AiNAU2010

П.А. Машаров] § 4. Числа и действия с ними 9

Корень четной степени из отрицательного числа не существует.

Корнем нечетной степени из отрицательного числа a называется такое отрицательное число b, которое при возведение его в эту нечетную степень равно числу a. Запись

+1

означает b2n+1 = a, b <

0, n N.

2n √a = b

Свойства корней:

n

√ab =

|a| ·

|b|,

a · b > 0.

(4.9)

+1

am/n = √am, a 0.

2n

2n+1

2n

2n √ 2n+1

√ 2n

b

N

b

a = b

√

a;

b

a =

√a,

a

0,

n

(4.10)

·

| | ·

n

2n

2n

2n

2√

2n

√ 2n

N

b ·

√

a =

b a, b 0;

b ·

√

a =

−

b

a,

b < 0,

n

(4.11)

.

4.4. Модуль действительного числа и его свойства. Определение:

|a| =

a,

a 0,

(4.12)

−

a,

a < 0.

Свойства:

|a| 0,

| − a| = |a|,

a |a|;

(4.13)

|a|2n = a2n,

|ab| = |a| · |b|,

|a/b| = |a|/|b|, b = 0;

(4.14)

n

√

2

2n

|a + b| |a| + |b|,

|a − b| |a| − |b| ;

= |a|,

2√

= |a|.

(4.15)

a

a

4.5. Целая и дробная части, знак числа, факториал. Целой частью числа a (или антье a) называется наибольшее целое число, не превышающее числа a; обозначение [a]. Таким образом, [a] = max{k Z: k a}. Дробной частью числа a называется {a} = a − [a]. Знаком числа a называется

			sign a =		−1,	a < 0,	(4.16)
					0,	a = 0,
					1,	a > 0.
a = a	·	sign a	и	a = a	sign a	.
Заметим, что | |				|	| ·

Факториалом натурального числа n называется n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1! = 1. Разреженным факториалом называют (2n − 1)!! = 1 · 3 · . . . · (2n − 1), (2n)!! =

2· 4 · . . . · (2n). Заметим, что (n)!! = (n!)!, (2n)!! = 2nn!, (2n)! = (2n − 1)!! · (2n)!! .

4.6.Логарифмы. Логарифмом положительного числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a = 1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание

a, чтобы получить число b; обозначение loga b. Десятичными логарифмами называют логарифмы, основание которых равно 10, обозначаются символом lg: log10 b = lg b.

10 Глава III. Тождественные преобразования [И.В. Гридасова

Натуральными логарифмами называют логарифмы, основание которых равно чис-

n→ log∞a b

1 1/n

≈

b = ln b.

лу e e :=

lim

1 +

2,7182818

, обозначаются символом ln: log

+

n

a = 1

b > 0

e

Формулу a

= b (a > 0

,

,

) называют основным логарифмическим

тождеством.

loga 1 = 0,

a > 0,

a = 1.

loga a = 1,

a > 0,

a = 1.

a = 1.

loga(xy) = loga x + loga y,

a, x, y > 0,

x

loga

= loga x − loga y,

a, x, y > 0,

a = 1.

y

loga b =

logc b

a, b, c > 0,

a, c = 1.

,

logc a

loga bp = p loga b,

a, b > 0,

a = 1.

1

a = 1,

q = 0.

logaq b =

loga b,

a, b > 0,

q

logaq bp =

p

a = 1,

q = 0.

loga b,

a, b > 0,

q

1

a / {0, ±1}, b > 0,

k — четное.

logak b =

log|a| b,

k

loga bk = k loga |b|,

a > 0,

a = 1,

b = 0,

k — четное.

§ 5. Многочлены и действия с ними

5.1. Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.

(a + b)(a − b) = a2 − b2.

(a ± b)(a2 ab + b2) = a3 ± b3.

n

(a + b)n =

Cnkan−kbk.

k=0

n−1

an + bn = (a + b) (−1)kan−k−1bk.

k=0

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

	Здесь Cnk =	n!		— биномиальные коэффициенты, которые можно легко вы-
		k!(n − k)!
				k	k+1	=	k+1	, лежащей в основе
	числить с помощью рекуррентной формулы Cn				+ Cn		Cn+1

треугольника Паскаля

П.А. Машаров]					§ 5. Многочлены и действия с ними				11
		1					C00
	1	1					C10	C11
	1	2	1		=	C20	C21	C22
1	3	3		1		C30	C31	C32	C33
1	4	6	4	1	C40	C41	C42	C43	C44
		. . .					. . .

5.2. Многочлен с одной переменной. Многочленом n-й степени с одной переменной называется функция вида Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, где ak R (k = 0, n) называются коэффициентами многочлена, an = 0, x — переменная, n N.

Действительное число α называется корнем многочлена Pn(x), если значение мно-

гочлена при этом значении аргумента Pn(α) = 0. Если α — корень многочлена Pn(x), то существуют числа {bk}nk=0−1: bn−1 = 0 такие, что Pn(x) = (x−α) bn−1xn−1+bn−2xn−2+

. . . + b1x + b0 . В этом случае многочлен Pn(x) делится на (x − α) без остатка, а многочлен Qn−1(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + . . . + b1x + b0 является частным от деления Pn(x) на (x −α). Коэффициенты многочлена Qn−1(x) можно найти с помощью схемы Горнера, то есть bn−1 = an, bn−k−1 = α · bn−k + an−k, k = 1, n − 1.

		3		-6		1		-7		11		-2	Вычисление коэффициентов по схеме Горнера удоб-
													но проводить с помощью таблицы. Продемонстрируем
2		3		0		1		-5		1		0	это на примере. Найдем частное от деления многочле-
													на P (x) = 3x5 − 6x4 + x3 − 7x2 + 11x − 2 на x − 2. В
		2		6		-3		-13		-11		0
													первой строке записываем коэффициенты многочлена
-3		2		0		-3		-4		1		-3	P (x) в порядке убывания степени (если какой-то одно-

член отсутствует, то на соответствующем месте пишем 0). Затем слева пишем число x0 если делим на выражение x − x0. Далее первый коэффициент сносим без изменений, а последующие вычисляем по правилу: x0 умножаем на только что записанное число из второй строки, прибавляем находящееся напротив следующего пустого места число из первой строки и записываем во вторую строку. Так как на последнем месте оказалось число 0, то P (x) полностью разделился на x − x0, таким образом, 3x5 −6x4 +x3 −7x2 +11x−2 = (x−2)(3x4 +x2 −5x+1). В следующем примере найдем неполное частное и остаток от деления многочлена P (x) = 2x5 +6x4 −3x3 −13x2 −11x

на (x+ 3). Таким образом, 2x5 + 6x4 −3x3 −13x2 −11x = (x+ 3)(2x4 −3x2 −4x+ 1) −3. Заметим также, что для реализации схемы Горнера нет необходимости производить возведение в степень, при этом если в первой клеточке записано x0, то в последней получаем значение многочлена P (x0).

12 Глава III. