книги / Сборник задач по курсу математического анализа

Глава V I I I

ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА § 1. Некоторые задачи геометрии и статики

Площадь фигуры

2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

уравнения которых у2 =2х + 1 и х - у - 1 = 0.

2456. Найти площадь фигуры, заключенной между парабо­ лой у = - х 2 + 4* - 3 и касательными к ней в точках (0, - 3) и

(3 ,0 ).

2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

у2 = 2рх и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под

углом 135°.

2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола­

ми у = х2 и у = 4х .

2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола­

ми у2 + &х = 16 и у2 —24* = 48.

2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола-

ми г/ = Г	2	г3
		и 1/ = у .
2461.		Окружность х2+ у2 = 8 разделена параболой У ~ \

на две части. Найти площади обеих частей.

2462. Найти площади фигур, на которые парабола у2 = 6* делит окружность х2 + у2 = 16 .

2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, большая ось ко­ торого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна 2Ь, Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями а и а - Ъ.

6 - 2 5 2 5

162 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2464. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гипербо­ лы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к дей­ ствительной оси.

2465. Окружность х2 + у2 = а2 разбивается гиперболой

х 2 - 2у 2 = ~ - на три части. Определить площади этих частей.

2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образо­

ванных	пересечением эллипса ~ + у2 = 1 и гиперболы
2467.	Вычислить площадь фигуры, заключенной между ли­
нией у =	1 , и параболой у =	.
	1 + д г	^
2468.	Вычислить площадь	фигуры, ограниченной линией

у = х(х —l)2 и осью абсцисс.

2469. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат и

линией х = у2(у - 1).

2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями

ут = хп и уп - х т , где т и п - целые положительные числа,

расположенной в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о пло­ щади всей фигуры в зависимости от характера четности чисел

т и п .

2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ог­

раниченной осью абсцисс и линией у = х - x2*Jx .

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвя­

ми линии (у - x f = хб		и прямой х; = 4.
2472.	Вычислить	площадь фигуры, ограниченной линией
( у - х - 2)2 = 9х и осями координат.
2473.	Найти площадь петли линии у2 = х (ж - 1)2.
2474.	Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли­

нией у 2 = | l- z 2J .

2475. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли­ нией у 2 = х 2 - х 4 .

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ	163

2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли­

нией х 4 - ах3 + а2у2 = 0.

2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной

линией х2у2 = 4 (я - 1) и прямой, проходящей через ее точки

перегиба.

2478. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = ех, у = е~х и прямой х = 1.

2479. Вычислить площадь криволинейной трапеции, огра­

ниченной линией у = (*2 + 2х)е~х и осью абсцисс.

2480. Вычислить площадь криволинейной трапеции, огра­

ниченной линией у = е~х\х2 +3jc + lj + е2, осью Ох и двумя

прямыми, параллельными оси Oyt проведенными через точки экстремума функции у.

2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной

линиями у = 2х2ех и у = -х 3ех.

2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с ос­

нованием [а, &], ограниченной линией у = In х.

б)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
у = In я,		осью ординат и прямыми у = In а и у = In 6.
2483.		Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = In х		и у = In2 х .
2484.		Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у =	и у —xln x .

2485. Вычислить площадь одного из криволинейных тре­ угольников, ограниченных осью абсцисс и линиями у = sin х и у = cos х.

2486. Вычислить площадь криволинейного треугольника,

ограниченного осью ординат и линиями у - tgx и у = J-cos*.

2487. Найти	площадь фигуры, ограниченной линией
у = sin8 х + cos8 х	и отрезком оси абсцисс, соединяющей две

последовательные точки пересечения линии с осью абсцисс. 2488. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абс­

цисс и линиями у = arcsin х и у = arccos х.

б«

164	ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2489. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой ли­
нией	(z/ - arcsin x f - х - х2 .

2490. Найти площадь фигуры, 'ограниченной одной аркой

циклоиды	х = a {t - sin *), у = a (l - cos t) и осью абсцисс.
2491.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой
x = acos3 f ,		y = asins *.
2492.	Найти площадь фигуры, ограниченной			кардиоидой
х = 2a cos f -		a cos 2 f, у = 2а sin t - a sin 21.
2493.	Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) эпициклои­
дой х = (i? + r)cosf - rcos-^^-ty			у = (R + r)sin f - r	;
2 ) гипоциклоидой
x = (R - r)cost + r cos^ ^ -f,			у = (R - r)sint -

причем R = nr (n - целое число). Здесь R - радиус неподвиж­ ной, а г - радиус подвижной окружностей; центр неподвижной окружности совпадает с началом координат, а t означает угол поворота радиуса, проведенного из центра неподвижной окруж­ ности в точку касания.

