книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

ГЛАВА 13

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 13.1. Неравенства ВажевскОго

Пусть в л-мерном евклидовом пространстве Лп дана система ли­ нейных однородных дифференциальных уравнений, имеющая в векторно-матричной записи вид

dx	P(t)x,	(13.1.1)
dt

ще х — столбцовая матрица координат xL, х2,..., хп; P(t) — квад­

ратная матрица действительных и непрерывных функций, опреде­ ленных на полуинтервале 0 < t < со. Переходя в (13.1.1) к эрмито­ во-сопряженным матрицам, имеем

dx_	x'F(t).	(13.1.2)
dt

Умножая (13.1.1) слева на лс*, а (13.1.2) — справа на х и склады­ вая результаты, получим дифференциальное уравнение относи­ тельно эрмитовой нормы столбцовой матрицы х:

® £ = 2х'$х,

(13.1.3)

ще S = ^ (Р + Р*) — эрмитова матрица.

Для эрмитовой формы x*Sx имеет место оценка (см., например, выше § 6.6)

*«>u>(0ll*ll2« x’S(t)x « Ям>||*||г,

где	и Хим — соответственно минимальное и максимальное соб­

ственные значения матрицы S. Учитывая это, находим из (13.1.3)

Интегрируя последнее соотношение в пределах от t0 до и получим неравенства

t

ll^(^o) Цехр $ kmia(x)dx** ||дс(01| 'о

t
< 11*(*0)ИехР J *шах(Т)Л »	(13.1.4)
<0

известные в литературе как неравенства Важевского.

Оценки (13.1.4) нормы решения дифференциальной системы (13.1.1), вообще говоря, тем лучше, чем «ближе» матрица системы P(t) к диагональной. Это наводит на мысль, что оценка нормы ре­ шения может быть улучшена, если прибегнуть к такому предвари­ тельному преобразованию, которое «приблизило» бы матрицу сис­ темы к диагональной матрице (а еще лучше, разумеется, если пре­ образованная система будет иметь диагональную матрицу). Ниже детальнее рассмотрим этот путь улучшения оценок нормы решения линейной системы.

8 13.2. Уточнение неравенств Важевского

Рассмотрим линейное преобразование координат

x=K(t)y,

(13.2.1)

матрица которого обладает следующими свойствами:

1. K(t) и dK(t)/dt ограничены на промежутке [*0, Г), т.е.

t	7 if	< 00	(* е [<0, г)).
sup Ц/ОД11 < 00>

2.det K(t) s* а > 0 (t G [*0, Г)), а — некоторая положительная

постоянная.

Отметим, что если свойства 1 и 2 выполняются на промежутке [10, со), то K(t) называется матрицец Ляпунова, а преобразование

(13.2.1) называется преобразованием Ляпунова.

Допустим, что в результате преобразования (13.2.1) уравнение

(13.1.1) приводится к виду
^ == A(f)y + #(f)y.	(13.2.2)

Оценим в этих условиях нормы решения x(f) уравнения (13.1.1), удовлетворяющего начальному условию x(tQ) = х0. Этому решению

соответствует решение у(Г) уравнения (13.2.2), отвечающее на­ чальному условию у(/0) = /Г ‘(/0)*0. Согласно (13.2.1)

м * = /***> .

Отсюда, учитывая, что

где о , о — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы К*К, находим

(13.2.3)

Из (13.2.2) имеем

У% = У (л + Н)у, & - у=у -(Л - + Н')у.

Складывая эти равенства, имеем

йШ*- = / ( Д + А‘)у + у*(Я + #')у.

