книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Если х(0) = х т(0), то существуют такие е,> 0 и постоянные

cm> 0 ’ е2> 0 (82 е (°> £l))> ЧТ0

II * - *,„II * cm£m +' > е < Ъ

V/ € [fl5 t2] С [0, L /z J .

Если, помимо сделанных выше предположений, все собственные значения эрмитовой матрицы 1/2 (Л + Л*) неположительны, то

II* - * Л ^ с / " 1 (е е (0> Ei)» <^ [0, Lie ]).

В случае однородной системы (/ г 0) имеет место оценка

II* “ *mll < Ст£т (£ е (°> el)> 1е [°» L/ £ ])•

Эта оценка остается в силе и для приближенного решения одно­ родной системы, представленного в форме (10.3.30), (10.3.31).

Приведенные оценки свидетельствуют об асимптотическом ха­ рактере построенных приближенных решений.

ГЛАВА 11

РАСЩЕПЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ МНОГОТЕМПОВОЙ СИСТЕМЫ

§. 11.1. Постановка задачи

Большинство дифференциальных уравнений, возникающих в прикладных задачах, содержит некоторое число физических кон­ стант (параметров). Вопрос о зависимости решений дифферен­ циальных уравнений от этих параметров очень важен при решении практических задач. В этой главе мы ограничимся рассмотрением линейных систем дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются аналитическими функциями от одного параметра.

Прежде всего отметим, что решение систем линейных уравне­ ний 1-го порядка, которое регулярно по параметру хотя бы при од­ ном значении независимой переменной, является аналитической функцией параметра. Этот факт составляет содержание следующей фундаментальной теоремы теории дифференциальных уравнений, которую мы приводим здесь без доказательства в том виде, в кото­ ром она приведена у В.Вазова [10, с. 161].

Т ео р ем а 11.1.1. Пусть N — односвязная область в комплек­ сной плоскости t и Е — область в комплексной плоскост и г; матрица A ( t, е) — квадратная матрица порядка п, голоморф ­ ная* по совокупности переменных при t Е N и е G Е, а х0(в) —

п-мерный вектор-столбец, голоморфный по е при е G Е.

Тогда реш ение х = x(t, е)	задачи Кош и
^ ~ A(t, е)х,	б) = XQ(E), (Q £ N,

голоморфно по совокупности переменных при t G N, е Е Е.

В этой теореме предполагается, что N и *0 не зависят от е, а

Е не зависит от t. В последующих параграфах данной главы мы рассмотрим задачу о зависимости решений уравнений от параметра

* Матрица называется голоморфной по какой-то переменной, если элементами этой матрицы являются функции, дифференцируемые по этой переменной.

£ в окрестности точки, в которой коэффициенты уравнений имеют особенности по параметру е.

Мы ограничимся рассмотрением особенностей по параметру спе­ циального вида, а именно будем предполагать, что эти особенности являются полюсами, положение которых не зависит от t.

Любую однородную линейную систему с полюсами по отноше­ нию к параметру t можно записать в виде

е* % = A(t, г)х,

( 4 1 1 )

если существование и порядок полюса не зависят от t.

При этом порядок степени h является максимальным порядком полюсов, имеющих место в скалярных уравнениях, составляющих систему. Уравнения вида (11.1.1), содержащие малый параметр при старшей производной, принято называть сингулярно возмущенны­ ми. Системы, описываемые уравнениями вида (11.1.1), называются однотемповыми, так как скорости изменения всех координат сис­

темы имеют один и тот же порядок £-л.

Однако при вынесении в качестве множителя наибольшей неот­ рицательной степени е из матрицы коэффициентов уравнений мо­ гут оказаться утерянными те свойства уравнений, которые важны в математической модели этого объекта, так как члены, которые ока­ зывают решающее влияние на асимптотическое поведение решения при е-*0, могут стать малыми при умножении их на положитель­ ную степень е. Этого недостатка можно избежать, если выделить в каждом уравнении системы в отдельности ту степень е, которая определяет наивысший порядок полюса в этом уравнении. Тогда сингулярно возмущенная система (11.1.1) предстает в виде

W = A(t' е)'х»

(11.1-2)

где Н — диагональная матрица, у которой диагональные элементы являются неотрицательными целыми числами. Мы будем рассмат­ ривать сингулярно возмущенную систему несколько более общего вида, а именно

iH— = A°(t, е)х + ч>(/, е),	(11.1.3)
где tf =diag (ц,£Л|, Ц2Екг’ •••> ^РЕк)' l1; (/ = 1’ 2»—>Р) — целые
положительные числа, такие, что Ц, > 1*2 > ••• >	^0; Е к — еди­

ничные матрицы порядков kj (/ = 1, 2,.... р) \ Л°(/, е) — квадратная матрица /t-го порядка; х и ip — столбцовые матрицы типа п х 1; е —

положительный параметр; матрица определена на интервале / = [/0, Т) (Т > /0) и области S2 = {е:е < е0 ) , a <f>— в области / х Q.

