книги / Сборник задач по курсу математического анализа

§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	271
3728. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым
конусом (радиус основания R, высота Я, плотность у).	Вычис­

лить силу, с которой тело притягивает точку массы ту поме­ щенную в вершине конуса.

3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса R, плот­ ность которого у связана с расстоянием от центра г соотноше­

нием у = а - Ьг (а > О, Ь> 0).

а) Найти константы а и 6, если известно, что средняя плот­ ность шара равна ус , а плотность на поверхности шара равна Yo •

б) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы т, расположенной на поверхности шара.

Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница

циссой х = 1.	я
3732. Используя равенство I	= £ln (1+ а&)> получить
О

путем дифференцирования по параметру следующую формулу:

Ь

ь

3733.	Исходя из	равенства
	ь	о
3734.	Исходя	из равенства J -	вычислить
		а2+х2	2а’

о

(п - целое положительное число).

2 7 2 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3735. Вычислить значение интеграла J e~axx n~ldx (п - це-

о

лое положительное

число)

при

а > 0,

найдя

предварительно

-н»

Je~axdx.

о

3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318)

п/2

п/2

Г_______ dx_________

п

найти

Г_______ —_______

J a2 cos2 х+Ь2sin2 *

21аЪI ’

J (а2 cos2 х+Ь2sin2 х)2'

В задачах 3737-3749 вычислить интегралы с помощью диф­

ференцирования по параметру:

3737.

f 1_e”“

dx

(а >

l).

3738

■ \ x- ‘ 7 dx

(a > - l )

J хе

'

7

0

0

xe

3739.

\^M M dx.

3740.

f ) A z M

dx

(a2 < l).

0

J

x 4 l-x 2

'

0

l

ln(l-fl2x2)d

(•■о)-

3741.

3742.

|

J x(l+x2)

Л 3 7

dx

0

v

'

0

3743.

f ln(l+ac°sl)^

(о2 < l).

J

COSX

\

/

о

я/2

3744.

J

u-asinx'sinx

(a2 < l) .

\

)

О

3745.

J^ 2 —

(а > 0)>

зная,

что

Jе“ах dx =

о

о

(а > О) (см. задачу 2439).

+“

2

-f *

2

(а > 0, ft > О).

3746*. j e—

dx

О

3747*.

+оо

sinte-Binci d x

(а >0).

J е

' "

О

§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

273

+00

3748.	J е ~ ах ™ sb x -c p s c x d x				( а	> о ) .
	о
	я/2					v
3749*.		JIn (a2cos2 х + Ь2sin2 x)dx.
		о			я/г			"/2
3750. Вычислив интеграл					J aTct&*Je-x- dx, найти J -^ d x .
					о	1		о
3751.	Используя			равенство		J* xndx =		вычислить инте-
						о
грал
о
3752.	Используя			равенство		7		/—
						2а I е”	dx = ып (см. задачу
2439), вычислить интеграл 7					"*2 - е **		dx.
3753.	Из		соотношения		j еГг*dz = -у- (интеграл Пуассона)
				о
вывести равенство				f с	2	(JC > 0) и использовать его
			ых л/я J
				о
для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля):
+са			+«. ,
v С cosxdx.				f sinxdx
а) J-ЗГ^			б) J - J T '
				Разные задачи
3754.		Пусть		функция	f (л:) непрерывна при х > 0 и при
х -> +оо / (д:) стремится к конечному пределу								/ (+ «>). Доказать
при этих условиях, что если а > 0 и Ь> 0,							то	j*^ ax^ ^ b—dx -
								о

= I /(+ ~ ) - /(0 )] ln f .

2 7 4 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В задачах 3755-3756 вычислить интегралы, пользуясь ре­ зультатом задачи 3754:

3755.	dx	3756.		dx	(п> 0).
3757*.	о	f (*)	о	при	х > 0 и
	Пусть функция		непрерывна
+оо
А	сходится при любом	А > 0. Доказать при этих усло-
виях, что если а > 0 и Ь> 0 ,		то	J f(ax)~l&)	_ f (o)ln-^-. (Ср.

о

сзадачей 3754.)

