§ 5. Погрешности косвенных измерений

Общие правила вычисления погрешностей косвенных измерений выводятся с помощью дифференциального исчисления [4].

Пусть искомая величина z определяется из прямых измерений величины а, причем

z = f (a). (22)

Тогда

. (23)

Полагая величину погрешности прямых измерений Δа, очень малой по сравнению с а, можно для определения погрешности косвенных измерений воспользоваться связью дифференциала функции df с бесконечно малым изменением аргумента

. (24)

Абсолютную погрешность результата косвенных измерений получим, используя разложение функции f(a) в ряд Тейлора

(25)

Отбрасывая члены, содержащие и более высокие степени, получим

(26)

т. е. абсолютная погрешность вычисления функции одного переменного равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на первую производную этой функции.

Относительная погрешность равна

(27)

Полагая, что ~da и

(28)

где знак d после дифференцирования следует заменить на Δ.

Т. е. относительная погрешность функции одного переменного равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.

Пусть измеряемая величина является функцией двух непосредственно измеренных величин . Можно показать [4], что

. (29)

Здесь и - частные производные функции по переменныма и b соответственно (вычисляются при ), а величиныопределяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности α.

Напомним, что частная производная функции многих переменных f по одной переменной, например а, является обычной производной функции f по а, причем переменная b считается постоянным параметром.

Аналогично для получим

(30)

При оценке точности косвенного результата часто оказывается удобным получить сначала относительную погрешность ε. Для этого достаточно прологарифмировать, а затем продифференцировать расчетную зависимость

(31)

Затем определяется абсолютная погрешность измерения: .

Универсальных формул для подсчета величины погрешности косвенных измерений не существует. Вид формулы для расчета погрешности будет зависеть от функциональной зависимости, по которой рассчитывается результат косвенного измерения. Эту формулу можно найти, применяя равенство (30)⁶.

§ 6. Точность результата измерений

Результат любого измерения всегда представляется приближенным числом, а точность этого результата определяется величиной погрешности.

При нахождении величины погрешности расчет по формулам (14), (16) (для прямых измерений) и (30) (для косвенных измерений) дает приближенное значение погрешности Δх со многими знаками. Очевидно, что они не отражают точность результата измерений.

Для оценки числа верных цифр в полученном значении погрешности необходимо, во-первых, пользоваться правилами приближенных вычислений⁷ при расчете величины Δх (метод подсчета значащих цифр).

Во-вторых, необходимо применять следующее правило:

При записи погрешности следует округлять⁸ ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является единицей или двойкой, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях (метод округления). Так, правильно записать ± 3; ± 0,23; ± 0,08; ± 0,14 и не следует писать ± 3,2; ± 0,63; ± 0,084, так как такая запись претендует на неоправданную точность. Не следует также округлять ± 0,14 до ± 0,1.

Поясним это правило. Опыт показывает, что в учебных лабораториях измерения выполняются студентами с точностью не более ± 5 %. Поэтому полученную погрешность измерений можно смело округлить так, чтобы ее точность не превышала 95 % от полученного значения. Если вычисление стандартной ошибки приводит к 0,14, то округление 0,14 до 0,1 изменяет величину погрешности на целых 40 %, в то время как округление до двух значащих чисел, числа, первая значащая цифра которого «1», дает максимальную погрешность ± 5 %. Округление до двух значащих цифр числа, начинающегося с «2», дает максимальную погрешность ± 2,5 %, но если оставить только одну цифру, то погрешность такого округления может составить до 25 %.

Точность полученного результата обязательно должна согласовываться с точностью погрешности. Поэтому, при записи результата измерений, необходимо соблюдать следующее правило:

При записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Так, один и тот же результат, в зависимости от погрешности, запишется в виде: 1,2 ± 0,3; 1,24 ± 0,03; 1,243 ± 0,012 и т.д.

Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении получен результат m = 0,900 + 0,004 г, то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись m = 0,9 означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. Аналогичным образом, если масса тела равна 58,3 кг (с погрешностью в десятых долях килограмма), то не следует писать, что она равна 58300 г, так как эта запись означала бы, что тело взвешено с точностью несколько граммов. Если результат взвешивания должен быть выражен в граммах, то в нашем случае нужно писать 5,83·10⁴ г.