Но

**JM I2 ^ У*(Л + А*)у «5 Лтах||у||2, vmi„l|y|l2^ / ( ^ + / r ) y < v maJ y ||^

где Xmin, Хтах — соответственно минимальное и максимальное соб­ ственные значения матрицы ^ (А + A*), a vmin и vmax — соответст­ венно минимальное и максимальное собственные значения матри­ цы ^ ( # + # * ) . На основании приведенных соотношений далее имеем

2 ( ^ in +	v„JI|y||2«	=S2(imax + vmax)||y||2.
Проинтегрировав последние неравенства, получим
t
1|Уо11ехР $ (*min +	Vmin)rft < ||у|| <

'о

* 1!Уо11ехР J (*л,ах + vmaх ) ^	(13.2.4)
*0

Объединяя (13.2.3) и (13.2.4), будем иметь

V'p^Jbollexp $ (ЯП1!п + vmin)c/TsS ||дг||

7 Ртах W exP J (\nax vmax)^*

(13.2.5)

Из (13.2.3) имеем

< и v и < J ! M » fPnm'V VPinin'1'0^

Учитывая это, наряду с (13.2.5) будем еще иметь неравенства

t

Л / Pm.n(f)

Pmax^O^ ii’toii^p 5 я , . + ',я1п) л « нхоп

V	Г=#7 Л*б11ехР $ (К м + O *					(13-2.6)
	min	O'	.
Последние неравенства можно представить и так:
Н*01|ехр	+ $ ( ^ , п + '|п.1.)Л			<|>(0К
||х0||ехр	1 1п Н п		+ $	+	”..*>*	(13.2.7)
	1	Pmin'V	J

При удачном выборе преобразования (13.2.1), когда Л «близка» к диагональной матрице, а Н — к нулевой, оценки (13.2.6) могут оказаться существенно лучше, чем оценки (13.1.4). В идеале, когда Л — диагональная матрица, а Я = 0, имеем vmin, vmax = 0 и нера­

венства (13.2.6) принимают внешне вид неравенств Важевского. Вопросу получения оценок для координат решения линейной

однородной системы дифференциальных уравнений, а также вопро­ су нормы этого решения посвящали свои исследования целый ряд авторов. Изложение результатов этих исследований выходит за рамки данной книги. Желающих подробно ознакомиться с работа­ ми, посвященными оценкам решений систем дифференциальных уравнений, рекомендуем обратиться к нашей обзорной статье 152], где приводится краткое изложение основных результатов, получен­ ных рядом авторов, а также довольно подробная библиография. Здесь же, в следующем § 13.3, мы изложим лишь весьма конспек-

тивно некоторые пути получения оценок для координат и норм ре­ шений линейных однородных систем. Отметим, что многие оценки получены авторами с использованием так называемых неравенств Четаева.

Учитывая важность этих неравенств не только для построения различных оценок решений систем дифференциальных уравнений, но и для решения ряда других задач и прежде всего задачи о так называемой «технической устойчивости», параграфы данного разде­ ла (§ 13.4 и следующие) посвящаются довольно детальному изуче­ нию неравенств Четаева и некоторым их приложениям.

§ 13.3. Оценки координат и нормы решений линейных однородных систем

13.3.1. Оценки координат решений линейных однородных систем. Рассматривается в л-мерном евклидовом пространстве си­ стема обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, заданных в форме векторно-матричного уравнения

£ = P(t)x,	(13.3.1)
где х — столбцовая матрица координат	х2, .... хп; P(t) — мат­

рица действительных и непрерывных функций, определенных на полуинтервале 0 < t < «>. Для каждой системы начальных значений t = t0, х — х0 (0«S<0< оо) уравнение (13.3.1) имеет единственное

решение х — <р(/, t0, х0), 0 «£ t < <», обращающееся при t = t0 в xQ.

Интересные результаты по оценкам решений системы (13.3.1) содержатся в работах А. Д. Горбунова [15—18]. Изложим основные из них. Как известно, чтобы квадратичная форма V = х ’Ах (А = (atj)) была положительно-определенной, необходимо и доста­

точно, чтобы все верхние угловые главные миноры матрицы А

^11	^1и —1
а21	а 2п - I
а п - И	а п - 1 п - 1

Дп = det А

были положительными числами. Из этого свойства следует положи­ тельность всевозможных миноров главной диагонали детерминанта Дл положительно-определенной квадратичной формы, в частности

К ”- . > о . где Д(л1, (s = 1, 2 ,..., п) — минор, получаемый вычерки­ ванием s-й строки и 5-го столбца дискриминанта.

