§ 2. Погрешности прямых измерений

Все ошибки прямых измерений можно разделить на три группы: промахи, систематические и случайные погрешности.

Промахи – это грубые ошибки, являющиеся результатом низкого уровня подготовки экспериментатора, производящего измерение, небрежностью или неожиданно сильными внешними воздействиями. Промахи обычно имеют резко отличающееся от других измерений значение и приводят к большим по абсолютной погрешности отклонениям от среднего значения измеряемой величины. Результат измерения, содержащего промах, не должен, естественно, учитываться при обработке данных – его следует просто отбросить (см. [1]).

Систематические погрешности – погрешности, свя­занные с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой прибора. Они так­же появляются, если пренебречь действием некоторых внешних факторов – температуры, атмосферного давления, влажности, электрических и магнитных полей.

Таким образом, систематические погрешности вызыва­ются вполне определенными причинами, величина их ли­бо при всех повторных измерениях остается постоянной (как в случаях округления или смещения нуля шкалы прибора и др.), либо изменяется по определенному закону (как в случаях неравномерности шкалы, неравномер­ности сечения капилляра термометра и т. д.).

Случайными погрешностями называют такие погрешности, которые при повторных измерениях изменяются как по величине, так и по знаку.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое наблюдение различно и не может быть за­ранее учтено. Случайные погрешности вызываются сотрясе­ниями фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т. п. Случайные погрешности возникают также в резуль­тате несовершенства наших органов чувств. Например, если между светящимся предметом и экра­ном установить линзу, а затем, перемещая экран, получить на нем изображение предмета, то при многократной навод­ке на резкость расстояние от линзы до экрана будет различ­ным. В данном случае разброс результатов многократных измерений обусловлен несовершенством глаз эксперимен­татора, т. е. имеет место случайная субъективная погреш­ность.

§ 3. Оценка случайной погрешности прямых измерений

Для оценки величины случайной погрешности отдельного измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью среднеквадратичной погрешности, или стандартной погрешности

(6)

где – среднее арифметическое измеряемой величины,а_i – результат отдельного измерения.

Если измеряемая величина у является суммой (или разностью) двух величин х₁ и х₂, результаты измерений которых независимы, тогда погрешности суммируются по формуле:

. (7)

Из закона сложения погрешностей (7) следует важный вывод, относящийся к определению погрешности результата серии измерений. Результат серии измерений отягчен меньшей ошибкой, чем результат каждого отдельного измерения. Средняя квадратичная погрешность результата серии измерений равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений [3,4]

. (8)

При практической работе важно строго разграничивать применение средней квадратичной ошибки одного измерения и средней квадратичной ошибки результата серии измерений .

Последняя применяется всегда, когда нам нужно оценить погрешность того числа, которое мы получили в результате всех произведенных измерений. В тех случаях, когда мы хотим характеризовать точность применяемого способа измерений, следует характеризовать его ошибкой .

Если число измерений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина стремится к некоторому постоянному значениюσ, которое можно назвать статистическим пределом :

. (9)

Именно этот предел и называют генеральной средней квадратичной ошибкой (стандартной погрешностью) измерения. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений.

Соответственно

(10)

и

. (11)

Относительная величина средней квадратичной погрешности, выраженная в процентах, носит название коэффициента вариации:

(12)

Назовем доверительным интервалом интервал

в который попадает истинное значение а измеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений (или доверительной вероятностью) называется вероятность α того, что истинное значение а измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина α выражается или в долях единицы, или в процентах и показывает долю результатов (из общего числа измерений), погрешность которых не выходит за интервал ±Δа.

Чем больше величина доверительного интервала т. е, чем больше задаваемая погрешность результата измерений Δа, тем с большей надежностью ис­комая величина а попадает в этот интервал.

Для того чтобы получить оценки границ доверительного интервала для а при малых n (практически при n < 20) применяют коэффициент Стьюдента t_α.

Коэффициенты Стьюдента t_α зависят от числа произведенных изме­рений n и от величины надежности α:

. (13)

Задавая вероятность того, что истинное значение из­меряемой величины а попадает в данный доверительный интервал, т. е., другими словами, задавая надежность α, равную определенной величине ³, по числу проведенных измерений п определяем значение коэффициента Стьюдента t_α для этих данных⁴. Тогда, опре­делив предварительно , используя формулу (8), из (13) най­дем погрешность Δa:

Δa= t_α ·. (14)

После этого результат измерений можно записать в виде

или

(α = …) (15)

что означает, что истинное значение величины а попадает в доверительный интервал () с надежно­стью, равной α.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа: величину доверительного интервала и доверительную вероятность. Значение последней позволяет оценить степень надежности полученного результата⁵.

Довольно часто доверительный интервал берут равным 3, тогда вероятность того, что результаты измерений отличаются от истинного значения на величину, не большую Δх (по таблице приложения 2), равна 0,997.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью иногда пользуются средней арифметической погрешностью, вычисляемой по формуле:

. (16)

Точно так же, как и для средней квадратичной погрешности, истинное генеральное значение средней арифметической погрешности ρ определяется соотношением:

. (17)

Относительная погрешность измерений определяется соотношением:

ε =. (18)

При достаточно большом числе наблюдений (для n>30) между σ и ρ существуют простые соотношения [5]:

= 1,25 или ρ = 0,85. (19)

В большинстве случаев целесообразно пользоваться среднеквадратичной погрешностью, а не средней арифметической. В первую очередь потому, что, пользуясь стандартной погрешностью, легче определять доверительные вероятности, так как для этого существуют специальные таблицы. Преимуществом средней арифметической погрешности является то, что ее проще вычислять. Естественно, что при большом значении n безразлично, какой из погрешностей пользоваться, так как между ними существует вышеуказанное соотношение (19). При малом числе n всегда нужно пользоваться стандартной погрешностью или коэффициентом вариации.