книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfИз (11.4.16), переходя к сопряженным выражениям, получаем
= /Д Ч -е/Л Г 4. |
(11.4.18) |
Уравнение (11.4.16), умноженное слева на / , сложим с уравне нием (11.4.18), умноженным справа на у. В результате приходим к следующему дифференциальному уравнению относительно нормы столбца у:
= у*(Л + Л > + е/(Л'< + ЛГ4)у. |
(11.4.19) |
Поскольку Л + Л* — эрмитова матрица, то
/( Л + Л’)у < 2 р-Ну||2, |
(11.4.20) |
где ц — наибольшее собственное значение матрицы -|(Л + Л*).
Учитывая структуру матрицы Л (см. (11.4.17)), отметим, что
р. = 0, если Ап не имеет положительных собственных значений, а
впротивном случае ц — наибольшее положительное значение мат рицы Лп. Далее, при заданных е, > 0 (EJ < е0) и при данном номере
приближения т можно указать такое не зависящее от е постоянное число а,, что для всех т € [0, L] и е< еа
1|лд1<«г |
(11.4.21) |
Принимая во внимание (11.4.20) и (11.4.21) из (11.4.19), полу чаем
< (ц + еа^НуН (£<6^. |
|
Отсюда |
|
t |
|
ИКОН < ||у(0)||ехр $ (ц + eax)dt = |
|
о |
t |
t |
|
= ||у(0)||схр (д,т + $ \Ldt) ** ||y(0)||exp(a1L + |
$ МО- |
о |
о |
Итак, |
|
t
IW0II « l|y(0)||exp(<i,L + J рЛ). (11.4.22)
о
Если на сегменте [0, L] все собственные значения эрмитовой мат рицы ^ (Л,, + А'п ) неположительны, то мы имеем в этом случае
имеем
t
11.У(011 < НК0)||ехр я,х + а3ехр (а,х) J e ^ ' d t ' ^
О
^ ехр (а,т)(||у(0)|| + a3f).
Отсюда следует следующая |
|
Л ем м а 11.4.2. Пусть на сегменте [0,L] |
все собственные |
значения эрмитовой матрицы ^ (An + A\t) |
неположительны. |
Тогда существует положительное число £j $ е0 такое, что любое решение y(t) неоднородного уравнения (11.4.14), начальное значе
ние которого ограничено условием ||у (0 )|| |
< с0, допускает оценку |
||
IIУСО II * exp (a, L)(c0 + |
a3t). |
(11.4.25) |
|
Теперь оценим норму решения z — у — ут уравнения (11.4.13). |
|||
В этом уравнении |
|
|
|
* W |
- i ( T) е) - М ^ ( т , е) = 0 ( s m+ 1), |
|
|
так что имеем |
|
|
|
^ |
= Д(«О* + е* +1(N2y + Ns), |
(11-4.26) |
|
где Ns — матрица, регулярная относительно е в окрестности точки е = 0. Уравнение (11.4.26) представим в виде
т
^ = A z + E'2,tk~lA [kiz + em + l(N2y + Ns).
*=i
Используя последнее соотношение, получим следующее дифферен циальное уравнение относительно нормы столбцовой матрицы z:
2 |
т |
т |
|
= z*(A + |
A*)z + ez‘( 2 e * - 1A[AI + j е* - 1 д т * )2 + |
|
|
|
*=1 |
* =1 |
|
|
+ em + i[z'(N2y + |
Ns) + (y'N*2+ Л£)г]. |
(11.4.27) |
При заданных e, > 0 (EL^ e0), L > 0 существуют положительные по стоянные a4, а5, a6, такие что при всех х G [О, L] и е < е1
т |
|
||2 е * - 'Л “ '||« а 4, ||Л ,||< в 5, ||ЛГ3||* о 6. |
(Ц.4.28) |
* = ! |
|
Принимая во внимание неравенства (11.4.28) и (11.4.27), получаем ^ « 2 ц|М12 + 2 ea4||z||2 + 2 е",+ 1(а5||у | + а6),
или
d\\z\\2 |
(ц + ва4)||г|| |
+ еп, + 1(я5||у|| + я6). |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
t |
|
|
||z(OII < ||2 (0 )||ехр $ (р + ta4)dt + |
|
||
|
О |
|
|
|
t |
t |
|
- f EOT + 1j (a5||y|| + <z6)exp j (\и + ta4)dtndt'. |
(11.4.29) |
||
|
|
v |
|
Бели все собственные значения матрицы ^ (Ли -+- Л|х) неполо |
|||
жительны, имеем |
|
|
|
|
t |
t |
|