Путем преобразования квадратичной формы V к каноническому виду методом Якоби (см., например, А. М. Ляпунов [87]) эллипсо­

ид дгМ.т = с2 можно представить в виде

	&}у) -	с2’
имея при этом	J-i
й	А « , ’	Уп = х,-
ш.. =	я—1

Отсюда, учитывая положительность Д * и Дп, А. Д. Горбунов [15] получает неравенство

/ д<'>,	1, 2, ..., л,	(13.3.2)
\ х , \ * \ с \ М г 1

причем границы — точные.

Неравенства (13.3.2) оказываются весьма полезными при со­ ставлении оценок координат решений уравнений (13.3.1) с по­ мощью положительно-определенных квадратичных форм. Пусть

V(t, х) = хтА(1)х — квадратичная форма, матрица которой состав­ лена из непрерывно-дифференцируемых функций в полуотрезке О< t < <». Полная производная от этой функции по t в силу урав­ нения (13.3.1) имеет вид

^ = хгИ х= W{t, х),

Н = 4 А + Р * А + А Р .

В силу последнего соотношения, если V(t, х) — положительно­ определенная квадратичная форма, то вдоль всякой интегральной кривой х — <р(/, tQ, xQ) имеет место тождество

V(t, t0, х0) = V(tQ, х0)ехр $ W[т, „т(т, r0, *0)]tft,

(13.3.3)

где V(t, t0, х0) = V(t, x(t, /0, x0)), а *(т, t0, х0) представляет при фиксированном т определенную точку эллипсоида

У(и х) = 1.

(13.3.4)

Точка х = <р(/, /0, х0) интегральной кривой принадлежит эллип­ соиду V(t, х) = V((, t0, х0). Поэтому ее координаты, в соответствии с неравенствами (13.3.2), удовлетворяют неравенствам

	\х5\ = 1ч>,(*. /0, х0)\ <	v ( t% Х° ) ДАО	(13.3.5)
	($ 1, 2,	..., я) )

где Дп — дискриминант квадратичной формы V(t, л), а , —

соответствующий минор этого дискриминанта. Так как в тождестве (13.3.3) точка х(т, lQ, х0) в каждый фиксированный момент / при­

надлежит эллипсоиду (13.3.4), то имеем

V(t> /0, xQ) « K(f0, х0) exp J Nv(t)dx,
где Ny(t) = max W(t, х). Учитывая это,	из (13.3.5) можно полу-
V{i,x) =1
чить более удобные оценки
дШ	г
*о) д!7УехР $ Ny{T)dx		(13.3.6)
(s 1, 2 ,. . . , л, I Q ^ t	°°).

«Экстремальные значения функции Ж(/, л) достигаются на по­ верхности У(*, л:) = 1 при х = х°, где х° — нормированные реше­

ния (хвМх° = 1) матричного уравнения
(Н — р.°А)хе = 0,	(13.3,7)
соответствующие корню р° уравнения
det (Я — р.А) = 0.	(13.3.8)
Из (13,3.7) непосредственно следует
W(t, х°) = х°т#х° = ц°.

Поэтому, если цтах — максимальный корень уравнения (13.3.8), то

Nv = max (х1Нх) = цтах.

К(/, х)= 1

С учетом последнего соотношения неравенства (13.3.6) принимают вид оценок, полученных Б. С. Разумихиным [96].