2494. Найти площадь петли линии:

l ) * = 3f2 , у = S t-13; 2) х = t2 - 1 , у = t3 - t .

2495. а) Вычислить площадь, описываемую полярным ра­ диусом спирали Архимеда р = а<р при одном его обороте, если

началу движения соответствует <р = 0.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и

третьим витками спирали и отрезком полярной оси.
2496.	'Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линией
р = a sin 2ф (двулепестковая роза).
2497.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линией
р = acos5(p.
2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Пас­
каля р = 2а (2 + cos ф).
2499.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линией
р = atgq>	(a > О) и прямой		Ф = j .

2500. Найти площадь общей части фигур, ограниченных линиями р = 3 + сов4ф и р = 2 - сов4ф.

________________ § 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ		165
2501.	Найти площадь части фигуры, ограниченной линией
р = 2 + cos 2ф, лежащей вне линии р = 2 + sin <р.
2502.	Найти площадь фигуры, ограниченной	линией

р2 = а2 cosmp (п - целое положительное число).

2503. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любы­ ми двумя полярными радиусами гиперболической спирали рср = а и ее дугой, пропорциональна разности этих радиусов.

2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любы­

ми полярными радиусами логарифмической спирали р = ает и

еедугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов. 2505*. Найти площадь фигуры, заключенной между внеш­

ней и внутренней частями линии р = a sin3 j .

2506. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

р = Vl - 12 , ф = arcsin* W l - * 2 .

В задачах 2507-2511 удобно перейти предварительно к по­ лярным координатам.

2507. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой

Бернулли |*х2 + i/2j = а2(х2 - у2J.

2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемни­ скатой Бернулли (см. задачу 2507), лежащей внутри окружно­

сти х 2+ у 2 =^~.

2509.		Найти	площадь фигуры,	ограниченной	линией
(*2 V	) S' - « V - s		V - o .
2510. Найти площадь фигуры, ограниченной					линией
(*2v	) 3 = 4а2ху (х2 - у2).
2511.		Вычислить площадь фигуры,		ограниченной	линией

х4 + у4 = х2 + у 2 .

2512. Вычислить площадь фигуры, заключенной между ли­

нией у - —Ц - и ее асимптотой. 1+х2

2513. Найти площадь фигуры, заключенной между линией

у г= хе 2 и ее асимптотой.

1 6 6	ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2514.	Найти площадь фигуры, содержащейся между цис-
„ 2	х3
соидои у	= 2а-х И ее асимптотои*

2515. Найти площадь фигуры, заключенной между линией

ху2 = 8 - 4х и ее асимптотой.

2516*. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

у = х 2е~х и ее асимптотой.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

у2 = хе' 2х.

2517. Найти площадь фигуры, заключенной между трактри­

сой х = a(cos£ - lntg-|),	у = asin f и осью абсцисс.
2518. Для линии р =	соз2(0	„
	—^	наити площадь петли и площадь
фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.

Длина линии*)

2519.	Вычислить длину дуги цепной линии у = a ch j				(от
хх = 0 до	х2 = Ъ).
2520. Найти длину дуги параболы		у2 = 2рх	от вершины до
ее точки	М (г, у). (Взять у в качестве независимой переменной.)
2521.	Найти длину дуги линии	у = In х	(от хг = V3		до
х 2 = л1Е).
2522.	Найти длину дуги линии у = In ( l - х2) (от х1 = 0				до
2523.	Найти длину дуги линии		*от	Хг = а	до
		У = 1п1^л

*2 =Ъ).

*) В задачах на вычисление длин дуг там, где это необходимо, в скобках указывается интервал изменения независимой переменной, соответствующий спрямляемой дуге.

	§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ					167
2524.	Вычислить	длину дуги	полукубической			параболы
у2 =	, заключенной внутри параболы у2 =
2525.	Вычислить	длину дуги	полукубической			параболы
5у3 = х2, заключенной внутри окружности х2 + у2 = 6.
2526. Вычислить длину петли линии 9ау2 = х (х - 3af.
2527. Найти периметр одного из криволинейных треуголь­
ников, ограниченных		осью абсцисс	и линиями		у = In cos х и
у = In sin х .
2528.	Найти длину дуги линии у =			,	заключенной

между ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экс­ тремальной кривизной).