Взадачах 3758-3762 вычислить интегралы, пользуясь ре­

зультатом задачи 3757 (а > О, Ъ> 0):

3758.			-dx.	3759.
		+оо			-г—
3760.		|.sina^inbx dx		3761> j bsinax-asinbx dx
		О			О
		+оо
3762*.
3763*.		О			Ф (я)	определяется		так:
		Функция Лапласа
Ф (х) = -2=^е~г dt			(эта функция играет большую роль в теории
		о
вероятностей). Доказать соотношения:
1)	(az)dz -		-g-°J--1- + хФ (ах);		2)	J[l-	Ф (x)[dx =
	о			и ci(x)		о
3764*. Функции si(*)					обычно определяются			так:
	-н»						+°°
s i(х)= - ^ ^ - d t			(«интегральный		синус»)	и	ciW = -
	X						X
(«интегральный косинус»). Доказать, что
		+0в		-н»

Jsin х si (x)dx = Jcos x ci (x)dx = - -J.

§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	275

3765*. Функция J0(x), определяемая равенством

я/2

J0(x) = ~ Jcos(хsin 0)d0,

о

называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что:

	+Ов
1)	Г e"eV 0(x)dac = -р Ц -			(а >6);
	iО	V I +az		4	'
	+~	(п/2.			если а > 1;
2)			я/2,
	j ^ - J 0{x)dX:		arcsin а,		если |а |< 1;
			-71/2,		есл и а < -1 .
3766. Доказать,		что	функция у = I - —-dz				удовлетворяет
					J 1 + Z 2
					0
дифференциальному уравнению у" + у = —•
					1
3767*. Доказать, что функция					у = J (z2 - 1)		eX2dz удовле-
					-1
творяет дифференциальному уравнению ху" + 2пу' - ху = 0.
3768*. Доказать,		что функция у = | ,				g	dz удовлетво-
					Jo (1+г )
ряет дифференциальному уравнению ху" - 2пу' + ху = 1.
3769*. Доказать, что функция Бесселя нулевого порядка
	я/2
е/0(л:) = ^- j*cos(xsin 0)d0			удовлетворяет			дифференциальному
	о
	j*
уравнению J%[x) +		+ </0(*) = 0.

Глава XIII

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ИИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ

§1. Криволинейные интегралы по длине ■

Вычисление интегралов

В задачах 3770-3775 вычислить криволинейные интегралы:

3770. J -&jj, где L - отрезок прямой у = ^ х - 2, заключен-

L

ный между точками А (0, - 2) и В (4, 0).

3771.	J xydSy	где L -		контур прямоугольника с вершинами
	L
А (0 ,0 ),	В (4, 0),	С(4, 2)		и D (0, 2).
3772.	J y d s,	где L -		дуга	параболы у2 = 2 рх,		отсеченная
	ь
параболой х2 =2ру.
3773.	J (* 2 + y2)		ds,	где	L -	окружность	je = a co sf,
	ь
у = a sin t .
3774.		где L -		четверть эллипса			= 1, лежа-
	ь					а
щая в первом квадранте.
3775.	J4%У ds,		где	I	-	первая арка	циклоиды

х = ci(f —sin f), у = a ( l - cos*).

§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПОДЛИНЕ	277

3776.	Вывести	формулу		для	вычисления			интеграла
J F(x, y)ds	в полярных		координатах, если				линия	L задана
L
уравнением	р = р (ср)	(срх < ср < ф2).
3777*.	Вычислить		J (* -y )d s ,		где	L	- окружность
			L
х2 + у2 = ах.		Jx	y j x-2y2ds,
3778. Вычислить					где L -		линия,	заданная
		L
уравнением (х2 + у2)2 =а2(х2 - у2)				(х > 0) (половина лемнискаты).
3779. Вычислить		J* arctg^ds,		где L -		часть спирали Архи-

L

меда р = 2<р, заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).

3780.	Вычислить интеграл		j* \ dsj	t	где L -	первый виток
			L
винтовой линии х = a cos t , у ~ asin t ,				z - at.
3781.	Вычислить	fxyzds,	где L	-	четверть окружности
		L
х2 + у2 +	z2 = R2, x2 +	у2 =	лежащая в первом октанте.
3782. Вычислить j^2z - <Jxz + у2jd s,					где L -	первый виток
конической винтовой линии х = t cos t,				у = / sin t,		z = t .
3783.	Вычислить J*(z + y)ds, где L -				четверть окружности
	L

x2 + у2 + z2 = JR2 , у = x , лежащая в первом октанте.

