книги / Сборник задач по курсу математического анализа

	§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ		261
3601.	Области, ограниченной параболами	у = J x , у - 2^Jx
и прямой х = 4.
3602*. Области, ограниченной линией |х2+ z/2J		= 2ах3 .
3603.	Области, ограниченной линией j’х2 + у2|	= х4 +у4 .
3604.	Области, ограниченной линией [х2+ у2)2 = 2аг(х2 - у 2)
(лемниската Бернулли).
3605.	Области, ограниченной линией х3+ у3 = 2ху,		лежа­
щей в первом квадранте (петля).
3606. Области, ограниченной линией (х + у)3 = ху, лежащей
в первом квадранте (петля).
3607.	Области, ограниченной линией (х +у)5 = х2у2,		лежа­
щей в первом квадранте (петля).
3608*. Области, ограниченной линией

Объем тела. II

В задачах 3609-3625 вычислить тройным интегрированием объемы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач параметры считаются положительными):

3609. Цилиндрами г	= 4	1 со	Z = у2+ 2 и плоскостями
х = -1 и х = 2.
3610. Параболоидами	z = х2 +у2 и z = х2 + 2у2 и плоско-
стями у = х, у = 2х и х	= 1.
3611. Параболоидами	Z = X2 +у2		и	z —2х2 + 2у2, цилин-
дром у = х2 и плоскостью У = X.			z = In (6 - х) и плоскостя-
3612. Цилиндрами z = 1п(:t + 2) и
ми х = 0, х + у = 2 и х - У = 2.
3613*. Параболоидом	(* -■1Т + у2 = г			и плоскостью 2х +
+ 2 = 2 .

3614*. Параболоидом z = х2 + у2 и плоскостью г = х + у .

262	ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
	3615*. Сферой х2 + у2 + г2 = 4 и параболоидом х 2 + у2 = Зг.
	3616.	Сферой	х 2 + у2 + z2 = R2 и параболоидом х2 + у2 =
= R (R -2z) (Z > О).
	3617.	Параболоидом г = х2 + у2 и конусом		г2 = лгу.
	3618.	Сферой	х 2 + у2 + z2 = 4Дг - ЗД2	и конусом г2 =

= 4:(х2 +у2) (имеется в виду часть шара, лежащая внутри конуса).

3619*. |'х 2 + у2 + 22J		= а3* .	3620.	p	+ J/2 + z 2)	2
						= axyz.
3621.	|дс2 + у 2 + 2 2|	= а 2г4 .	3622.	(х2 + у 2 + г 2)		3 _	a V
							*2V
3623.	(jr2 + y2 + 22)3 = a 2(^2 + y2)2 .
3624.	(*2 + у 2)2 + 24 = а3г.
3625.	х2 + у2 + z2 = 1, х2 + y2 + z2 = 16,				z2 = x 2 + y 2,		* = 0,
у = 0, 2 = 0 (* > 0, у > 0, 2 > 0)
	Площадь поверхности
3626.	Вычислить площадь той части плоскости					6х + 3у +
+22 = 12,	которая заключена в первом октанте.
3627. Вычислить площадь той части поверхности						22 = 2х у ,

которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости

2 = 0 и ограниченным прямыми х = 0,		у = 0, л = 3,	у - 6.
3628. Найти площадь части конуса		z2 = х 2 + у2,	лежащую
над плоскостью Ojcy и отсеченную плоскостью г = V2^|- + lJ.
В задачах 3629-3639 найти площади указанных частей дан­
ных поверхностей: .
3629.	Части г2 = х 2 + у2, вырезанной цилиндром 22 = 2 р у .
3630.	Части у2 + 22 = х2, лежащей внутри		цилиндра

x 2 + y 2 = R 2 .

3631. Части у2 + z2 = х2у вырезанной цилиндром х2 - у2 = = а2 и плоскостями у = 6 и у = -Ь.

