книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

-	уравнения движения цилиндрической оболочки
	— + * .	m=0	,	э й
	<Л*|			5а,
		aw;,	2g;,		„	у
		о м и	z y 3l
		a9 x,а	" АГ
	2 9М ,2	6к2М22		126я				(3.44)
	А 9 а ,		А		+ М3 = |] В ,” »з",
					А2
	aw ;;	2А /3",			;1 Х » ;	(п = 2,N),
	5 а ,
	2 ЭМ,”		— 3 - + f 3 - 2 , з			д	(и = 3#Л0;
	h 5а,	А
			л		/п=1
- естественные граничныеусловияприа, = 0 ,Z
		а #з=^з°>					М,2з = М 30,
			___		л/;3= s3"		___	(3.45)
	м;; =5,и (и=2,ла					(л=з,ла
Наконец, система уравнений (3.44), (3.45) дополняется необ­
ходимым числом начальных условий:
м|,'(а 1,0) = м1,,(а,),			w,#,(a,,0) = м,"(а,)				(H = 0,W),
	______				______		_	(3.46)
И з(а,,0) = «з1(oti),			й з(а ,,0 ) = й з(а |)				(л = 1 ,#),
где	и," (а ,), и,"(а,) (/ = 1, 3 )			-	моменты заданных			функций

и”( а ,, а з ), й"( а ,, а 3), которые определяются по формулам (3.3 7).

171

0 <Г <ГФ, t, =hc}, 0 < & < 1,

Я А ч -] *

[q3, t > t4.

В силу геометрической симметрии задачи рассматривалась полубесконечная оболочка при краевых условиях симметрии при а, = 0 и нулевых - при а, —>±оо. Начальные условия задачи нуле­ вые. Материал оболочки АМГ-3 с характеристиками: Е= 71,5 ГПа; v = 0,3; р = 2730 кг/м3; g = 0,541 ГПа; а . = 0,1265 ГПа.

Переходный волновой процесс деформации рассматривался на временном интервале 0 < / < 2 0 hicxпри различном количестве членов в выражении (3.41). Критерием достаточно хорошей ап­ проксимации функций перемещений являлась точность удовлет­ ворения краевых условий. На рис. 3.40 приведены нормальные напряжения а 33 на плоскости симметрия во времени т =tcjh (здесь и в дальнейшем сплошной линией показано изменение внешнего давления и напряжений на внешней поверхности, штриховой - на внутренней; кривая 1 соответствует N = 1 ;2 -7 У = 3 ;3 -7 У = 7 ;4 - внешнему давлению).

Из рис. 3.40 видно, что с увеличением числа членов в выраже­ нии (3.41) наблюдается доста­ точно хорошая сходимость ре­

шения, при N = 7 погреш­ ность в удовлетворении крае­ вых условий по нормальным напряжениям а 33 не превы­ шала 5% от q\ .

На рис. 3.41,л представ­ лено изменение нормальных напряжений а 33 вдоль обра­ зующей на внешней и внут­ ренней поверхностях оболо­ чки в момент времени т = 9. Погрешность удовлетворения

173

краевых условий по нормальным напряжениям в расчете при N -

= 1 ,3 ,7 составляла 400, 60 и 5% от q*3 соответственно. На рис. 3.41,6 приведены касательные напряжения а |3 на срединной (штрих-пунктирная линия) и граничных поверхностях оболочки. Здесь погрешность вграничных условиях при расчете в приближении

N= 1 составляла более 100%, а при N=1 - не более 5% от макси­ мального значения касательных напряжений в данном сечении. Максимальная погрешность наблюдалась в зоне обрыва нагрузки.

174

На рис. 3.42 в момент времени т = 9 дано распределение по толщине нормальных ст33 и касательных а 13 напряжений всечениях а , = 0 и а , = h, полученных соответственно при N = 1 ,3 ,7 . Срав­ нительный анализ показывает, что решение по касательным напря­ жениям сходится быстрее, чем по нормальным, и уже при N= 3 получается вполне приемлемая точность касательных напряжений вдоль образующей на граничных поверхностях оболочки. Характер сходимости решения по продольным и окружным напряжениям примерно одинаков.

Различие в зонах пластических деформаций, рассчитанных при N = 1 и N = 7 , уменьшается по мере развития процесса дефор­ мирования во времени.

