книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

ния у конических оболочек выражена более рельефно (кривые 3 на рис. 5.34,а и б). С увеличением угла конусности наблюдается рост длины выпучины в окружном направлении, также, как и при уве­ личении скорости удара.

Представляет интерес исследование взаимного влияния неосе­ симметричных форм, а так же распределения начальных несовер­ шенств на процессе ударного выпучивания оболочек вращения. Такие исследования проведены в работе [48] для цилиндрической оболочки с параметрами: R=0,025 м; R/h=300;L/R=7; Е -1,8-105 МПа; v = 0,3; р = 7,5-103 кг/м3. Ударяемый торец был подвижно защемлен, а противоположный - свободен. Расчет проводился при N - 99 в расчетной области 0 < а, < L, = 1,2Л с граничными усло­ виями (5.28), (5.29) при а, = £ ,, (5.22) при а, = 0 и начальными условиями (5.23).

На рис. 5.35 дано развитие во времени амплитуд неосесим­ метричных форм выпучивания, полученных без учета их взаимо­ действия, при ударе со скорос­ тью К0= 12 м/с иfQ= 10~2h(кри­ вая 1 соответствует форме п= 3; 2 - « = 6 ; 3 - и = 8 ; 4 - и = 9 ; 5 -

п= 10; 6 - п = 15; 7 - п = 12; штриховая кривая соответствует

п- 12 и^=0,1Л ).

На рис. 5.36 изображены кри­ вые выпучивания, рассчитанные с учетом взаимодействия пяти окружных форм (кривая 1 соот­

ветствует я = 4 ; 2 - и = 8; 3 - я = 20; 4 - и = 16; 5 - л = 12), при задании одинаковой начальной погиби для каждой из форм^ = = 10~2h. Сравнение этих рисунков показывает, что взаимодействие форм проявляется при прогибах более 0,2hоболочки, и рост пре­ обладающей формы выпучивания замедляет рост остальныхформ.

291

На рис. 5.37 построены распределения амплитуд выпучивания на момент времени т «2 , полученные с учетом (кривая 1) и без учета (кривая 2) взаимодействия окружных форм. Видно, что взаи­ модействие неосесимметричных форм приводит к уменьшению их амплитуды и увеличению номера доминирующей формы. Имеет место также локализация пакета форм выпучивания.

1,0	1,5	2,0	т
	Рис. 5.36		Рис. 5.37

Большую роль на формирование картины выпучивания оказы­ вают начальные несовершенства формы оболочки. Если распреде­ ление начальных несовершенств подобно преобладающим формам выпучивания, например, на рис. 5.37, то при учете взаимодействия форм выпучивания наблюдается локализация преобладающих форм взначительно большей мере, чем без учета их взаимодействия

[48].Увеличение амплитуды начальных несовершенств приводит

кросту преобладающей формы выпучивания п= 12.

5.5. Обоснование применимости модели Кирхгофа-Лява для исследования ударного выпучивания ортотропных оболочек вращения

Теория оболочек, опирающаяся на гипотезы Кирхгофа-Лява, не

учитываетдеформации поперечного сдвига. Поэтому область при­

292

менимости этой теории для оболочек из композитных материалов, обладающих пониженной сдвиговой жесткостью, существенно сужается. Отмечено [194], что хотя гипотезы Кирхгофа-Ляваявля­ ются асимптотически точными (при уменьшении отношения h/R) независимо от свойств материала, в теории устойчивости сильно анизотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии, они дают погрешность при вычислении критической нагрузки до 40%. Это заставляет с осторожностью применять вышеизложенную методику при изучении потери устойчивости ортотропных обо­ лочек.

Можно оценить влияние деформаций поперечного сдвига на ударное выпучивание ортотропных цилиндрических оболочек, про­ ведя сравнение решения уравнений, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Лява и Тимошенко, при различных геометрических параметрах, соотношениях жесткостных характеристик и скорос­ тях удара.

Рассмотрим влияние деформаций поперечного сдвига для случая осесимметричной формы ударного выпучивания ортотропной цилиндрической оболочки. Исследование будем проводить с помощью линеаризованных уравнений модели Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига.

Соответствующие линеаризованные уравнения, основанные на этих моделях, имеют вид:

- D,u}" - Nuu"3 - (E1h/R1)u} = рhu,,	(5.30)
fA < p ;-(G A /2 )cp ,-(Ghl2)u[ =(рА ) /12)ф| ,
\( -N u +Ghl2)ul-{E2hlR‘)ui +(GA/2)cp', =рйм„	(531)

где (pj - угол поворота нормали в плоскости, касательной клиниям

а,, а3.

Пренебрегая в первом уравнении (5.31) инерционным членом, сведем два уравнения в одно, имеющее вид

293

Дм ," +Nt,u’,+ (E 2h/R2)u3

Щ

GhК * " " 3" + R2 “’)

= А - - М2

(5.32)

Считая оболочку достаточно длинной, отвлечемся от волнового характера распространения напряжений и будем считать оболочку мгновенно сжатой, а продольное усилие постоянным по длине и равным

	N	- Ш .		>			(5.33)
	yV11 “
где c = W [p (l-v ,v 2)], V- скорость удара.
Решение уравнений (5.30), (5.32) будем искать в виде
.	.	_ .	типа,		/с0	,	(5.34)
мз(а 1,0 = «г sln—J -Le					'	’

где m- число осесимметричных полуволн выпучивания по длине оболочки, (От- частота т-готона колебаний.

