книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdf£ A U3(<P2) + £ 4 (2 %<P2)]=
и\Ц +и\ м3' - ^ j -2и\Ъ[
Л {цЧ 2и1й1 - 2u'38'l -A lul(u,3+2&i)]- « ! "з - « J 8 fj,
где |
|
|
|
|
|
|
|
7 - . L дА2 |
А - |
1 |
8*А> |
А, |
_ 1 |
< |
|
' ~А2да] |
2 |
А2 |
да2 |
> |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ= w3 + 8[, |
/" = |
да" |
’ |
|||
|
|
|
|
|
|
||
L■,(/) = Г |
+ А,Г -(А2- v l2 |
||||||
Ш ) = г |
+ 2A J”+ (2А, --А 2)/"-А, |
||||||
W ) = . T + 2 Л .Г - Л Д Г + 4 3/ ' , |
|||||||
L4(mJ ) = ^ 2 Р ^ ,/ ' - |
2 / |
ff + (m2 - 4Л,2) /] . |
Как показал численный анализ, уравнения (5.19), (5.20) можно упростить, исключив из них все члены, содержащие начальную погибь 6 ,, кроме подчеркнутых.
Первое уравнение системы (5.19) имеет относительно функции
и° второй порядок по временной и пространственной координатам. По линейной части оно относится к гиперболическомутипу и опи сывает распространение волн растяжения-сжатия вдоль оболочки.
Второе и третье уравнения (5.19) имеют относительно функций «3° , и\ второй порядок по времени и четвертый по пространствен
281
ной координате и являются уравнениями параболического типа. Первое и второе уравнения системы (5.20) имеют четвертый
порядок относительно функций (р,, (р2 и относятся к эллиптичес кому типу. Важно отметить, что левые части этих уравнений ли нейны и не связаны друг с другом.
Систему уравнений (5.19), (5.20) необходимо дополнить нача льными и граничными условиями при а, = 0 Д . Основные типы граничных условий приведены в монографии [160]. Например, для
цилиндрической оболочки:
Г, ~ и\ =и\ |
-и\ = и2 = 0 . |
|
Г2 ~ и\ = и\ |
= N(1 = и2 = 0 . |
(5.21) |
г ,~и\ =«]' =»; =лг" =0, |
г4~«4 =«;' |
= ЛГ" =0. |
В [160] показано, что условия Г, и Г3 (Г2 и Г4) дают одинаковые значения статических критических нагрузок, а различие в крити ческих нагрузках при задании условий Г 1 (жесткая заделка) и Г4
(подвижно защемленный край) составляет менее 4%. Эти резуль таты получены с учетом моментности и искривления образующей вдокритическом осесимметричном состоянии.
Для сравнения с известными экспериментальными данными лучше подходят условия Г,, но ввиду сложности их реализации через функцию напряжений вдальнейшем используем условия Г4. Будем полагать, что ударяемый торец защемлен подвижно и при Г>0 перемещается вдоль оси оболочки со скоростью VQ, а другой торец ctj-L защемлен неподвижно.
Тогда при а , = 0 и t>0
и° =V„z'(at), U°=V0A'2(а ,) , й] = О,
9 9
“1=<Р| =Ф 2 = “? =“1 =Ч>! = ф '2 = 0 ;
282
npHCX^Z-HteO
"|° = u° = ul =<P| = ф2 = Ы? = u 'j =<!>;= 4>j = 0; (5.22)
при 0 < a 1 <L и / = 0
= м,° = и] = Ф, = ср2 = О,
Система уравнений (5.18)—5.20) вместе с начальными и гра ничными условиями (5.21)—5.23) позволяет описать осесиммет ричные и неосесимметричные процессы динамической потери устойчивости и закритическое поведение оболочек вращения с начальными несовершенствами формы при осевом ударе с учетом распространения волн сжатия-растяжения вдоль оболочки, крае вых эффектов, моментности и нелинейности осесимметричного и неосесимметричного состояния, а также их взаимного влияния при фиксированном числе волн в окружном направлении. Послед нее ограничение может быть устранено, если аппроксимировать функции (5.16) усеченным рядом Фурье. Для цилиндрических обо лочек соответствующие уравнения получены в работе [48].
Решение поставленной задачи осуществляется конечно-разност ным методом. Дифференциальные операторы аппроксимируются по пространственной координате центральными разностями со вто рым порядком точности. При аппроксимации уравнений в предконтурных узлах сетки вводятся законтурные точки. При N внут ренних узлах получаем систему 3N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнении второго порядка относительно дис
кретных значений функций перемещений (м,0),, (w j),, |
(wj), |
(*‘ = UV): |
|
(й,°), = /,((И,0),.», ( « X , (»j)1+A |
(5.24) |
(«?), = /,((« ,°)» * , ( " Х > («1 W > (Ф ,Ы > |
(5.25) |
283
(Из), = /з ((и,° . («3°)«• («] )е у .>1(Ч)(+* >(Ч’г><+* >’ (5 -26)
(у = - 2 , - 1, 0 , 1, 2 ; * = - 1, 0 , 1).