а)

б)

Рис. 3.42

Результаты расчетов показывают, что данный подход, может быть использован для исследования переходных волновых процес­ сов деформирования в упругопластических оболочках при быстро изменяющихся локальных нагрузках. Необходимая точность ре­ шения при этом может быть достигнута путем удержания достато­ чного числа членов в разложении (3.41).

Рассматривалась жестко защемленная по торцам цилиндричес­ кая оболочка, нагруженная по поясу шириной / импульсом внеш­ него давления

# з(0	°РИ	а 3 = А /2 ,
Г3 ( а „ 0	/ . < a j < £ ,	- Z < a , < - / , а 3 = Л /2 ,
О при

175

где q3(t) - треугольный импульс с максимальной амплитудой q3

и длительностью т,. Геометрические параметры оболочки следую­ щие: Л = 0,125-10-2 м; Rlh= 20; L = 0,4-10-1 м. Материал оболочки - АМГ-3. Начальные условия задачи нулевые.

Расчеты по модели с разложением в ряд проводились при N=

= 5 (£ = 1 3 ) и по модели типа Тимошенко - при К=1.По образую­ щей число узлов М - 101, причем величина шага Д а, изменялась по закону арифметической прогрессии таким образом, чтобы сетка сгущалась в зоне приложения нагрузки.

Анализировались максимальные прогибы оболочки в зависи­ мости от геометрии оболочки и ширины пояса нагружения при условии / . = q*3x, / 2 = const какдля упругой, так и упругопласти­ ческой работы материала оболочки.

Из полученных результатов следует, что при упругом деформи­ ровании ширина пояса нагрузки практически не влияет на интегра­ льные характеристики решения (максимумы прогибов на плоскости симметрии), рассчитанные по модели с разложением в ряд и теории типа Тимошенко. При упругопластическом деформировании наблюдается существенное различие в результатах решения (в рас­ смотренном диапазоне НИ), полученных по модели типа Тимо­ шенко и модели с разложением в ряд. Расхождения увеличиваются с уменьшением ширины зоны приложения нагрузки и времени действия импульса давления при условии /. = const. Максимальные различия между решениями по перемещениям наблюдаются в зоне приложения нагрузки, где в начале движения локализуются пласти­ ческие деформации. С увеличением толщины оболочки расхожде­ ния в результатах расчетов растут.

На рис. 3.43 приведена относительная разность максимальных перемещений точки срединной поверхности на плоскости симмет­ рии оболочки 5 = |(£/3* - и” ) / U31• 100% ( и*ъ - максимум пере­ мещения при расчете по модели с разложением в ряд, и*3 - мак­ симум по модели типа Тимошенко) взависимости от ширины пояса нагружения l!h. Кривые 1,2,3 получены при условии/. = const, но

176

при различной форме импульса (1 соответствует q\ =2ГПа, т,=

=2; 2 -	q\ = 0,2 Па, тф= 2	0 ; 3 -
ql = 0 ,1	ГПа, т, = 40) в	пред­

положении упругопластической работы материалаоболочки. Кри­ вая 4 рассчитана при упругой работе материала оболочки при

q\ = 2 ГПа, т = 2.

Видно, что при упругоплас­ тическом деформировании раз­ личия между решениями по ма­

ксимальным перемещениям растут с уменьшением зоны прило­

	жения нагрузки и времени дей­
	ствия импульса давления.
	На рис. 3.44 в плоскости
	параметров т, и l/h построена
	область, в которой решения по
	максимальным перемещениям,
	полученные на основе модели
	с разложением в ряд и теории
	типа Тимошенко, различаются
	более чем на 5% (5> 5%). Эта
2	l/h область ограничена осями ко-
Рис. 3.44	ординат и построенной кри­
	вой.

177

Глава четвертая НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ

ИОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ

ИУДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Рассматривается постановка и численная методика реш ения задач динамического деформирования, прочности и оптимального проектирования однослойных и многослойны х композитных оболочек вращения при импульсном осесимметричном нагружении и соударении с жесткими телами. Формулировка начально­ краевой задачи осуществляется на основе соотношений, полу­ ченных в п. 1.4. Приводятся результаты сопоставления числен­ ных расчетов с экспериментальными данными по взрывному деформированию однослойных и двухслойных м ет аллоплас­ тиковых цилиндрических оболочек. Исследуется динамическое поведение вязкоупругой цилиндрической оболочки и армированной сферической оболочки, полученной многозонной намоткой, при действии импульса внутреннего давления. Д ля многослойных ци­ линдрических оболочек и пластин с резко отличающимися фи- зико-механическимихарактеристиками слоев, нагруженных лока­ льными импульсными иударными нагрузками, проводится сравни­ тельный анализ решений, полученных на основе кинематически неоднородной модели и в рамках единой гипотезы по толщине пакета с усредненными жесткостными характеристиками, и определются границы применимости последней. Исследуется процессразрушения многослойных композитных балок при соуда­ рении со сферическим ударником. Обсуждаются результаты ана­ лиза оптимальных по массе проектов двухслойных и однослойных металлических и композитных цилиндрических и сферических