||z(/)ll < ||z(0 )||exp (а4х) + гта ^ |
exp J (p + za4)dt"dt' < |
|
|
OV
<||z(0)||exp (a4x) + Em~ia1L exp (<z4x),
где |
|
a7 = <25(C0 + a3L)exp (a{L) -+■ща6. |
|
Отсюда следует следующая |
|
Л ем м а 11.4.3. Пусть || у(0) || ^ с0, ||z(0) || ^ em~ t | 0 |
и на [0 ,L\ |
все собственные значения эрмитовой матрицы - (Л„ + |
J431) непо |
ложительны. Тогда существуют положительные числа е , ^ е 0 и такие, что
|
11*(01«е"- 1С| |
(‘ е [О,Ц , t S (0, е,)). |
(П.4.30) |
||
|
|
|
С |
|
|
Из вышеизложенного вытекает следующая |
|
||||
Т е о р е м а |
11.4.1. Пусть х(0) = хт (0) |
и на промежутке |
|||
0 ^ х ^ L |
все |
собственные |
значения эрмитовой |
матрицы |
|
I" |
j) |
неположительны. Тогда при некоторых постоян |
|||
- (Ли + |
|||||
ных £, > 0 |
и |
ст> 0 имеет место оценка |
|
|
|
1 1 * ( 0 - * „ ( 0 И ‘т- ‘с„ |
(г е (0,7 ], с е |
(0, е,)). |
(11.4.31) |
||
В самом деле, согласно (11.4.12) и (11.4.30) имеем |
|
||||
||х - |
*Л « ||X<”>||||z|| « е» - ‘Н ^ Н с, = е” - ' С„. |
||||
11.4.3. Асимптотическая |
оценка на промежутке tl **t**t2. |
|
Из непрерывности матрицы j |
(Ап + |
следует ограниченность |
ее собственных значений. |
Поэтому |
при фиксированном |
е2 G (0, е,) существует такое число а2, что
t
\\иИ**а2 (*е [0,^1). (11.4.32)
о
Следовательно (см, (11.4.22)),
\\У(*)\\ |
с0ехр ( а ^ + а2) = с |
(t е |
[0,у]). |
|
|||||
Таким образом, имеет место следующая |
положительное |
число |
|||||||
Л ем м а |
11.4.4. |
Существует |
такое |
||||||
е, ^ е0, что для каждого фиксированного числа |
G (0, eL) |
мож |
|||||||
но указать такое с > 0, |
что любое решение |
y(t) |
однородного |
||||||
уравнения |
(11.4.16), |
начальное |
значение которого ограничено |
||||||
условием |
||у(0)|| |
^ с0, |
будет |
удовлетворять |
неравенству |
||||
||у(0Н<с |
(t G [0, U е2]). |
|
|
|
|
|
|
||
Обратимся теперь к неравенству (11.4.24). При фиксированном |
|||||||||
е2 (£2 е (0, е , ) ) , учитывая (11.4.32), находим |
|
|
|
||||||
НЯОН ^ ехр (а2 + ъа |
|
|
|
|
|
|
|||
Принимая |
здесь |
во |
внимание, |
что подынтегральная функция |
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp ^ (и- + ta ^d t" |
ограничена на [0, t], т.е. |
|
|
|
|
||||
v |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр ^ (ц + m x)dt" < bY |
(5t > 0), |
|
|
|||||
имеем
IIHOII < exp (а2+ Еа,0(||у(0)|| + a3btt).
Отсюда следует Л ем м а 11.4.5. Существует такое положительное число
Е1^ ео» что лк>б°е Решение y(t) неоднородного уравнения (11.4.14) начальное значение которого ограничено условием ||у(0)|| $ с0, на промежутке 0 < t < Ы г д е % — фиксированное число на интер вале (0, Ej), допускает оценку
||у( 0 II ^ exp (.a2 + n1L)(c0 + fl35,0-
Используя лемму 11.4.5 |
и |
принимая во |
внимание, |
что |
t е [0, L/ej], имеем |
|
|
|
|
OslIy(0 II + а6«£ а5ехр |
+ |
atL)(c0 + a3bt |
) + а6 <zg. |
|
Тоща (см. (11.4.29)) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
llz(OII < llz(0)|| exp J (ц + ta4)di +
О
t t
+ em+1ag J exp ^ (p + ea4)dt'dt" «S
оt>
**exp (a2 + ea4f)(llz(0)|| + £w +1ag52r),
ще b2 — положительное число такое, что
о
$ 0* + ea4)</f" *S 52, v
и далее, так как t е [0, L /EJ], то
||z(OII <ехр (a2 + a4£)(||z(0)|| + ew +1a862^ ) .