Эффективность оценок (13.3.6) существенно зависит от выбора квадратичной формы V(t, х). Пусть К1 — класс всевозможных по­

ложительно-определенных (при каждом t) форм x1A(t)x, матрицы которых непрерывно-дифференцируемы на полупрямой 0 < t < °°, и при t — t0 (t €: [0, оо)) совпадают с одной и той же симметрической

матрицей А0. Как показал А. Д. Горбунов [16], для того чтобы две квадратичные формы Г,(/, х) и (V2(tt х)) из класса К1 реализова­ ли эквивалентные между собой оценки (13.3.6), необходимо и до­

статочно существование функции ф(/), непрерывно-дифференци­ руемой на [0, со) и удовлетворяющей условиям

а) 'Ф(*о)~1*

б)

х) =

х)

при всех допустимых ( и х .

Далее, в классе К1 существует квадратичная форма V0 =

= х1А°(()х,	реализующая точные оценки типа (13.3.6), т.е.
такие оценки, которые при каждом t		G [0, «)	достигаются соот­
ветствующей	координатой некоторого	решения	из семейства Sa

всевозможных интегральных кривых уравнения (13.3.1), прохо­ дящих при ( — /0 через точку эллипсоида jcM(f0)jc — Ь2 (6 — произвольное фиксированное число). Оценки координат любого

решения	из семейства			определенные этой	квадратичной
формой	Р0(/, х), имеют		вид
	\х ,\* Ь \	О	' )	5== 1, 2, ..., п,	(13.3.9)
		Дя(/)

а матрица формы V°(t, х) представляет собой решение матричного дифференциального уравнения:

% - - F A - ЛР,

Ж/0) = А>

(л ? - Л ) ) -

В уже упомянутой работе [96] Б. С. Разумихин привел и другие оценки, основанные на неравенствах Н. Г. Четаева*:

F0exP J 2	* V< V0C*P5 2 Рмахл »	(13.3.10)
*0	1о

где pmin, цтах — соответственно наименьший и наибольший корни уравнения

det	= 0.
Пусть с помощью ортогонального	преобразования форма
V(t, х) приведена к каноническому виду
y = £ v f .

г= 1

*Подробнее о неравенствах Н. Г. Четаева см. § 13.4 и далее.

где vt — корни уравнения det [.<4(0 — vE] = 0. Тогда (13.3.10) можно переписать так:

t	П	t
К0ехр J 2 [imindt **2		К0ехр $ 2 \imaxdt.	(13.3.11)
'о	i = I	'о
Так как при любом s =	1, 2,..., п

i=1

ив силу положительной определенности формы V существует такое е> 0, что v. > е> 0 (i = 1, 2,...» л), то из (13.3.11) следует нера­

венство

Ш ^ V ^ "e x p J (imax(t)<it.

'о

Оценки координат решений уравнения (13.3.1) получены также в работах Чжан Сыина [113], В. И. Зубова [153], К. А. Карачарова и А. Г. Пилютика [83], К. А. Карачарова [81], А. Г. Пилютика и П. А. Талалаева [31]. Особенно подробно вопрос об оценках реше­ ний дифференциальных уравнений рассмотрен в монографии К. А. Карачарова и А. Г. Пилютика [83]. В этой работе в систематизиро­ ванном виде приведен целый ряд оценок координат и норм реше­ ний как однородной дифференциальной системы, так и системы неоднородных дифференциальных уравнений (с возмущающими силами).

Основные формулы оценок для решений однородного уравнения типа (13.3.1) выводятся К. А. Карачаровым и А. Г. Пилютиком сле­ дующими двумя путями.

1. Пусть
V(t, х) = e°Wx'A(t)x	(13.3.12)

есть некоторым образом заданная квадратичная форма. Полная производная по t от функции V в силу уравнения (13.3.1)

^ = ea^ x TH(t)x = e°WW(t, х),

где

Н = Р*А + АР + ^ А +		^ .
Выбор формы (13.3.12) ограничивается условиями
Ак(А)>0, к = 1 ,2 , ... , л,	(—1 )*Д *(Я )	> 0, Л = 1 , 2 , . . . , л.