Кроме того, получим систему линейных алгебраических уравне ний относительно дискретных значений функции усилий (фД, (ф2),
(/‘ = W
°Ч(ф«)/+/ “ /4 ((«з )#+* » ( w3 )/+*)»
J =~2 |
(5.27) |
2 |
|
2 ] by(Ф2)/+j = /5 ((мз)/+*) |
» = " 1 Д 1 ). |
j= - 2 |
|
Здесьff (/ = 1, 5 ) - нелинейные функции своих аргументов; aijtb..
- независимые от времени коэффициенты.
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5.24) -(5.26) будем интегрировать по явной схеме “крест” второго порядка точности относительно шага по времени At. Значения входящих в правые части (5.25)—5.26) функций усилий найдем, решая систе му алгебраических уравнений (5.27) методом пятидиагональной прогонки [192].
Исследовалось выпучивание латунных цилиндрических обо лочек, движущихся со скоростью VQ,при ударе о жесткую преграду. Геометрические и механические характеристики оболочек [162]: 7?=0,025 м; 7?/Л=500;UR=1\ Е= 1,8-105 МПа; v= 0,3; р=7,5-103
кг/м3. Ударяемый край оболочки был жестко защемлен, а другой свободен.
Поскольку выпучивание наблюдалось [162] вблизи ударяемого торца, разностной сеткой (N= 80) покрывалась лишь часть обо лочки длиной Z, = 1,27?, примыкающая к ударяемому торцу. При <Xj =Lt ставилось специальное граничное условие:
284
2 L -L x
с
(5.28)
N,°, при t > — ——
с
которое моделирует распространение волны сжатия вдоль оболо чки и приход волны разрежения от свободного края. Условие (5.28) аппроксимировалось односторонними разностями. Для других функций при ct, =Х, ставились условия:
н
cpi = (pj = (р2 = <р'2 = и\ = и® -и \ = и\ =0. (5.29)
Как показали вычисления, увеличение размеров расчетной об ласти и изменение граничных условий (5.29) не оказывает замет ного влияния на результаты расчета. Заметим, что в общем случае интегрировать вдоль всей оболочки необходимо лишь осесим метричную группу уравнений (5.24)-(5.25), так как неосесим метричное выпучивание обычнолокализуется возле ударяемого или закрепленного края.
Как известно, наиболее опасными являются начальные несовер шенства формы, согласованные с преобладающими формами по тери устойчивости. Из линеаризованных уравнений устойчивости следует [145], что наибольшую скорость роста имеют осесиммет ричные формы с длиной волны X= 2 nh^Jc/6V0 и неосесимме
тричные формы с длиной волны вдоль образующей 2Х. Поэтому начальную погибь будем задавать ввиде 5,(а,)=^(1 -cos2nax/(2X)), где ^ - амплитуда погиби. В общем случае оболочек конечной геометрии длина волны осесимметричного выпучивания опреде ляется в результате численного решения нелинейной осесимметри чной задачи в зависимости от скорости нагружения и условий за крепления.
Для анализа процесса выпучивания введем параметры:
285
<3° |
- L f ( u |
l ) „ |
S3° |
|
N h j^ |
зЛ |
3 |
|
|
Щ= 7 |
max («])/. |
|
|
h O&HN |
Интегрирование системы уравнений (5.24)-(5.27) проводилось при
f0=10~lhu п> 4.
На рис. 5.26,5.27 изображены результаты расчета процесса выпучивания оболочки во времени т-ct!L при скорости удара VQ=
= 8 ,9 м/с и п - 1 0 (сплошная линия - |
и\ / h, пунктирная - u\/h), |
|
а на рис. 5.28 - развитие других форм выпучивания. |
||
VГ\ |
т =0,86 |
|
|
||
с ф |
t /\ —■ |
т = 1,28 |
сV |
V |
|
г/Л-.?_— --------- |
||
\7Л л-. |
т = 1 (71 |
|
|
|
|
|
У Г |
|
Л“>'/А |
|
|
_/—\— |
т = 2,14 |
|
|
|
|
(-Л \J{ ^Л ч —^ |
||
о 0,2V 0,48 |
0,72 a JL |
|
|
Рис. 5.26 |
Из рисунков видно, что в зоне краевого эффекта формируются осесимметричные складки, которые со значительно меньшей ско-
286
ростью, чем волна сжатия, распространяются за счет возникнове ния новых складок вдоль оболочки. Длина их мало изменяется, а амплитуда растет со временем. При превышении глубины вмятин толщины оболочки начинают развиваться неосесимметричные фор мы выпучивания и происходит прощелкивание оболочки к закритическим формам, имеющим ромбовидный (шахматный) характер.
