книги / Сборник задач по курсу математического анализа

§ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

251

3495.

у - 2 х <

О, 2 у - х > 0,

ху <2.

3496.

у2 ^ 8л:,

у< 2х,

у + 4 х -2 4 < 0 .

3497. D ограничена гиперболой у2 - х2 = 1

и окружностью

х2 + у2 = 9

(имеется в виду область, содержащая начало коор­

динат).

В задачах 3498-3503 изменить порядок интегрирования:

J

1

d

Vl-X2

3498.

dy^f(x, y)dx.

3499.

J

*jf(x ,y )d y .

V0

Уv

-1

0

г

л]2гх-х2

_

4 -7 ^ 7

3500.

3501.

2

'

г

}f(x ,y )d y .

J

d

*

jf(x ,y )d y .

J

dx

7

-1

X

-2

-

2 V 4-

‘

1

JA-.2

3502. J

d

*

J

Vy)dy(. z

,

3503. J2

d

6-*x

J /

( : r , y ) d p

1

X

0

2*

3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное

выражение в виде одного двукратного интеграла:

1

х

2

2-х

1)

jd x jf( x ,y )d y + jd x

J f(x, y)dy;

0

0

1

0

■

*1

3

(3-x)/2

2)

j d x j f ( x , y)dy + jd x

J f(x, y)dy;

0

0

1

0

0

0

1

0

3505. Представить двойной интеграл

^ f(x ,y )d x d y y

D

где D - области, указанные на рис. 49, 50, 51, 52, в виде суммы двукратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 51 и 52, составлены из прямых линий и дуг окружностей.

	§ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ					253
3512.	j*j*x2y2yjl - х3 - y3dx dy,	D - область,		ограниченная
	D
линией x3 + у3 =1 и осями координат.
3513.	Найти среднее значение	функции	z = 1 2 -2 x - 3 y			в
области, ограниченной прямыми 1 2 -2 * -3 z / = 0,				х = 0,	у -	0.
3514.	Найти среднее значение	функции	.г = 2х + у		в тре­

угольнике, ограниченном осями координат и прямой х + у = 3.

3515.	Найти	среднее	значение	функции	г = х + 6у в тре­
угольнике, ограниченном прямыми у = х, у = 5х						и х = 1.
3516.	Найти	среднее	значение	функции	z -	yjR2 - х 2 - у2
в круге х2 + у2 < R2.

			Тройной				интеграл
В задачах 3517-3524 вычислить интегралы:
	1	2	3					о	ь	с
3517.	Jd x jrfi/Jdz.						3518.	Jd xj dyj (x + у + z)dz
	o	o	o					o	o	o
	a	x	У					a	x	ХУ
3519.	jdxj dyj xyz dz.						3520. JdxJdyJx3y3z dz.
	o	o	o					o	o	o
	e-1 e-x-1 x+y+e
3521.	j d x		j	dy
3522.	Г		Г	Г	Q _		область,		ограниченная плоско-
	JJJ ( x + y + z + l f
СТЯМИ x = 0 ,		у	= 0 ,	2 = 0 , X		+	у + Z = 1.
3523.	jjjxydxdydz,				Q	-	область,		ограниченная гипербо-
	а						и плоскостями х +у = 1 и 2 = 0
лическим параболоидом z = ху
(2> 0 ).
3524.	a	у cos (z + x)dx dy dz, £2						-	область, ограниченная

ЦИЛИНДРОМ у = ■Jx И ПЛОСКОСТЯМИ у = 0 , 2 = 0 И X + 2 = —•.

2 5 4 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§3. Интегралы в полярных, цилиндрических

исферических координатах

Двойной интеграл

В задачах 3525-3531 перейти					в	двойном			интеграле
\\f(x, y)dxdy			к полярным координатам			р и ф		(х = рсоэф,
D
у = р в т ф ), и расставить пределы интегрирования:
3525. D - круг: 1) x2+y2<R2; 2) х2 + у2<ах;							3)	х2 + у2<Ьу.
3526.	D -		область, ограниченная		окружностями				х2 + у2 =
- 4х, х2 + у2 = 8х и прямыми у - х					и у = 2 х .
3527. D -			область, являющаяся общей частью двух кругов
х 2 + у2 < ах		и х 2 + у2 <Ьу.
3528. D		-	область, ограниченная прямыми				у = х у		у = 0 и
х = 1.
3529. D -			меньший из двух сегментов, на которые прямая
х + у = 2	рассекает круг х2 + у2 < 4.
3530. D -			внутренняя часть правой петли лемнискаты Бер-
нулли
3531.	D -		область, определенная неравенствами					л:>0, у > 0,
(*2 + У2)3 £ 4агхгуг.
В задачах			3532-3535 двойные		интегралы		преобразовать
к полярным координатам:
	о		о		R/2		0
	0		0
3535.
		0	0	R/-Jl+R2	0

			§ 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ								255
В задачах 3536-3540 с помощью перехода к полярным ко­
ординатам вычислить двойные интегралы:
	Д		»2_v2
			*Д —а
3536.	Jdx		J	ln(l + х2+ y2)dy.
3537.				dx dy,		где область D определяется нера­
венствами х2+ у2 < 1, х > 0 ,						у> 0.
3538.	J*J(/i - 2 х - 3y)dx dy, где D -								круг х2 + у2 < R2.
	D
3539.. JJ ^R2 - х 2 - y2dx dy, где D -									круг х2 + у2 < Rx.
3540.	JJaiatg^dx dy,				где		D -	часть кольца			х2 + у2 > 1,
	D
х 2 + у2 <9,		у >		у < х4%.
3541. Показать, исходя из геометрических соображений, что
если декартовы				координаты			преобразовать			по	формулам
х = ар cos ср,		у = ftpsincp			(а	и	b -	постоянные),		то	элементом

площади будет da = abp dpdq>.

В задачах 3542-3544, используя результат предыдущей за­ дачи и выбрав подходящим образом а и Ь, преобразовать двой­ ные интегралы:

3542. jjf(x , y)dxdy, где область D ограничена эллипсом

D

*L+ uL = i.

4 + 9 А

3543. JJf (х, y)dx dy, где D - область, ограниченная линией

D

3544. /J'(iFFS)d\dxdy, где D - часть эллиптического

•л	I/ -а	У	1
кольца, ограниченная эллипсами *=■+ ■**=- = 1,		— г + —г = 1 и
а	Ъ	4а* 46

л еж ащ ая в первом квадранте.

2 5 6	ГЛ . XII. М Н О ГО М Е Р Н Ы Е И НТЕГРАЛЫ И КРА ТН О Е И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е
	3545.	Вычислить интеграл JJ ху dx dy, где D - область, огра­
ниченная эллипсом £=- +			= 1 и лежащая в первом квадранте.
		а2	Ь2
	3546.	Вычислить интеграл JJ *Jxy dx dy, где D - область, ог-
				D
раниченная линией ( т			+ 1г )	и[ 'лежащая в первом квад-
ранте.
		Тройной		интеграл

Взадачах 3547-3551 перейти в тройном интеграле

,y,z)dxdydz				к цилиндрическим координатам р,				ср,	г
п		у = psincp, z = г) или сферическим координатам
(х = pcoscp,									р,
6, ф ( х = р cos фsin 0, у = р sin фsin 6,					z = р cos 0)		и расставить
пределы интегрирования:
3547.	Q,	-	область, находящаяся в первом октанте и огра­
ниченная цилиндром				х 2 + у2 = R2 и плоскостями			z = 0,	2 = 1,
у = х и	у = *л/з.
3548.	Q	-	область, ограниченная цилиндром				х 2 + у2 = 2дг,
плоскостью 2 = 0 и параболоидом z -					х2 + у2.
3549.	Q	-	часть шара х 2 + у2 + z 2 < R2,			лежащая в первом
октанте.
3550.	Q,	-	часть шара х2 + у2 + z 2 < R2, лежащая внутри
цилиндра (* 2 + у2) 2= R2(p2 - у2) (х > 0).
3551.	£2	-	общая часть двух шаров			х 2 + у2 + z2 < R2			и

х2 + у2 + ( z - R f < R2.

Взадачах 3552-3558 вычислить интегралы с помощью пе­ рехода к цилиндрическим или сферическим координатам:

1 V l-x2	а	2	^ 2 х - х 2	а __________
3552. Jdx J	dyjdz.	3553. jd x	J	dyj z ] x 2 + y2dz.

о - / l - x 2

0

0

0

0

	§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ						257
	Я	4 R 2- X2		^R2- x 2-y 2
3554.		jd x	J	dy	J	(?2 + y2)dz.
	-R SlP-X*				0
	1	Л-*2		VI-*2-»2 ________
3555.	J	d x	dy	J J	^x2 + y2 +z2dz.
	o	o		о
3556.	JJJV + y2^dxdydz, где область Q определяется i
равенствами z > 0, r2 < xz + y2 + z2 < R2 .
			d*dydz
3557.•Ш V*2+y2+ M )!-, где Q						- шар x2 + y2 + z2 < 1.
3558.•			d xdydz		где	Q - цилиндр x2+y2 < 1,
	Iff-■)jxz+y2+(z-2)z

-1<X<1.

§4. Применение двойных и тройных интегралов

Объем тела. I

В задачах 3559-3596 найти двойным интегрированием объ­ емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач параметры считаются положительными):

3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 и у = 4 и

параболоидом вращения z = х2+ у2 +1.
3560. Плоскостями координат, плоскостями				х = а и у = Ь
и эллиптическим параболоидом z = 2р			Zq .
3561. Плоскостью	'f' + f , + 7 = l	и	координатными плоско­
стями (пирамида).
3562. Плоскостями	у = 0, z = 0,	Зх + у = 6,		3JC+ 2г/ = 12 и
х + у + г = 6.
3563. Параболоидом вращения z = х2 +у2,				координатными
плоскостями и плоскостью х + у = 1.