2529.	Найти длину линии	у = J x - x 2 + arcsin л[х .
2530.	Найти длину линии	(у - arcsin*)2 = 1- х2.
2531.	На циклоиде * = a (t - sin t), у = a (l - cos t) найти

точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отно­ шении 1 :3 .

	2532.	Дана астроида х = R cos31,	у = R sin31 и точки на
ней	А (Д , О), В(0, Д). Найти на дуге		АВ такую точку М, что-
		w		и
бы длина дуги AM составляла четверть длины дуги А В .
		д ,	. i
	2533*. Найти длину линии (f’)3 + [ ! Т			=
	2534. Найти длину линии х = a cos51,			у = a sin5 t .
2535.		Найти длину дуги трактрисы		* = a (cos* + lntg|-),
у = a sin t		от ее точки (О, а) до ее точки (х, у).
2536. Найти длину дуги эвольвенты окружности
		* = i?(cos* + *sin*), у = R(sint -tcost)
(от	= 0	до t2 = п ).
2537. Вычислить длину дуги линии

168 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2538. Найти длину петли линии х = t2 , у = t - /3

2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинако­ вой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружно­ сти с радиусами, равными Ъ. В момент f = О они касаются своими точками М 1 и М 2 точки М неподвижной окружности. Показать, что отношение путей, проходимых точками М i и М2

за произвольный промежуток времени f, постоянно и равно

(см. задачу 2493).

2540. Доказать, что длина дуги линии

	х = f"(t) cos t + /'(f) sin f , у = -/'(f)sin t + f'(t)cos f,
соответствующей интервалу (fx, f2),						равна [/(f) + f"(t)] 2 .
							*i
2541. Применить результат предыдущей задачи к вычисле­
нию	длины		дуги	линии	х = el(cos f + sin f), у -		e*(cos f - sin f)
(от f!	= 0	до	f2 = f ).
2542. Доказать, что дуги линий
		=f'(t)s		X =	J/=(p(t)+f({) и		t' (, t t,) s i n
	x			i n (	у-	=f'(f)c oct s+o( sp

соответствующие одному и тому же интервалу изменения пара­ метра f, имеют равные длины.

2543. Найти длину дуги архимедовой спирали					р = аср от на­
чала до конца первого завитка.
2544.	Доказать,	что дуга	параболы	у = - ^ х 2,		соответ-
				Zp
ствующая интервалу		0 < х < а ,	имеет ту же длину, что и дуга
спирали р = рср, соответствующая интервалу 0 < р < а.
2545.	Вычислить	длину дуги гиперболической				спирали
РФ = 1 (от	= | до	ф2 = | ).
2546. Найти длину кардиоиды р = a (l + совф).
2547. Найти длину .линии р = asin3|- (см. задачу 2505).
2548. Доказать, что длина линии р -				a sinm	(т	- целое

число) соизмерима с а при т четном и соизмерима с длиной окружности радиуса а при т нечетном.

170 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2557. Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота А, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения; которое при. этом получается («лимон»

Кавальери).
2558. Фигура, ограниченная гиперболой			х2 - у2 = а2 и пря­
мой x = a + h {h > О), вращается вокруг			оси абсцисс. Найти
объем тела вращения.
2559.	Криволинейная	трапеция, огрдниченная линией
у = хех	и прямыми х = 1	и у = 0, вращается вокруг оси абс­

цисс. Найти объем тела, которое при этом получается.

2560. Цепная линия у = ch х вращается вокруг оси абсцисс.

При этом получается поверхность, называемая к атен ои дом . Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоско­ стями, отстоящими от начала на а и Ь единиц и перпендику­ лярными к оси абсцисс.

2561. Фигура, ограниченная дугами парабол у = х 2 и у2 =

= Ху вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, ко­ торое при этом получается.

2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и ограниченной лини­

ей (х - 4)у2 = х (х - 3).

2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволи­ нейной трапеции, ограниченной линией у = arcsin х , с основа­

нием [0, l] вокруг оси Ох.

2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фи­ гуры, ограниченной параболой у = 2х - х 2 и осью абсцисс, во­

круг оси ординат.

2565. Вычислить объем тела, которое получится от враще­ ния вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды у = sin х , соответствующей полупериоду.

2566. Лемниската + y 2J = а2^х 2 вращается вокруг

оси абсцисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая при этом получается.

2567. Вычислить объем тела, образованного вращением во­ круг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией:

1) х 4 + у4 = а2х 2; 2) х4 + у4 = х 3 .