книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfВ силу (11.3.14) в соотношениях (11.3.11) можно принять
4 0' = /со, |
Д1°1эЛ0 |
(0 = 1 ,2 ). |
(П.3.16) |
|
11.3.2. Построение А**1 и Л^*1. Построение А'*1» |
из мат- |
|||
ричного уравнения (11.3.2) |
приводится |
методом, |
изложенным в |
|
§ 9.2. Имеем (см. (11.3.12)) |
|
|
|
|
Л KW = |
+ JCjpiAj*» + |
ч. |
|
Из построенных выше матриц Му и Мг образуем квадратную мат рицу
(МЛ |
(е |
а ~ха |
ЛГ,ЧР' |
C/fc, |
11 Л12 |
||
W |
|
0 |
I |
|
|
||
Легко проверить справедливость соотношений |
|||
М К= К М = Е п, |
(11.3.17) |
||
|
МА1К = А. |
(11.3.18) |
Учитывая все эти соотношения, умножим (11.3.12) слева на М. По лучим
AQi*1= Qi*JAa + МКаAj*14- M2)i*-4, |
(11.3.19) |
где |
|
Qtfl = MtfJ*I. |
(11.3.20) |
Матрицу Qi*1, состоящую из п строк и кв столбцов (при о = 1 имеем ку, а при су = 2 имеем ка — п —&,), представим в виде блоч ной матрицы:
|
ей*1 = coi (Q[kj е й ' |
QW), |
|
||
где Qia — |
Здесь |
е!*1. |
Q!*1. |
e ll', е й ' |
— матрицы |
размеров соответственно |
куХку, |
куХ(п — кг), |
(п — ку)х ку, |
||
(п — ку) X (п — ку). Так как А имеет квазидиагональную струк |
туру, то равенство (11.3.19) распадается на два |
независимых |
|||
матричных равенства: |
|
|
|
|
+ |
+ |
( s = l,2 ) . |
(11.3.21) |
|
При s = а отсюда находим |
|
|
|
|
л'*' = A0Q'*' - е й 1Л. - |
М М * -" |
(0 = 1 ,2 ). |
|
(11.3.22) |
При s ^ a из (11.3.21) имеем |
|
|
|
|
|
AsC ^l = Q]5lA0 + MJZ)i‘ - 1'. |
|
(П.3.23) |
|||
Из (11.3.23) в силу (11.3.15) имеем |
|
|
|
|
|
An Q[^ = |
|
при |
s = 1, |
о = 2; |
|
О = Qjf1Ап + Мгй[к ~11 |
при |
s = 2, |
о = 1 . |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Q $ = A-ilM lD\l‘-'K |
Qif1= JV/jDj1-11 Л“'. |
(11.3.24) |
|||
Что касается субматриц |
|
( а — 1,2; А— 1, 2 |
,...), то в |
качестве этих матриц могут быть приняты соответствующих размеров произвольные, достаточное число раз дифференцируе мые матрицы.
Используя произвольность выбора матриц |
примем |
|||
|
(о = 1 .2 ; * = |
1 ,2 ,3 ,...). |
(11.3.25) |
|
При этом |
|
|
|
|
= [M 2D \к- и л - ‘| ■ Й*1= |
|
О |
/ |
|
В соответствии с этим |
|
|
||
|
|
|
|
|
К\» = tfQj*1= |
К гМгО\к~"А ^ = PtD|* - « Л7,', |
|||
К[1' = KQW = K tA tfM tD ? -0 = diag (Arf, 0)P1D ^ ~ lK |
||||
Итак, |
|
|
|
|
K\k] = |
= diag (>lJil, 0)P£2)i*-«. |
(П.3.26) |
||
Выражения для |
при условии (11.3.25) принимают вид |
|||
AW = MaD\f-~ 11 (о = |
1,2). |
|
(И .3.27) |
Матрицы К)**, A £*J, D\f ~ представим в виде блочных матриц
где К\\К К.\£, Л-21» * Z)!!1 — матрицы типов соответственно kt х A,, А{х (и — А,), А,- х Ар А, х (n —At).
Из соотношений (11.3.26), (11.3.27), используя вышеприведен
ные (см. (11.3.12)) |
выражения для |
нетрудно установить |
|||||
следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
^l*1—О |
при |
А = |
1, 2 ,..., Ц, — И-2— 1; |
|
|||
ХДО = 0 |
при |
у = |
2, |
.., р\ |
А — 1, 2,..., |ij |
(iy 1» |
|
|
|
|
|
при |
А = |
1, 2, 3,...; |
(11.3.28) |
|
|
|
|
|
|||
К $ = 0 |
при |
/ = |
2, |
.., р, |
А= |
1, 2, |
|
Л}? = 0 |
при |
j = |
2, |
.., Pi |
А |
1, 2,..., Ц‘ |
1; v (11.3.29) |
|
|
|
|
■^22 ~ ^21^11*^12 ... ^21-^llMlp|. |
|||
|
|
|
|
|
|
О |
|
В силу последних соотношений матрицу A(t, е) можно записать так:
|
|
A2(f, е) = |
|
|
|
|
е), |
(11.3.30) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
£(£) . =diag (Bv |
* - iS £ v .... |
|
||||||
Я- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' B°2U, •)' |
'■»**(<»£) |
|
ЩрО.*)' |
||||
я°(<, е) = |
|
|
|
|
|
|
|
(11.3.31) |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«)( |
|
|
*) |
|
(f, е> |
|
|
|
|
|
|
рру ’ |
*) |
||
Я?((, е) = |
2 |
e‘AjSi-',1+*l(0 . |
|
<= 2, 3 ,.... р. |
|
|||
Матрица - 8 ° ( * , |
е ) |
такова, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
(^ 2 2 (0 ••• |
|
|
|
(Л Й о |
- |
( |
О |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
причем (см. (11.3.29)) блок B22(t) - А22А2ХАХ{АХ2 является при г ^ 2 и условии (11.3.2) невырожденной матрицей; точнее Idet Л22| э. с, > О на /. Это следует из условия (11.3.2) и равенства
*Ахх Л12 |
—del Лр det (-^22” А2{АХХАх2)> |
det Агх А22 |
где
# 1 = {\h.Ek ’ V-iEk > VpEk )’ /о» е) = М2(/, е) fifty. (11.3.37)
Вышеизложенные результаты позволяют сформулировать следу ющую теорему.