	§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ					263
3632.	Части г2 = 4 х,		вырезанной цилиндром у2 = 4х и
плоскостью х - 1.
3633.	Части г = ху, вырезанной цилиндром х2+ у2 = R2.
3634.	Части	2z = х2 + у2 ,		вырезанной		цилиндром
х2 + у2 = 1.
3635.	Части	х2 + у2 +z2 = а2,		вырезанной		цилиндром
х2 + у2 = R2 ■(Д < а).
3636.	Части	х2 + у2 +z2 = R2,		вырезанной		цилиндром
х 2 + у2 = R x.
3637.	Части	х 2 + у2 + z2 = R2,		вырезанной	поверхностью
(*2 +г,2)2 = л 2(*2 - г ,2).
3638.	Части	z = ■* ■,	вырезанной		поверхностями

дГ +|Г

х2 + у2 = 1, х2 + у2 = 4 и лежащей в первом октанте.

3639. Части (х cos а + у sin а)2 + г2 = а2 , лежащей в первом октанте |а < y j .

3640*. Вычислить площадь части земной поверхности (считая ее сферической при радиусе R ~ 6400 км), заключенной между меридианами <р = 30°, <р = 60° и параллелями 0 = 45° и 0 = 60°.

3641. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного сферой х 2 + у2 + г2 = За2 и параболоидом х2+ у2 = 2аг (г > 0).

3642. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса R пересека­ ются под прямым углом. Найти площадь части поверхности одного из цилиндров, лежащей в другом.

Моменты и центр масс

В задачах 3643-3646 найти двойным интегрированием стати­ ческие моменты однородных плоских фигур (плотность у = 1):

3643. Прямоугольника со сторонами а и b относительно сто­ роны а.

3644. Полукруга радиуса R относительно диаметра.

3645. Круга радиуса R относительно касательной.

2 6 4 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3646. Правильного шестиугольника со стороной а относи­ тельно стороны.

3647. Доказать» что статический момент треугольника с ос­ нованием а относительно этого основания зависит только от высоты треугольника.

В задачах 3648-3652 найти двойным интегрированием цен­

тры масс однородных плоских фигур:
3648.		Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса,
опирающейся на большую ось.
3649.		Фигуры, ограниченной синусоидой у = sin дс, осью Ох
и прямой х = -J.
3650.		Кругового сектора,	соответствующего	центральному
углу а	(радиус круга R).
3651.		Кругового сегмента,	соответствующего	центральному
углу а	(радиус круга R).
3652. Фигуры, ограниченной замкнутой линией у 2 - х 2 - х 4
(х >	0	) .
В задачах 3653-3659 найти моменты инерции однородных
плоских фигур (плотность у = 1):
3653.		Круга радиуса R относительно касательной.
3654.		Квадрата со стороной а относительно вершины.
3655.		Эллипса с полуосями а и b относительно центра.
3656.		Прямоугольника со сторонами а и b относительно точ­

ки пересечения диагоналей.

3657. Равнобедренного треугольника с основанием а и высо­ той h относительно вершины.

3658. Круга радиуса R относительно точки, лежащей на ок­ ружности.

3659. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси, относительно вершины параболы (длина хорды а, «стрелка» Ь).

3660. Доказать, что момент инерции кругового кольца отно­ сительно центра в два раза больше момента инерции относи­ тельно любой оси, проходящей через центр кольца и лежащей в его плоскости.

3661. Доказать, что сумма моментов инерции плоской фигу­ ры F относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, лежащих в одной плоскости с этой фигурой и проходящих через неподвижную точку О, есть величина постоянная.

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	265

3662*. Доказать, что момент инерции плоской фигуры относи­

тельно какой-нибудь оси равен Md2 + 1С, где М - масса, распре­

деленная на фигуре, d —расстояние от оси до центра масс фигуры, а 1е —момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс фигуры (теорема Штейнера).

В задачах 3663—3665 найти статические моменты однород­ ных тел (плотность у = 1):

3663. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b и с относительно его граней.

3664. Прямого круглого конуса (радиус основания R, высота Н) относительно плоскости, проходящей через вершину парал­ лельно основанию.

3665. Тела, ограниченного эллипсоидом ^ и

плоскостью Оху, относительно этой плоскости.

В задачах 3666-3672 найти центры масс однородных тел,

ограниченных данными поверхностями:
3666.	Плоскостями х = 0,		у = 0,	2 = 0, х = 2, у = 4 и
х + у + г = 8 (усеченный параллелепипед).
3667.	2	у2	2	и координатными плос-
	Эллипсоидом	+	+ - г = 1
	а2	Ь2	с2

костями (имеется в виду тело, расположенное в первом октанте).