9-2S25

2 5 8 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

	3564.	Параболоидом вращения				г = х 2 + у2			и	плоскостями
z = 0, z/ = 1, у = 2х и у = 6 - х.
	3565.	Цилиндрами		y = <Jx,	у = 2л/л		и	плоскостями 2 = 0
И X + 2 = 6.
	3566.	Координатными плоскостями,					плоскостью				2дс + 3 у -
-12 = 0 и цилиндром 2 = V2
	3567.	Цилиндром		2 = 9 - у2,	координатными					плоскостями
и плоскостью			3* + 4у = 12 (у > 0).
	3568.	Цилиндром		2 = 4 —х2,	координатными					плоскостями
и плоскостью			2х + у = 4 (дс > 0).
	3569.	Цилиндром		2у2 = дс,	плоскостями				\ + \ + \ = 1 и
2 = 0.
	3570. Круглым цилиндром радиуса г, осью которого служит
ось	ординат,		координатными		плоскостями				и	плоскостью
* + * = L		'
г	а
	3571.	Эллиптическим цилиндром ^ - + у2 = 1 ,								плоскостями
2 = 12 —Здс —4у И 2 = 1.
	3572. Цилиндрами х2 + у2 - R2 и л2 + 22 = Л2.
	3573. Цилиндрами 2 = 4 - у2,				у =		и плоскостью				2 = 0 .
	3574. Цилиндрами д:2 + у2 = Л2,					2 = ~		и плоскостью 2 = 0
(х > 0).
	3575. Гиперболическим параболоидом						г = дс2 - у 2 и плоско­
стями 2 = 0, х = 3.								2 = дсу,
	3576.	Гиперболическим параболоидом								цилиндром
у = л/л и плоскостями				дс + у = 2,	у = 0 и 2 = 0 .
3577. Параболоидом				2 = дс2 + у2,		цилиндром			у = дс2		и плос­
костями у = 1 и 2 = 0 .
3578. Эллиптическим цилиндром						+ -4- = 1 и плоскостями
						а2	с2

у = —л, у = 0 и 2 = 0 (дс > 0).

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

3580. Цилиндрами	у = ех ,	у = е~х ,	г = е2 - у2 и плоско­
стью 2 = 0.
3581. Цилиндрами у = In х		и у = In2 х и плоскостями z = О
и у + z = 1.
3582*. Цилиндрами г = Inх		и г = \п у	и плоскостями г = О
и х + у = 2е (дс > 1).
3583. Цилиндрами	у = д: + sin д:, z/ = д: —sin л: и г =

(параболический цилиндр, образующие которого параллельны

прямой х - у = 0, z = 0) и плоскостью 2 = 0				(О < х <Пу у > О).
3584.	Конической	поверхностью	г2 = ху	(рис. 53),		цилин­
дром 4х + у[у = 1 И П ЛОСКОСТЬЮ 2 = 0.
3585.	Конической	поверхностью	4у2 = х (2- г)		(параболи­
ческий конус, рис. 54) и плоскостями z = О и х + z = 2.
3586.	Поверхностью z = cos* cos у и плоскостями					д = 0,
у = 0, 2 = 0 и х + у = J.
3587.	Цилиндром	х2+ у2 = 4,	плоскостями		2	= 0	и
2 = Х + у + 10.
3588.	Цилиндром	х2 + у2 =2х,	плоскостями 2 х -г = 0				и

4 х - 2 = 0.

9•

2 6 0 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3589.	Цилиндром	х 2 + у 2 = R2,			параболоидом					Rz = 2R2+
+ х 2+ у2 и плоскостью		z = 0.
3590. Цилиндром х2 + у2 = 2ах,				параболоидом						г = -х—^~	и
плоскостью г = 0.
3591.	Сферой х 2 + у2 + z2 = а2			и	цилиндром				* 2 + у 2 = ах.
(Задача Вивиани.)
3592.	Гиперболическим		параболоидом				2 =			цилиндром
х2 + у2 = ах и плоскостью			2 = 0 (х > 0 , у > 0).
3593.	Цилиндрами	х2 + у2 = х		и	* 2 + у 2 = 2 * ,					параболои­
дом 2 = х2 + у2 и плоскостями х +у = 0,						х - у		= 0 И 2 = 0.
3594. Цилиндрами		х2 + у2 =2х,			х 2 + у2 = 2у				и плоскостя­
ми 2 = ДС+ 2у И 2 = 0.
3595.	Конической	поверхностью			г2 -		ху		и	цилиндром
(х2 + y2J = 2ху (я > 0, у > 0, 2 > 0).
3596. Геликоидом («винтовая лестница»)								2 = Л arctg-^-,			ци­
линдром	х 2 + у2 = R2	и плоскостями				JC = 0		и	2 = 0 (* > 0 ,
У *0 ).

Площадь плоской фигуры

В задачах 3597-3608 найти двойным интегрированием пло­

щади указанных областей:					х = 0,	у - 0,
3597.	Области,	ограниченной	прямыми
х + у = 1.
3598.	Области,	ограниченной	прямыми		у = х ,	у = 5х,
х = 1.			2		„2
3599. Области, ограниченной эллипсом				+ *r- = 1.
			a		i»
3600. Области, заключенной между параболой у2						и
прямой у = ^ х .