Т е о р е м а II .3.2. Пусть
Iе Матрица A°(t, е) голоморфна по обеим переменным в обла сти /x Q и имеет асимптотическое разложение вида (11.1.4).
2°. Матрица в области I х Q голоморфна по е и удовлетво ряет условиям существования и единственности решения задачи Коши.
3°. Матрица А(1) = Л°(/, 0) удовлетворяет условию (Г1.3.2). Тогда 1° Система (11.1.3) может быть формально удовлетворена
выражением
х = £,(/, е)у, + K2(l, г)у2,
где у, и уг — соответственно решения векторно-матричного уравнения
Ц*- = А,(/, e)yt + Mx(l, е)fifty
к{-го порядка и уравнения
e"i |
= fi°(/, е)у2 + /(** е) |
(11.3.38) |
п — кх-го порядка. |
|
|
2° Если в условии |
(11.3.2) г >2, то матрица B{t) обладает |
|
свойством (11.3.38). |
|
|
3е. Матрицы Ka(t, е), Aa(f, е), 13°(f, е) определяются соотно
шениями (11.3.6), (11.3.15), (11.3.16), (11.3.26), (11.3.27), (11.3.28), (11.3.31), (11.3.33), (11.3.35), (11.3.37).
Уравнение (11.3.38) порядка п — кх имеет такую же структуру,
что и исходное уравнение (11.1.3), поэтому, если в условии (11.3.2) г > 2, то к уравнению (11.3.8) применима доказанная теорема и, зна чит, снова можно произвести отщепление подсистемы порядка к2, со
ответствующей второй по темпу группе движений. При этом остав шаяся часть системы будет иметь порядок п — кх—к2 и по форме
опять будет аналогична исходному уравнению; поэтому при г 5* 3 в условии (11.3.2) возможно отщепление подсистемы, отвечающей третьей по темпу группе движений, и т.д. Этим путем при г = р — 1 можно произвести полное расщепление р-темповой сингулярно воз мущенной системы на р однотемповых подсистем.
Предполагая, что е ^ е0> умножим обе части уравнения (11.4Л0)
на 1С<м>“ 1(т, б) слева. Получаем
I I = А^>(т, е)у + в” *■1Х<т) ~1ЛТДт, е) у +
|
+ A<w>" 1(т, е) |
е). |
(11.4.11) |
Вычитая |
из равенства (11.4.7) равенство |
(11.4.4), имеем |
|
х — Хт = |
/Д'п>(т, е)(у — ут). Отсюда |
|
|
|
£)11 Ну — y,nW |
(н.4.12) |
Таким образом, задача по оценке нормы разности л* —х т сво дится к оценке нормы столбцовой матрицы z — у — у т , которая,
как это следует из равенств (11.4.5) и (11.4.11), удовлетворяет уравнению
^ |
= |
Л(»”)(т, e)z + |
е) _ |
м^т\ т, е)]£<п£><р(г, е) 4- |
|
|||||
|
|
|
|
4* ет +1К('п) |
г ) |
|
у . |
(11.4.13) |
|
|
|
Оценку погрешности приближенного решения проведем раз |
|
||||||||
дельно для промежутков 0 |
L |
и ^ г ^ |
(L, |
t2 — фиксиро |
|
|||||
ванные числа). |
|
оценка |
на |
промежутке 0 < т |
. |
|||||
|
11.4.2. |
Асимптотическая |
||||||||
Запишем (11.4.11) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
& = A M y + tm + LN2y + N r |
|
|
(11.4.14) |
|
|||
Здесь N 2 , N 3 |
— матрицы, регулярные относительно е в |
окрестности |
|
|||||||
е = |
0. |
Оценим сначала на промежутке [О, L] |
решение y(l) одно |
|
||||||
родного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^1 = д(ш)у |
zm + lN 2y, |
|
|
(11.4.15) |
|
начальное значение которого ограничено условием || у(0) || $ с0. Пе
регруппируем слагаемые правой части (11.4.15), принимая во вни мание (11.4.6). Будем иметь
|
dt |
—Лу 4- еЛГ4у, |
|
(11.4.16) |
|||
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
л = |
(Ai |
° N |
0\ |
(11.4,17) |
|
N A - 'Z |
1дШ + t,nNv |
||||||
о |
л. |
о о |
|||||
к«*1 |
|
|
|
|
|
|