Системы, описываемые уравнением (11.1.3), называются многотем­ повыми, потому что разные группы составляющих вектора х имеют

разные порядки изменения их скоростей (е~,\ ..., £-fV). Пред­ полагается, что матрицы A°(t, е) и <р(/, е) голоморфны по обеим пе­ ременным в области /х Q, причем матрица A°(t, г) допускает асим­ птотическое разложение

со
A°(t, е) = A(t) + 2 tkAW(t) при е —*0.	(11.1.4)
*=1

Система (11.1.3) имеет в своем составе уравнения с полюсами разных порядков, что определяет разнотемповый характер измене­ ния фазовых координат х- — компонент столбцовой матрицы х в

окрестности точки е = 0 и вызывает определенные трудности при построении асимптотических разложений этих координат,

В настоящее время относительно подробно изучена однотемпо­ вая система вида (11.1.1) (см,, например, [10,11].). К таким систе­ мам могут быть применены также алгоритмы, изложенные в преды­ дущих главах данной книги применительно к системам линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от медленного времени (§ 9.2). Однако отметим, что методы построе­ ния асимптотических разложений решений систем вида (11.1.1) не­ посредственно не переносятся на систему вида (11.1.3) вследствие

главным образом того, что матрица tH, в противоположность ска­

лярному множителю еа, не перестановочна с другими матрицами, кроме весьма специального класса матриц. В связи с этим разработ­ ка методов асимптотического интегрирования непосредственно для систем (11.1.3) с учетом йх специфики представляется весьма це­ лесообразным.

Решение задач, связанных с рассмотрением многотемповых си­ стем вида (11.1.3), значительно упростится, если с помощью под­ ходящего преобразования привести исходную систему к расщеплен­ ной системе, состоящей из однотемповых подсистем вида (11.1.1), каждая из которых содержит уже только уравнения с полюсами од­ ного и того же порядка. С помощью такого преобразования исход­ ная задача, по сути дела, расщепляется на систему задач с мень­ шим числом переменных в каждой и так, что в каждой задаче уравнения имеют полюсы одного и того же порядка, что позволяет далее воспользоваться методами, разработанными для однотемпо­ вых систем вида (11.1.1).

В работе [10] в предложении, что р — 1 миноров матрицы системы

к

строками и столбцами, не обращаются в нуль на интервале I, указан один способ расщепления системы с последовательным выделением однотемповых подсистем. При этом для выделения каждой однотем­ повой подсистемы используются два преобразования специального вида, с помощью которых матрица системы сначала приводится к блочно-треугольному виду, а затем к квазидиагональному виду.

Ниже нами предлагается другой, более непосредственный метод расщепления многотемповой системы на однотемповые подсистемы, основанный на изложенном в гл. 9 методе асимптотического рас­ щепления содержащих параметр линейных систем общего вида.

§11.2. Один метод последовательного выделения однотемповых подсистем из многотемповой системы

Пусть A(t, е) — квадратная матрица порядка п, голоморфная по совокупности переменных t £ 1= [f 0 , Т) и Q = { е:е SS е0} . В этом

параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании и построении другой матрицы K(t, е) порядка п, невырожденной и голоморфной по совокупности е и t и приводящей матрицу А к квазидиагональ­ ному виду, т.е. чтобы

	JTL(t, Е)А°(1, Б)K(t, е) = Л(/, е),						(11.2.1)
где
	A(f, е ) = diag (Л,, Л2, ..., Лр).
В гл. 5 было показано, что квадратную				матрицу		А(т), собствен­
ные значения	которой разбиты		на	р	групп	Х^\	...,
(а = 1, 2, р,	р
	^ &а = п) так, что на промежутке 0 < т ^ L выпол-
няется условие	0= 1
| xt°> — Xf/>I	> О	( a * j ; г =	1 , 2 ........к		/ =	1 , 2 ......... ks),

при каждом фиксированном т € [О, L) можно представить так:

л = £ 0*1

или А = КAM, где
Л = diag (Л,, Л2,	Лр),	К = (X,, К2,..., /Ср),
м =	[л /1 М2...	М р]\

Там же (§ 5.3) приводится способ построения К, Л, М.