Рис. 5.27 |
|
При этом происходит падение осевой силы |
и замедляется про |
цесс образования новых вмятин. Приход волны разгрузки приводит
к выворачиванию вмятин в исходное положение и смене знака |
. |
||||
Амплитуды каждой из форм имеют на рис. 5.28 ярко выражен |
|||||
ный максимум и несложно по |
|
|
|
|
|
строить зависимость максимумов |
|
|
|
|
|
амплитуд от номера форм неосе |
|
|
|
|
|
симметричного выпучивания при |
|
|
|
|
|
фиксированных скоростях удара. |
|
|
|
|
|
Это сделано на рис. 5.29, который |
|
|
|
|
|
показывает, что с увеличением ско |
|
|
|
|
|
рости удара амплитуда и длина |
|
|
|
|
|
выпучин в окружном направлении |
|
|
|
|
|
увеличивается (кривая 1 соответст |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
|
вует V0 = 5,85 м/с; 2 - V0= 6,5 |
м/с; |
3 - V0= 7 м/с; 4 - VQ= 7,85 |
Рис. 5.28 |
м/с; |
287
о 4 8 12 16 20 л
Рис. 5.29
тельно равна 5,5 м/с, что состав ляет 89% от классического крити ческого значения Лоренца-Тимо шенко и в пределах точности оп ределения совпадает со статичес ким критическим значением при граничных условиях - Г2, Г4 [160].
На рис. 5.31 изображены зави симости номера преобладающей формы выпучивания от скорости удара, отнесенной кскорости V=
5 - F0 = 8,9 м/с; 6 - VQ= 9,72 м/с). На рис. 5.30 построены для фиксированных номеров зависи мости “скорость удара - макси мальная амплитуда” (кривая 1
соответствует форме п=4; 2 - п=
=6 ; Ъ—п—24; 4 —w= 20; 5 - п -
=16; 6 -л = 1 0 ; 7 - и = 1 2 ; 8 - и =
=8 ). Наибольшую скорость роста
имеет форма и = 2 0 , а критичес кая скорость удара приблизи
8.
^ 7
Г2у
^/
V. 1^
5 6 |
7 |
8 |
9 V„, м/с |
Рис. 5.30
=ch/R*j3 ( 1 - v 2) , соответствующей верхнему значению крити
ческой статической нагрузки. Кри вая 1 построена в результате рас четов по данной методике; кривая
2 получена [162] на основе линей ных уравнений устойчивости без учета волновых эффектов. Эти кри
вые имеют противоположные тен
8 12 16 20 24 п
денции. Преобладающее выпучи-
Рис. 5.31
288
вание происходит взоне краевого эффекта, где большуюроль играет докритическое осесимметричное деформирование, не учитываемое линейной теорией. Зависимость, определяемая кривой2, имеет мес то на значительном удалении от края оболочки, где амплитуды вы пучивания малы. Обе закономерности подтверждаютсяэксперимен тальными данными. Так, из кинограммы выпучивания оболочки [162] при скорости удара F0=7,85 м/с следует, что вблизи уда ряемого торца число окружных волн я=12, а по данной методике я*11.
На рис. 5.32-5.34 представлены результаты расчета ударного выпучивания конических оболочек с углами конусности 0=0,15 и 30° и радиусом среднего сечения Д=0,1 м при граничных и нача льных условиях (5.21 )-(5 .23). Геометрические и механические па раметры стальных оболочек: RJh=300; L/R=1,2; Е=2,16*105 МПа; v=0,3; р=7,88-103 кг/м3. Расчет выполнялся на сетке N=19. На чальная погибь^=0,1 h.
На рис. 5.32 для цилиндрической оболочки (0=0°) представле ны в фиксированные моменты времени т = 6 ,8,10 осесимметрич ные (сплошные линии) и неосесимметричные для я = 8 (штрихо вые линии) формы выпучивания при ударе со скоростью VQ- 10 м/с. На рис. 5.33 представлены аналогичные зависимости для коничес кой оболочки (0 = 30°), неосесимметричные формы для которой имеют номер я =6.
289
На рис. 5.34,а в момент времени т = 10 построены графики максимальной амплитуды выпучивания и*от номера неосесим метричной формы п при скорости удара VQ 10 м/с. Кривые 1,2,3 относятся к оболочкам с углами конусности 0 = 0, 15 и 30°. На рис. 5.34,6 изображены те же кривые, соответствующие удару со скоростью К0= 6 м/с, в момент времени т = 12.
При ударном нагружении процесс деформирования начинается с роста мембранных напряжений за счет отражения волн сжатия от торцов оболочки. Возле ударяемого торца сначала формируется осесимметричная складка, направленная наружу. При достижении критического времени т, происходит прощелкивание оболочки внутрь у этого торца, после чего осесимметричное выпучивание интенсивно распространяется вдоль оболочки. Рост прогибов при водит к трансформации осесимметричной формы в неосесим метричную, которая происходит вблизи торцов цилиндрической оболочки. Конические оболочки выпучиваются (при ударе по торцу меньшего диаметра) вблизи ударяемого торца.
Ввиду высокой плотности спектров частот цилиндрических и конических оболочек бурное выпучивание происходит одновре менно по нескольким формам. Преобладающая форма выпучива-
290