Полученное неравенство доказывает следующее положение.
Л ем м а 11.4.6. Пусть ||у(0)|| < с0, ||z(0)|| < em:flc10. Тогда су ществует такое положительное число е, < е0, что для каждого фиксированного числа Е (0, ех) можно указать с1 > 0 такое, что
||Z(O I|*e” +' Cl |
(* е [0 , £ ]) . |
Теперь можно оценить погрешность приближенного решения х т.
Имеем Ifх — хот|| $ ||i^ rn)||||z||. Отсюда, используя лемму 11.4.6, по лучаем
||* - х Л «5 | | ^ ’»)||е” + 1с1 =
Таким образом, мы пришли к следующей теореме.
Т е о р е м а 11.4.2. Пусть х(0) = хт(0). Тогда существует та кое число е, > 0, что при фиксированном е2 G (0, e j) и неко тором ст на сегменте [tv t2\ С [0, L/sj] имеет место оценка
Н*(0 - *«(011 < cmtm + l (е< е2» г е
Полученные оценки устанавливают асимптотический характер приближенного решения (11.4.4)—(11.4.6) уравнения (11.3.1).
ГЛАВА 12
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящей главе рассматриваются системы линейных диффе ренциальных уравнений, имеющих в векторно-матричной записи вид
£ = P(t)x, |
(12.0.1) |
где х — вектор-столбец с элементами xv х2> |
xn; P(t) — квад |
ратная матрица порядка л, элементы которой являются, вообще го воря, комплексными функциями действительного аргумента. Пред-
• полагается, что P(t) непрерывна по t на промежутке [*0, 71], где
Т— число, превосходящее /0, или символ оо.
§12.1. Проблема преобразования системы
линейных дифференциальных уравнений в другую с наперед заданной матрицей
Успех решения той или иной задачи, связанной с рассмот рением линейной дифференциальной системы вида (12.0.1), не редко зависит от конкретного выражения матрицы P(t), ее типа и структуры. Так, например, в случае постоянной матрицы P(i) = Р = const мы можем сразу располагать выражением для
общего решения системы (12.0.1) в виде x = ePtc, где с — столбцовая матрица произвольных постоянных.
Определенные удобства получает исследователь и в случае, когда P{t) имеет, например, диагональную структуру, так как в этом слу чае легко получить общее выражение для фундаментальной матри цы. В самом деле, когда Р{1) — диагональная матрица, матричное дифференциальное уравнение
£ = P(t)X, |
X{t0) = Е |
имеет решение
I
X(t) = exp $ P(t)dt.
Если по той или иной причине конкретный вид матрицы P(t) затрудняет решение задачи, стоящей перед исследователем, то, естественно, возникает желание преобразовать исходную систему (12.0.1) путем соответствующей замены переменных к другой системе того же вида, но с другой матрицей, представ ляющей большие удобства и меньше хлопот для достижения цели. В связи с этим представляется интересным решение вопроса: возможно ли путем соответствующего линейного преоб разования от системы (12.0.1) с матрицей P(t) перейти к другой системе вида (12.0.1), но так, чтобы при этом матрица преобразованной системы обладала нужными, наперед заданными свойствами. Ниже рассматривается решение проблемы, которую коротко можно сформулировать так:
Проблема. Пусть дана система линейных дифференциаль ных уравнений
dx |
P(t)x |
( 12.1.1) |
dt = |
|
|
с действительной или комплексной матрицей P(t) |
типа п х п, |
|
непрерывной на [f0, Т). Существует ли замена переменных |
||
х = |
K(t)y |
(12.1.2) |
с невырожденной матрицей K(t), непрерывной и дифференцируе
мой на Д = [f0, Т), приводящая систему (12.1.1) |
к виду |
f = 5 ( 0 y |
(>2.1-3) |
с наперед заданной матрицей B(t)? Как увидим ниже, эта пробле ма имеет положительное решение.