Подставляя (5.34) в (5.30), после некоторых преобразований получим выражение для частоты в классической теории оболочек

(2 = Д ( п/Х)А- N u(n/X)2 +E2h/R 2

(5.35)

Рh

где Х=Ыт - длина полуволны осесимметричного выпучивания. Из (5.32) аналогично получаем выражение для частоты при

учете сдвига

( О 2 =

294

Gh EJh

+ 2D, R2	(5.36)
	f * £ l

Из условия равенства нулю частоты колебаний получаем харак­ теристические уравнения, позволяющие получить значение крити­ ческого сжимающего усилия. Классическое значение

с	hn 1	ч-	(5-37)
	R V 3 (l- v ,v 2)

При учете сдвиговых деформаций критическоеусилие выража­ ется формулой

N . = - E thV.=N,	'Ь. h	1	• (5.38)
с	в, R 2 ^ 3 0 - v .v ,)

Относительная погрешность вопределении критического уси­ лия по формуле (5.37) по сравнению с формулой (5.38) составляет

5 =	N3-N .
	(5.39)

N.

На плоскости параметров R/h, EJG построим область, в которой при заданном отношении EJEXошибка в вычислении кри­ тического усилия по классической теории будет не более некоторого допустимого значения 6,. В соответствии с (5.39) эта область опишется неравенством

(5.40)

G RljE, 2j3(l- v , v 2)

г д е /;(8 1) = 8 1(1 + 5 | ) .

295

_ „„

Рис. 5.38

EJG				у	На рис. 5.38 изображены
	/ 1/	/	1		границы областей, в которых
	А h/ъ			/4	ошибка в вычислении крити­
					ческого усилия по классичес­
	\у -—		------- Y--------		кой теории не превышает 5%
2 0 1 / / /					(5, = 0,05). Цифрами 1-4 обо­
					значены прямые, построенные
					при значениях EJEX= 0 ,0 5 ;
	100	200		300 Rfh	0,1; 0,2; 1.

Попытаемсяопределить по-

. . ,

грешность теории КирхгофаЛява по отношению ктеории типа Тимошенко при решении задачи ударного выпучивания ортотропной цилиндрической оболочки в случае воздействия скоростью, превышающей критическое значе­ ние. В области значений нагрузок, больших критической, имеется пакет волн, для которых со2т <0 и скорость роста т-й формы про­ гибов пропорциональна экспоненте, показателем которой является к = |шт |, что следует из (5.34). Возьмем скорость удара (сжимающее

усилие)

V = kK (N = kN.),

(5.41)

где к> 1 - коэффициент перегрузки, а V ,- критическая скорость удара, найденная по формуле (5.38). Наиболее естественным было бы найти ошибку теории оболочек Кирхгофа-Лява по отношению к теории типа Тимошенко в определении наибольшего показателя скорости роста прогибов (кп)тахпри одном и том же воздействии (5.41). Однако этот путь приводит к алгебраическому уравнению четвертой степени, аналитическое решение которого найти не уда­ лось. Поэтому сконструируем не столь очевидное сопоставление двух теорий, которое приводит к простому аналитическому выра­ жению, определяющему область применимости модели КирхгофаЛява.

Из выражения (5.36) для частоты, полученного в теории типа Тимошенко, можно найти форму, имеющую наибольший показа-

296

тель скорости роста (&Дпах и соответствующую емудлину полувол­ ны осесимметричного выпучивания Хтах. Подставив полученные (кт)max и Xmax в выражение (5.35), имеющее место в теории Кирх­ гофа-Лява, получим значение усилия ЛР(или скорости удара), кото­ рое вызывает такую же скорость роста прогибов и форму выпучи­ вания, что и усилие N из (5.41):

N' = kN. 1 + F	2kN*	(5.42)
F + J F '	Gh

Погрешность модели Кирхгофа-Лява по отношению кмодели типа Тимошенко в определении значения усилия, превышающего критическое и вызывающего одинаковые в обеих моделях форму выпучивания и скорость роста прогибов, являющуюся максималь­ ной в модели Тимошенко, такова:

д г'-д г X- 4 F

(5.43)

N ~ F + J F '

Разрешив (5.43) относительно F, введем функцию ошибки

W = F =

= {гд + (1 + Д )2 - Vt2Д + (1 + Д)2 ]2 - 4Д2}. (5.44)

Из (5.44) с учетом (5.38) и (5.42) получим зависимость, связы­ вающую отношения EJG и Rlh при заданных значениях к, EJEV А. На плоскости параметров Rlh, EJGпостроим области, вкоторых ошибка модели Кирхгофа-Лява по отношению кмодели Тимошен­ ко не превышает некоторого значения А,. Эта область описывается неравенством

