	скоростью света.	Например, уравнения (22.4)
имеют решение			в виде бегущих	волн <р(£), <р(£)=—кф(*),		£=
=кх—ct, где к — постоянный вектор, ф(£)					— произвольный	век­
тор,	причем	Н и Е ортогональны и равны			соответственно	Н =

=ф' (£) X к, Е=ф7—к (кф).

Наиболее естественное для МСС представление о взаимодейст­ вии сплошной среды с Э-М полем в духе идей статистической ме­

ханики (§ 1	2) дает электронная теория Лоренца, весьма непло­
хо объясняющая		множество	Э-М эффектов в деформируемых
средах (см. с. 269).
В результате		усреднения уравнений микрополя (22.26) возни­
кают векторы	электрической		индукции D и магнитной индукции

В, как бы уточняющие значения	Е и Н в вакууме за счет 3> и Ж
среды:	В=Н + 4яЖ,
D=E + 4л&>,		(22.5)

они называются векторами электрической поляризации и намаг­ ниченности соответственно. В общем случае проводящих, поляри­ зуемых и намагничивающихся сред уравнения Максвелла во всех системах координат имеют одинаковый вид

	ro tE = ---- —		di vВ = О
		с	dt			(22.6)
	rot Н= - ^ - j -р —		divD = 4npe.
	ic	с	dt
Здесь j — объемная плотность возникающего в среде					электриче­
ского тока,	рс— средняя плотность электрических			зарядов.		семь
Система	уравнений Максвелла (22.6) содержит				лишь
уравнений, так как уравнение		div В=0 является		следствием		пер­

вого (векторного) уравнения (22.6) при соответствующих началь­ ных данных. Для неподвижных проводящих сред система уравне­ ния (22.6) становится замкнутой, если известны функциональные

зависимости	векторов	Ж или	электрической		и магнитной		ин­
дукции D, В и тока j от напряженностей				Е, Н электрического и
магнитного полей: при некоторых начальных и граничных							усло­
виях векторы Е, Н, j вполне определяются.					выражение		пото­
Из (22.6)	следует закон сохранения заряда,
ка индукции	D через замкнутую поверхность и закон					сохранения
Э-М энергии	в фиксированном		объеме	пространства		наблюда­
теля:
	- ^ - + divj = 0, jD ndE = 4 n^pedl/(
		2		V			(22.7)
		( E- f +	H i f +	iEJ

V

V

v

Здесь S — вектор Умова—Пойнтинга			потока	Э-М энергии в про­
странстве
S = —		ЕхН,				(22.8)
	4я
который выражает в (22.7)	приток Э-М энергии в V через 2.						от­
Соотношения (22.3) — (22.6) ковариантны				(сохраняют вид)
носительно преобразований	Лоренца, если			все величины (Е, Н,
D, В, j, ре) выражены в р1ассматриваемой системе координат.
Векторы электромагнитного поля в местной					мгновенной ДПС
можно выразить через векторы		в едином для			всей	среды	про­
странстве наблюдателя, т. е. в ДЭС.
Отметим штрихом сверху все величины, определенные в ДПС,
и во всех уравнениях (22.3) —(22.6)			всем величинам припишем
штрихи. Эти соотношения	отражают		ковариантные			соотношения

электродинамики в пространстве—времени Минковского на трех­ мерное пространство и время в системе ДПС, которая со ско­ ростью v(*, /) движется относительно ДЭС. Без штрихов обозна­ чим преобразованные к ДЭС величины. Тогда уравнения (22.3) — (22.6) сохраняют свой вид, так как они ковариантны относитель­

но преобразований	Лоренца. Преобразования векторов	Е', Н',
D', В', У и плотности	р / приводим без доказательства [54]:
YE = E '- ( 1 - Y)(E'6)6 + PB'X 6,		(22.9)
YH = H '—(1 - у ) (H'S) 1 - PD' х g,		(22.10)
YP.=P; +	P-j-j'S. j - p ev = j ' - ( l - Y ) ( i ' S ) S ,	(22.11)