178

и сферических оболочек, нагруженных импульсом внутреннего давления, и цилиндрических оболочек при ударе грузом конечной массы.

Основным достоинством многослойных конструкций, обусловившим их широкое применение в современной технике, является возможность наиболее полного удовлетворения эксплуатационным требованиям благодаря довольно широким пределам варьирования жесткостными, прочностными и весовыми характерис­ тиками [34,96,189]. В частности, весьма распространенными являются много­ слойные оболочки нерегулярной структуры, набранные из металлических и компо­ зитных слоев с резко отличающимися физико-механическими характеристиками. Наличие композитных слоев в таких конструкциях позволяет за счет изменения коэффициента и угла армирования, а также схемы чередования слоев создавать конструкции, обладающие рядом преимуществ (меньшей массой, повышенной трсщиностойкостыо, безосколочностью разрушения) по сравнению с цельнометал­ лическими. Характерной особенностью многослойных элементов конструкций из композиционных материалов является неоднородность физико-механических свойств по толщине и сравнительно низкая жесткость и прочность в транс­ версальном направлении. При интенсивных импульсных и ударных воздействиях в таких конструкциях могут возникать пластическиедеформации в металлических слоях и наступать разрушения в композитных слоях. Моделирование таких процессов в многослойных композитных конструкциях предполагает, во-первых, разработку математической модели расчета, позволяющей с необходимой точностью описывать распространение волн напряжений в конструкции с учетом изменения физико-механических характеристик материала в процессе разру­ шения, а во-вторых, - разработку эффективной численной методики, позволяющей не только решать начально-краевые задачи динамического деформирования элементов многослойных конструкций, но и задачи их оптимального проек­ тирования [16-19,21,25-27].

4.1. Формулировка начально-краевой задачи нелинейного осесимметричного деформи­ рования неоднородных композитных пластин и оболочек вращения при импульс­ ном нагружении и соударении с жесткими телами. Тестовый пример

Полагается, что оболочка вращения состоит из нерегулярного набора изотропных и композитных слоев с толщинами hk {к = 1, ДГ). При этом композитный слой образован намоткой одно­

179

направленного композитного материала под углами ± фя к обра­ зующей оболочки. Осесимметричный абсолютно жесткий ударник массой т, обладающий до момента соударения скоростью VQ,

перемещается вдоль оси вращения. Движение оболочки рассматри­ вается в лагранжевой системе координат а . ( / = 1 ,3 )» совпадающей с линиями главных кривизн и внешней нормалью к внутренней поверхности оболочки в недеформированном состоянии. В каж­ дом слое вводится локальная система координат а* ( / = 1, 3 ), связанная с общей зависимостью

a f = a , , a * = a 2, a* = a 3 - z * ,

где - hk/ 2 < a J <hk I2,zk- координатаa 3 срединной поверхно­ сти Аг-го слоя.

Кинематическая модель деформирования слоя (или оболочки в целом) определяется гипотезами линейности изменения по тол­

щине нормальных и касательных перемещений (1.73).

Геометрические зависимости определяются в рамках простей­ шего квадратичного варианта геометрически нелинейных соотно­

шений (1.75)-(1.77).

Физические соотношения в изотропных слоях устанавливаются на основе дифференциальной теории пластичности, а в композит­ ных - на основе закона Гука и линейной теории вязкоупругости в

сочетании с теорией эффективных модулей.

Для описания совместного движения оболочки и жесткого тела используется вариационное уравнение принципа возможных пере­ мещений (1.79), (1.80) и условия непроникания по нормали на внешней и (или) внутренней поверхностях оболочки, которые при

осесимметричном деформировании запишутся в виде:

N L	Т0к	д(Ъи,r	i J j l м 2 ккгрОк		, гр]к
X I	1 \\					but
	А\	да	[ а !А.	K l I \3	+ i 13
				da,
i=l о		li

180