E^h IE 2	1
G	< 1 - ^ р / / г(Д ,) + * - ! . (5.45)
	2A/3 ( 1 - V ,V 2)

297

На рис. 5.39 построены границы областей, в которых ошибка А не превышает 5% (А,=0,05). Прямые 1-4 соответствуют значе­ ниям Е2/Е1=0,05; 0,1; 0,2; 1 и построены при коэффициенте пере­ грузки к= 1,3. На рис. 5.40 изображены те же зависимости, обозна­ ченные цифрами 1 -4 для к= 1; 1,1; 1,3; 1,5 при EJEX=0,2. Цифра­ ми со штрихами обозначены прямые, соответствующие значению

Е2/Ех= \.

EJG

40

20

0	100 200 300 R/h	0	100 200 300 400 R/h
	Рис. 5.39		Рис. 5.40

Анализ результатов показывает, что для изотропной оболочки модель Кирхгофа-Лява применима для исследования процессов ударного выпучивания практически во всем диапазоне геометри­ ческих параметров тонких оболочек, теряющих устойчивость в упругой области. Область применимости модели Кирхгофа-Лява для ортотропных оболочек существенно зависит от параметров ортотропии. Она заметно расширяется с увеличением продольной жесткости оболочки, то есть с уменьшением EJE, (см. рис. 5.38, 5.39). Например, для оболочек из однонаправленного стеклоплас­ тика, имеющего механические характеристики [258] Ех=5,27* 104 МПа; ^ 2= 1,19104 МПа; v,=0,25; G=5,62*103 МПа, допустимую точность при определении критических усилий можно получить при R/h>50. С увеличением скорости удара рамки применимости теории Кирхгофа-Лява сужаются (рис. 5.40). Так, при коэффици­ енте перегрузки к - 1,3 расчеты по теории Кирхгофа-Лява возмож­ ны лишь при R/h>70.

Рассмотрим сопоставление прямого численного решения осе­ симметричных уравнений Кирхгофа-Лява по вышеописанной

298

методике и уравнений теории типа Тимошенко по методике [18]. Расчеты проводились для цилиндрических и конических оболочек из гипотетического композитного материала и имели следующие параметры:

R=0,108 м,	Ш =50 -200,	1=0,232 м,
£ 2= 1 0 4МПа,	v,=0,25,	G =0,5104MIIa, (5.46)
EJG = 20,	EJE}= 0,1,	p = 1,65.103 кг/м3.

Конические оболочки подвергались удару по меньшемуоснова­ нию и имели угол полураствора конуса 0 = 30°. Скорость удара задавалась равной 1,3 V,. Разностная сетка выбиралась с числом узлов от 55 до 115 в зависимости от толщины оболочки. Интегри­

рование уравнений проводилось по явной схеме “крест”.
На рис. 5.41,5.42 пред-		_ _ _ _ _	_	_ _	_ _	_	_
ставлены зависимости мак­		h				/
симальных прогибов Мз//г				у
во времени. Сплошными ли­
ниями изображены резуль­			2 \
таты расчетов по теории ти­
па Тимошенко, штриховы­		z	f
ми - по модели Кирхгофа-	0	1 2	3		4	5	т
Лява. Кривые рис. 5.41 отно­		Рис. 5.41
сятся кцилиндрической (кри­
вые 1) и конической (кривые		lh			Г	2
2) оболочкам с R/h= 50, а			1 ^
кривые рис. 5.42 - к обо­
лочкам с R/h= 100. На пер­			2 v
вой стадии выпучивания ци­				V	■
линдрической оболочки с
R/h= 100 результаты расче­		1 2
тов по обеим методикам пра­	0			3	4	5	т
ктически совпадают. Для ко-			Рис. 5.42

299

нической оболочки с R/h= 100 погрешность теории, построенной на гипотезах Кирхгофа-Лява, более заметна. Для оболочек с RJh= 50 различия в результатах значительно больше.

На рис. 5.43,5.44 изображены конфигурации образующей кони­ ческой оболочки с R/h=50 соответственно в моменты времени т= =2,2 и т=2,9. На рис. 5.45,5.46 - те же кривые для конической обо­ лочки с R/h= 100. Видно, что для более тонкой оболочки (R/h= = 100) ошибка модели Кирхгофа-Лява меньше, чем для более

толстой.

щ/h		«j/Л
		о 7 \
о		- 0,6 /
- 0,6 У		- 1,2
0,2	0,4	0,2	0,4	а,//.
Рис. 5.43		Рис. 5.44

Рис. 5.45

Рис. 5.46

Как по оценкам (5.40) и (5.45), так и по результатам прямого счета по обеим методикам можно сделать вывод, что при данном соотношении жесткостных характеристик оболочки модель Кирх­ гофа-Лява дает приемлемое решение задачи осесимметричного ударного выпучивания для оболочек с R/h>60.

В[194] показано, что для тонких стеклопластиковых оболочек

сEJG<20; R/h<0,015; EJE]>0,1 теория типа Тимошенко дает

300