Применения интегралов

3784. Найти массу участка линии у = In х между точками с

абсциссами Х\ и #2* если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

278 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3785. Найти массу участка цепной линии у = a ch & между точками с абсциссами хг = 0 и х2 = а, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,

причем плотность в точке (0, а) равна 8.

3786. Найти массу четверти эллипса х = a cos t , у = Ъsin t ,

расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой

точке равна ординате этой точки.
3787.	Найти	массу		первого	витка	винтовой		линии
х = a cos t ,	у = asin t ,		z -	bt, плотность		которой	в	каждой
точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.
3788. Найти		массу	дуги линии		х = е* cos t ,		у = е%sin t ,
z = е* от точки, соответствующей t = 0, до						произвольной точ­

ки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату

полярного радиуса и в точке ( l , 0, l)			равна единице.
3789. Найти	координаты	центра	масс первого полувитка
винтовой линии	х = a cos t ,	у = a sin t , z = Ы, считая плот­

ность постоянной.

3790. Вычислить статический момент первого витка кониче­ ской винтовой линии a: = £cosf, y = fsin f, z = t относительно плоскости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату

расстояния от этой плоскости: р = kz2 .

3791. Вычислить моменты инерции первого витка винтовой линии х = a cost, у = a sin*, z = -~ t относительно координат­

ных осей.

В задачах 3792-3797 вычислить площади частей цилиндри­ ческих поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и указанными поверхностями:

3792.	х2 + у г = Л2,	z = Д + ^ .
3793.	'у2 = 2рх, г = ^ 2 р х -4 х г .
3794.	у 2 = ! ( * - 1 ) 3 ;	г = 2 --У * .
3795.	х г + у г = R2,	2Rz = ху.

	§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ		279
3796.	~ + =	z -'k x и 2 = 0 (z > 0) («цилиндрическая
подкова»).
3797.	у = ^2рх ,	г = у и д: = -|р.
3798.	Вычислить	площадь поверхности, которую	вырезает

из круглого цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решени­ ем задачи 3642).

3799. Найти площадь части поверхности цилиндра

х2 + у2 = Rx, заключенной внутри сферы х2 + у2 + z 2 = R2 .

Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на маг­

нитную массу т с силой, равной по величине BIail^ad3} где / _

ток, ds - элемент длины проводника, г - расстояние от элемен­ та тока до магнитной массы, а - угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и на­ правлением самого элемента тока. Эта сила направлена по нор­ мали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавливается правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800-3805.

3800. Найти силу, с которой ток I в бесконечном прямоли­ нейном проводнике действует на точечную магнитную массу т , находящуюся на расстоянии а от проводника.

3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток I. С какой силой этот ток действует на точечную маг­ нитную массу т, находящуюся в центре квадрата?

3802. Показать, что ток I, текущий по дуге линии, уравне­ ние которой в полярных координатах имеет вид р = р (ф), дей­

ствует на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе,

с силой f = ml

<Pi

3803. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллип­ тическому контуру, действует на точечную магнитную массу т , находящуюся в фокусе эллипса?

2 8 0	ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному пара­ болическому контуру, действует на точечную магнитную массу /я, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до

фокуса равно ^ .

3805. С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, поме­ щенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии h от плоскости круга? При каком значении R эта сила будет наибольшей при заданном Л?

§ 2. Криволинейные интегралы по координатам

Вычисление интегралов

В задачах 3806-3821 вычислить криволинейные интегралы:

3806.	Jх dy,	где L - контур	треугольника, образованного
	L
осями координат		и прямой ^ + j	=. 1,	в	положительном на­
правлении (т. е. против движения часовой стрелки).
3807.	\xdy,	где L - отрезок прямой		— + -7- = 1 от точки пе-
	J			а	о

L

ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.

3808.	J (* 2 - y2^dx,	где L -	дуга параболы у = х 2 от точки
	L
(о, о) до точки (2 , 4).
3809.	J(х2 + y2)dy,	где L	- контур четырехугольника
	ь

с вершинами (указанными в порядке обхода) в точках А (0, 0),

5 (2 ,0 ),	С (4 ,4 )	и	5 (0 ,4 ) .
	(я, 2я)
3810.	J -x co sy d x + ysinxdy вдоль отрезка, соединяю*
	(0.0)
щего точки (0, 0)		и	(я, 2я).