Подставим (12.1.2) в (12.1.1). Будем иметь
f У + К % = Р К у . |
|
Отсюда, используя (12.1.3), получаем |
|
^dt£ = Р К - К В . |
(12.1.4) |
Последнее равенство и все предшествующие будут выполняться, если
4 £ = Р К - К В . |
(12.1.5) |
dt |
|
Таким образом, решение сформулированной проблемы сво дится к вопросу о существовании решения и решении матрич ного дифференциального уравнения (12.1.5), которое будем на зывать матричным дифференциальным уравнением кинемати ческого подобия. Такое название нам кажется естественным,
исходя |
из следующих соображений. Как известно, две матрицы |
Р и В |
называются кинематически подобными, если они связаны |
соотношениями (12.1.5) при некотором К. Две линейные систе мы, матрицы которых кинематически подобны, называются ки нематически эквивалентными.
§ 12.2. Матричное дифференциальное уравнение кинематического подобия.. Кинематически подобные матрицы и кинематически эквивалентные системы
12.2.1. Общее решение матричного дифференциального уравнения кинематического подобия. Как было показано выше, матрица линейного преобразования системы (12.1.1) к системе (12.1.3) с наперед заданной матрицей B{t) является решением мат ричного дифференциального уравнения кинематического подобия (12.1.5). Общее решение уравнения (12.1.5) может быть получено из теоремы 10.1 нашей книги [1, с. 154]. Однако, чтобы избавить читателя от необходимости обращаться к другим источникам, мы приведем здесь все необходимые для последующего изложения ре зультаты с соответствующими построениями.
Т ео р ем а 12.2.1. Решение матричного дифференциального |
|
уравнения |
|
^ = P ( t ) K - K B ( t ) , 1ф 0) = С, |
(12.2.1) |
где P(t), B(t) — квадратные матрицы порядка п, непрерывные на
Д = [*0, Т), а С — заданная |
постоянная матрица |
порядка п, |
представляется в виде |
|
|
K(t) = |
X(t)CZ(t), |
(12.2.2) |
где X{t), Z(t) — соответственно решения матричных уравнений
% =PU)X, |
*((„) = £„, |
(12.2.3) |
<£ = -ZB(t), |
Z(t0) = ЕЛ. |
(12-2.4) |
Здесь Еп — единичная матрица порядка п.
Д о к а за т е л ь с т в о . Дифференцируя (12.2.2) по / и принимая во внимание (12.2.3) и (12.2.4), получим
dt |
CZ + ХС ^ = PXCZ - XCZB. |
ut |
К тому же виду приводится, очевидно, и правая часть уравнения (12.2.1), если вместо К подставить выражение (12.2.2). Тем самым теорема доказана. ■
12.2.2. Решение проблемы преобразования линейной систе мы в другую с наперед заданной матрицей. Доказанная выше те орема 12,2.1 позволяет получить полное решение проблемы, сфор мулированной в § 12.1. Справедлива следующая
Т ео р ем а 12.2.2. Пусть P(t) — квадратная матрица порядка п, непрерывная на [/0, Т). Тогда преобразование
х = K(t)y |
(12.2.5) |
с невырожденной и дифференцируемой на |
[£0, Т) матрицей K(t) |
приводит векторно-матричное уравнение |
|
% = P ( t ) х |
(12.2.6) |
к уравнению |
|
% = т у |
(12Х1) |
с наперед заданной непрерывной на [/0, Т) |
матрицей B(t) тогда и |
только тогда, когда |
|
K(t) = X(t)CZ(t), |
(12.2.8) |
где X(l) и Z(t) — соответственно единственные решения мат ричных уравнений
% = P(t)X, |
Х(1„) = Е„ |
(12.2.9) |
^ = - Z B ( ( ) , |
Z((0) = B„, |
(12.2.10) |
С — постоянная невырожденная матрица порядка п, |
Еп — еди |
|
ничная матрица порядка п.
Д о к а за т е л ь с т в о . Замена переменных (12.2.9) приводит си стему (12.2.6) к виду (12.2.7) тогда и только тогда, когда K (t) — решение матричного дифференциального уравнения кинематиче
ского подобия |
|
— ■= РК — КВ. |
(12.2.11) |
at |
|
Согласно теореме 12.2.1 матричное дифференциальное уравнение (12.2.11) при начальном условии
K(t0) = C |
(12.2.12) |
имеет решение K(t) = X(t)CZ(t), где X(t) и Z{t) — соответственно единственные решения матричных уравнений (12.2.9) и (12.2.10).
Для доказательства теоремы остается показать, что если преоб разование (12.2.5) приводит систему (12.2.6) к виду (12.2.7), то