3668. Цилиндром	2 -		и2	и	плоскостями		х - 0 > У= 0,
			2
г = 0 и 2* + 3 y -1 2 = 0.
3669. Цилиндрами у = *Jx ,				у = 2л[х и плоскостями г = 0 и
х + г = 6.
3670. Параболоидом		г = * ££			и сферой	х2 + у2 + г2 = За2
(г 2 о).	+	у	2	+	иг конусом2 =	Лг	2t g -Jx2а +=у2
3671. Сферой ж 2
(шаровой сектор).
3672. j'х2 + у2 + г2j	= а3г .

В задачах 3673-3674 найти центры масс однородных по­ верхностей:

3673. Части сферы, заключенной в первом октанте.

2 6 6 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3674. Части параболоида х2 + у2 = 2 г, отсеченной плоско­

стью z = l.

В задачах 3675-3680 найти моменты инерции однородных тел с массой, равной М.

3675. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами fl, b и с относительно каждого из ребер и относительно центра масс.

3676. Шара радиуса Я относительно касательной прямой.

3677. Эллипсоида = 1 относительно каждой из

трех его осей.

3678. Прямого круглого цилиндра (радиус основания R, вы­ сота Н) относительно диаметра основания и относительно диа­ метра его среднего сечения.

3679. Полого шара внешнего радиуса R, внутреннего г отно­ сительно диаметра.

3680. Параболоида вращения (радиус основания Я, высота Я ) относительно оси, проходящей через его центр масс перпен­ дикулярно к оси вращения (экваториальный момент).

В задачах 3681-3683 вычислить моменты инерции указанных частей однородных поверхностей (масса каждой части равна М):

3681. Боковой поверхности цилиндра (радиус основания Я, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной к сои цилиндра.

3682. Части параболоида х2 + у2 = 2сг , отсеченной плоско­ стью г = с , относительно оси Ог.

3683. Боковой поверхности усеченного конуса (радиусы ос­ нований Я и г, высота Н) относительно его оси.

Разные задачи

3684. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадра­ та равна единице.

3685. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны Я и г (Я > г). Зная, что

плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окруж­ ности внутреннего круга равна единице.

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	267

3686. На фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, распределена масса так, что плотность ее пропорциональна рас­ стоянию от большой оси, причем на единице расстояния от этой оси она равна у. Найти всю массу.

3687. Тело, ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями, радиусы которых равны R и г (R >r). Зная,

что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна у, найти всю массу тела.

3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круг­ лым цилиндром радиуса R и высоты Я, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

3689*. Вычислить массу тела, ограниченного круглым кону­ сом, высота которого равна А, а угол между осью и образующей равен а, если плотность пропорциональна п-й степени расстоя­ ния от плоскости, проведенной через вершину конуса парал­ лельно основанию, причем на единице расстояния она равна у

(ге>0).

3690. Найти массу шара радиуса R, если плотность пропор­ циональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна у.

3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом

х 2 + у2 = 2аг и сферой х2 + у2 +г2 = 3а2 [г > 0), если плот­

ность в каждой точке равна сумме квадратов координат.

3692*. Плотность шара х2 + у2 + г2 < 2Rz в любой его точке

численно равна квадрату расстояния этой точки от начала ко­ ординат. Найти координаты центра масс шара.

3693*. Найти статический момент общей части шаров

х 2 + у2 + z2 < R2 и х2 +у2 + z2 < 2Rz относительно плоскости

Оху. Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой точки от плоскости хОу.

3694*. Доказать, что момент инерции тела относительно ка­ кой-либо оси равен Md2 + / с, где М - масса тела, d - расстоя­

ние от оси до центра масс тела, а 1С - момент инерции относи­

тельно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела (теорема Штейнера; ср. с задачей 3662).

2 6 8 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Основываясь на законе всемирного тяготения Ньютона (см. указание перед задачей 2670), решить задачи 3695-3698.

3695. Дан однородный шар радиуса R с плотностью у. Вы­ числить силу, с которой он притягивает материальную точку массы т, находящуюся на расстоянии а (а > R) от его центра.

Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.

3696*. Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров были сосредоточены в их центрах.

3697. Дан неоднородный сплошной шар х 2 + у2 + z2 < R2 с

плотностью, меняющейся по закону у = Xz2. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку с массой т, если она находится на оси г и на расстоянии 2R от центра шара.