где p s - ,	у = У \ — p2,	.
C		V
Преобразования для D и В		получаются из	(22.9), (22.10)	заме­
ной E-*-D,	Н->-В, D->-E, В->-Н. Выражения		Е', Н ',... через Е,
Н ,... получаются из (22.9), (22.10) простым			перенесением	штри­
хов в левые стороны и изменением знака величины р.
Простейшие материальные		соотношения	(как и уравнения со­

стояния МСС) выражаются в ДПС для начально изотропных так­ же в отношении поляризации и намагничивания сред. Законы по­

ляризации, намагничивания недеформирующейся		среды и закон
Ома в ДПС при этом имеют вид
4лсР = (е— 1)Е'	или D' = eE',	(22.12)
4ло,-й' = (ц— 1)Н'	или В' = |хН',	(22.13)
j' = aE'		(22.14)

Экспериментально определяемые для разных сред коэффициенты поляризации (е>1), магнитной проницаемости (р может быть

больше или меньше единицы)				и проводимости (а) могут сущест­
венно зависеть	от	плотности		вещества		(р)	и температуры	(Г).
Для анизотропной		среды	коэффициенты			е,	р, а представляются
симметричными	матрицами		второго		ранга.		Предположение	о не­
зависимости коэффициентов			от	Е',	Н', т. е. линейности этих			свя­

зей, лежит в основе классической электродинамики. Однако связь между Ж' и Н' для ферромагнетиков имеет малую область линей­ ности и напоминает кривую растяжения с разгрузками образца в

упругопластической области (рис. 20.1).					Для вакуума			е=1, р=1.
После подстановки		Е', Н',	р /	в	(22.12) —(22.14) получаем
выражения материальных соотношений
		D= еЕ—Р! X(Н—еВ),
	В=ц.Н + Р1х(Е—pD),				Р != — .				(22.15)
						С
j - P.V=		(Е—pD)= — [Е + PI XВ—Р2 (Eg) |] .							(22.16)
	1 — ц е		у
В пространстве наблюдателя			эти соотношения				и дополняются к
уравнениям (22.6);		при заданной скорости				движения		различных
точек среды \(х, t) и параметрах е, р,					а внутри области				опреде­
ления система	(22.6), (22.15),		(22.16)	для		векторов		Е,	Н замк­
нута.	в (22.15), (22.16) малые				порядка		р2 сравнительно
Отбрасывая

с единицей, получаем с большой точностью материальные соотно­ шения в ДЭС в виде (22.12) — (22.14) при замене

j' =	j —P«v,
	+	(22.17)
С	С
+	В' ->-В----
С	с
Здесь р/, У — плотность заряда	и тока в ДПС, т. е. в точке	(х, t)

в системе, движущейся вместе с физической частицей среды. Как видим, в выражении закона Ома (22.17) при отсутствии собствен­ ных зарядов (р/=0) слагаемое pev в выражении тока должно быть отброшено с ошибкой р2 сравнительно с единицей.

На единицу объема среды со стороны поля действует объем­

ная сила pF3 (пондеромоторная сила)	и сообщается	мощность Q3
имеющие в пространстве наблюдателя выражения
pF3= p eE + — jx B —fA	Q3 = jE + QA;	(22.18)
С

действует также вектор-момент рМэ. Величины рМэ, fA QA отра­ жают специфические Э-М свойства среды.

Если	материальные	соотношения	принять в виде		(22.10) —
(22.14),	(22.17), считая	ц, е зависящими от		координат	(т. е. тем­
пературы и плотности),		то, обозначая	fA= fJte	QA=Q HE, получим ве­

личины fJie Que, обращающиеся в ноль, если параметры е, р — ска­ ляры и не зависят от х, ty

8nfд= Е — ----D—		+ Н —— В —		’
8х	8х	8х	6х
				(22.19)
8л<2д= Е — —D—		-f-H—	----В—	’
dt	dt	dt	dt

где обозначен оператор 6/бдс, который в декартовых координатах (репере е,) определяет для любых векторов А, С вектор

а1И а-£ь

(22л9г

Разность между полной мощностью Q3 сообщаемой полем еди­ нице объема среды, и мощностью пондеромоторной силы pF3v при отбрасывании величины р2Н2 сравнительно с Е2 равна