В § 9.1 было показано, что если матрица А(х) дифференцируе­ ма I раз по т на промежутке [0, L], то построенная предлагаемым способом матрица К, преобразующая матрицу А к квазидиагональному виду А, также является I раз дифференцируемой матрицей по т н& [О, L],

Описанный в гл. 5 метод квазидиагонализации, очевидно, применим и к матрице A(t, е), голоморфной по t и е, если ее

собственные значения возможно разбить на соответствующие

непересекающиеся группы. При				этом,	применяя		рассуждения
§9.1	в	отдельности к независимым переменным t					и е,	придем
к выводу, что построенная			предлагаемым			способом		матрица
K(t, е),		преобразующая матрицу		A(t, е) к		квазидиатональному
виду, сама является матрицей, дифференцируемой по								/ и е
такое	же число раз, что и		матрица		A (t, е). Таким образом,
имеет	место следующая
Т ео р ем а 11.2.1. Пусть A(t, е) — квадратная матрица по­
рядка п, голоморфная по совокупности переменных t Е /								и е Е Q,

собственные значения Хр Х2, ..., \ п которой могут быть разбиты

р

на р групп Х^, Х £ * \ Xj^ (cr= 1, 2, ..., р; Y k a= n ) так, что

		о		СГ=1
	при / € / и е € £ 3 выполняется условие
		|Х(°)-Х<>)|	о	О	( 11.2.2)
	(о- it s, i	1 ,2 ,..., kg]	j -=1, 2 ,...,
					.
	Тогда	при каждом фиксированном / G / U E S Q
	1. Матрицу A(t, е )
	можно представить в виде
		А = 2 К САЯМС,			(11.2.3)
		о= 1
	где Ка, А а, Ма — матрицы типа соответственно п х ка, ка X ка,
	к0X п, удовлетворяющие равенствам
		Ек ,	s = а,		(11.2.4)
		о
		О,	S 5*	О

(ЕкQ— единичная матрица порядка ка). Собственные значения матрицы Аа при этом суть собственные значения матрицы А, включенные в группу а. В качестве субматрицы Ка может быть

взята любая матрица, составленная из ка линейно независимых комбинаций столбцов матрицы

Рks

А ,(4 = п	П U - \ f E n).	(11.2.5)
S =	1 J — I
s*cs

2. Построенная таким путем преобразующая матрица явля­ ется голоморфной по совокупности переменных t G I и б G Я.

Доказательство этой теоремы следует из результатов гл. 5 и

§9.1.

§11.3. Алгоритм формального расщепления системы <11.1.3)

Система (11.1.3) может быть представлена в форме

£tl'	=		8)’	(11-3.1)
где £ п(е) =diag (Ek ,		.... EKI	В соответствии с
квазидиагональной структурой матрицы Е п ( г )			введем блочное раз­

биение столбцовых матриц х и <р и квадратных матриц А{{) и AW(t) — коэффициентов разложения матрицы Л°(?, е):

	(*.)			(<Р,А
	X —	хг	4> =	Vi
		.		*• •
		х„
		р)
( А\ 1Л 12	А1рх			A \ f ita»	41» )
А = A 2I А 22	А 2р	,	A W =	41» 41»	4?

••

^A p i А Р1 •••A PPf	, 4*? 4?	A<ppPP у

В дальнейшем используются еще следующие обозначения:

M i l	A	\	f 0	0 '	' 0	0	>
	Л 1р
0	0		^21	A 2P
A =		i	^ 2 ~	»	A P —
					0	0
0	0		0	0	[ 4 .
		у		У		4

(4 ?		4*>1		0		о	'
0		0
				4 ?		4	?
4 *) =		, 4
			А ,=
0		0		0		0	/
		У
		О		о \
	A f =			о
		О
		4 ?		4 * >
				рр
		.3.1) при £ = 0
				0	0 '
			0	0	0	(л (0 ) = Л (0 .
					♦
			0	0	0	J
Пусть матрица A(t) на промежутке / удовлетворяет условию
А	А	\
Л ,	Л и
det	Ап			sS с > 0.				(11.3.2)
Л ,		у = 1, 2,		г ; 1 < г ^ р
Имеет место		выполнении условия				(11.3.2)		решение
Т ео р ем а 11.3.1. /7рл
уравнения (11.3.1) может быть представлено в виде
x = K l(t, е)у, +			K2(t, е)у2,					(11.3.3)