3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концен­ трическими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила при­ тяжения этим слоем точки, находящейся во внутренней полос­ ти тела, равна нулю.

Центром давления называется точка приложения равнодей­ ствующей всех «сил давления на данную плоскую фигуру (все силы давления перпендикулярны к плоскости фигуры). При определении координат центра давления исходят из того, что статический момент результирующей силы (т. е. давления на всю площадку) относительно любой оси равен сумме статиче­ ских моментов отдельных сил относительно той же оси. Опира­ ясь на это, решить задачи 3699-3701.

3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а и Ъ (a >b), у которого большая сторона расположена вдоль сво­

бодной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника перпендикулярна к этой поверхности. Показать, что положение центра давления относительно прямоугольника не изменится, если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности жидкости под углом а (а ф 0). Как изменятся предыдущие

результаты, если большая сторона а расположена не на поверх­ ности жидкости, а на глубине h (оставаясь параллельной по­ верхности)?

3700. Треугольник с высотой h расположен в плоскости, на­ клоненной под углом а к свободной поверхности жидкости. На какой глубине лежит центр давления этого треугольника, если:

§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

269

а) Основание треугольника лежит на поверхности жидкости? б) Вершина лежит на поверхности, а основание параллель­

но ей?

3701. Найти центр давления фигуры, ограниченной эллип­ сом с полуосями а и Ъ (а> b), при условии, что большая из

осей перпендикулярна к поверхности жидкости и верхний ко­ нец этой оси находится на расстоянии h от поверхности.

3702*. Доказать, что давление жидкости на плоскую пло­ щадку, произвольным образом погруженную в жидкость, равно весу цилиндрического столба этой жидкости, находящегося над площадкой, при условии, что она лежит горизонтально на глу­ бине своего центра масс.

§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра

Несобственные двойные и тройные интегралы

В задачах 3703-3711 вычислить

или установить их расходимость: +«+вв

3703. dxdy

• Я 1+ х * + у *

+»+«

dxdy

3705.■ и Г о

несобственные интегралы

3704.	\	dxdy
		h
3706.	J j e	~ \ x ^	y \ d x d y .

3707.	J J {х + y)e~(x+v^dxdy.		3708.	1 1 xye	dxdy.
	о о			о 0
3709*.	+р 4? - ( * 2 +2дсусова+у2 1
	I I е V	Jdxdy.
3710*.	JdxJe~y2dy.		3711*. jd xjxe~ y ^ d y .
	O x		0	2x

В задачах 3712-3715 выяснить, какие из несобственных ин­ тегралов, взятых по кругу радиуса R с центром в начале коор­ динат, являются сходящимися:

3712. JJIn j x +2y2dx dy.

3713.

\- dxdy.

D

D X +y

2 7 0 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3 7 1 4 ' 3715-

3716. Можно ли так выбрать число т, чтобы несобственный

интеграл ff .? -dy ■, распространенный на всю плоскость, был J J # w T

сходящимся?

В задачах 3717-3719 вычислить несобственные интегралы:

+«0+00+00	+оо |оо |оо
3717. J J J dxdydz	3718. J J J xy dxdy dz
ООО ^(l+x+y+zf	0 0 0 (l+xz+yz+z2J

3719. J J JV*2y2~*2dxdydz.

В задачах 3720-3722 выяснить, сходятся ли несобственные интегралы, взятые по шару £2 радиуса R с центром в начале координат:

3720. JJJ	dxdydz
QiJ f a n ,2+ггУIn
3721. JJ/InJ:	j —dx dy dz.	3722. fff	dxdydz.
a		h
3723. Вычислить	интеграл	+ у г + z2)dxdydz, где

a

область Q - шар радиуса R с центром в начале координат. 3724*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью

2 = (х2 +							и ПЛОСКОСТЬЮ 2 - 0 .
	3725. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
2	= х	2	у	2		-[*2+У2)
				е		4	' и ПЛОСКОСТЬЮ 2 = 0 .
	3726.					Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью
2	= 0				и частью поверхности z - x e			лежащей над этой

плоскостью.

3727. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым цилиндром (радиус основания i?, высота if, плотность у). Най-

,ти силу, действующую на точку с массой т, находящуюся в центре основания цилиндра.