Д<2,=стЕ (е + 2ц— х Н)-\— -				(Е —		+ Н —	)	------— — (ED+ BH),
\	с	}	4л	\	dt	dt	)	8я	dt	(22.20
где djdt — полная
	производная			по времени. Это выражение полу­
чается на основании		(22.17) — (22.19)				и тождества
( A - “	U	= A (JE —		* . ) ,		J - = ±		- щ Л . ,		(22.21)
\ 8х	J	\	dt	dt	j	dt	dt		dxt
Первое слагаемое правой части				(22.20) в ДПС				равно аЕ/2 =		j'2

и следовательно, представляет джоулево тепло, возникающее за

счет электрического сопротивления	1 /а; второе — совершаемую
полем работу; последнее представляет	полный дифференциал и

может быть отнесено к приращению внутренней энергии единицы объема.

Необходимо отметить, что при преобразованиях Лоренца ско­

рость v считается постоянной, преобразуются время,		координаты
и функции поля. Поэтому при подстановке	(22.17)	в уравнения
Максвелла, в вычислениях (22.18), (22.20)	скорость v, являю­

щаяся функцией координат и времени, не должна дифференциро­ ваться по х, t. Это относится ко всем дифференциальным операто­ рам над электромагнитными скалярами и векторами, содержащи­

ми множители | или V.

Уравнения Максвелла (22.6) сохранят свой вид в ДПС, если в них внести значения (22.9), причем v и |=v/i> не дифференциро­ вать по х, /:

rot'E' = ---- ,	div'B' =	0;
с	dt'	(22.22)
rot/ Н,= ——- У -J—-———		div'D' = 4nj/
с	с dt'	е

Здесь rot', div' означают операторы, выраженные в ДПС. Опреде­

ленную трудность вносит входящее в (22.22) местное время		за­
висящее от х, t. Строго говоря, некорректная замена	d/dt'	на
d/ydt совпадает с f= t с точностью до малых порядка р2	(t — уни­

версальное время МСС); полное преобразование Лоренца от ДПС к ДЭС возвращает постановку задачи к пространству наблюда­ теля.

При малых объемных моментах рМэ тензор напряжений сим­

метричен. Уравнения движения			и сохранения массы				сплошной
среды в эйлеровых координатах			(10.16)
d v , i	d v	fdou	e i +	P X ,	— + div(pv) =		0,	(22.23)
-----------	dxl	dxi
dt
или, соответственно,	лагранжевых			(10.11) содержат объемные си­
лы рХ и р0Х'
РХ=	РХ, + PF3,		РоХ' = р0Х* + i4pF;.					(22.24)
Первые слагаемые — обычные заданные					массовые	силы		(тяжести
и др.), вторые же представляют пондеромоторные						силы электро­
магнитного поля. Например, вектор pF3 дан формулами								(22.18),

и компоненты его в декартовых координатах эйлерова простран­ ства имеют выражения через Е, Н

p f‘ = рРэе* = реЕь+ (j X В)—
—	/ Е ® — D—	+ Н - . — В —		(22.25)
8я	\ dxi дх^	^	dxi

Для постановки и решения задач МСС с учетом Э-М поля су­ щественно знание выражений объемных плотностей пондеромоторных силы pF3 момента М3 и мощности Q3. Формулы (22.18) дают выражения главных частей силы (jXB/c) и мощности (j-E). До­ бавочные же члены в виде (22.19) отражают для Э-М-поляризуе- мых тел только влияние зависимости (р, е)-констант от коорди­ нат и времени, т. е., например от плотности и температуры; для этих эффектов имеются и другие формулы.

Вопрос о выражении пондеромоторных сил (включая мощности, моменты, бимоменты и др.) в электродинамике сплошных движу­ щихся и деформирующихся при этом тел в общем случае не ре­ шен. В МСС заслуживает особого внимания подход с позиций электронной теории Лоренца.

Э-М свойства вещества (среды) в электронной теории Лорен­ ца представляются такими же, как если бы оно состояло только