где Kt и К2 — матрицы типов п х к х и л х (л — А,) соответст­ венно, ух и у2 — столбцовые матрицы типа соответственно кхх 1, (л — Jfcj х 1 — решения векторно-матричных уравнений

	~lu =	+	^^иС6)4?»	(11.3.4)
	= A2(f, е)у2 +		&%{U *)Я„(е)Ч>»	(11.3.5)
/V	W			л»

где Aj и А2 — матрицы типа кхх кх и (л —к{) х (л — &t), а Л/, ы ЛГ2 — матрицы типа кхх п и (п — кх) х п соответственно. При­

чем фигурирующие в соотношениях (11.3.3)—(11.3.5) матрицы представляются формальными рядами

е) = 2 е‘*1*1(0.	л„(г, £) = 2 (/),
А = 0	А = 0	(11.3.6)
00

(I, е) = 2 Е* Ч ‘Ч0-

л=о

Подставляя (11.3.3)—(11.3.5) в (11.3.1) и приравнивая коэф­ фициенты при у0 (or = 1, 2) и <р, получаем

£„(е)Л°(Г,z ) K j t , е )	= Kc(t, е ) Л	„ ( ( , е ) + el*,		°	(11.3.7)
	(tr=	1, 2),
	2				(11.3.8)
	2	= Е„.
	0=1
Вводя блочные матрицы
. .	..	/Л.	О	М((, е) =
*■((, Е) = (X, К2),	Л(1, е) =	| с	А		{М2
представим (11.3.7),	(11.3.8) еще в таком виде
Еп(г) A°(t, г)K(t, е) = K(t, е)А(t, е) + е*.					(11.3.9)
	K(t, е)М(/, е) =		Еп.		(11.3.10)

Условие тождественного относительно е выполнения соотношений

(11.3.7)	приводит к равенствам
		Л, К™ =		tfj°lЛ£°1,		(11.3.11)
	Аг К[ак] = К ?1Л?] +			*£01Л	" 11,	(11.3.12)
где при к — 1, 2, .... ц, — ^			—1
£>U-I) =	/:и-1]дШ	|_ _ +		-
		-			-	... -
при Л =	— И2 »м-1 “	^2 +	•••> И-1 ~ Из -		1
£)U-1] =		+ ... +		-
	-	- 42>4t_21 - ».- A k)Kla ] -

- А2к [ак~ ^ +»г] -

- ... -

при к = И,		Мр + 1» • «•» 14 ” 1
D{k~11 =			+ ... +				-
	-	i4P>Aj*-H -			4 2>4*~21 -		... - A[VKM -
-	А2К {к~ ^ +^			-	^ К [ к ~ ^ +*2"11- ... -			А& ‘ »*i+ V	;
при к — |А|,	14 + 1,		и, +	2,
Dl0k~l] = K ak'l l]Al,1] + ... + ЛГ1ЧД1*-11 -
	-			-	А<рк1к-Ъ -		... - 4*>АГ'°1 -
-								ак\к~*i)
							А<*-Ъ + ^К $*		.
11.3.1.	Построение Aj?1 и Aj,0J. Матрица
					Л		А1р
					Л11 Л12
			4 =		0	0	0
					0	0	0 /
значениями		этой		о		структуру, так что собственными
			матрицы			служат	собственные	значения	ее

диагональных блоков. Все диагональные блоки матрицы Ау суть нулевые матрицы с нулевыми собственными значениями, кроме блока А'п .

Поэтому собственные значения Х„ (сг= 1, 2 ,..., п) матрицы 4 ( 0 естественным образом разбиваются на две непересекающиеся на / группы, в одну из которых входят &, собственных значений матрицы Ап (порядка £х), невырожденной в силу условия (11.3.2), а в другую — п — ki равных нулю собственных значений матрицы 4 , отвечающих нулевым диагональным блокам. Этим двум груп­ пам собственных значений матрицы А{ соответствуют два подпро­

странства относительно линейного оператора, которому в некото­ ром базисе отвечает матрица 4*

Проекционные матрицы этих подпространств					представляются
в виде Рх= AjMp	Р2 = К2Мг,		где К{ и	—	матрицы	ранга
Л, размеров п х к х	и	кхх п	соответственно,	а	К2 и	М2 —
матрицы ранга п — ki		размеров соответственно			п х ( п — кх) и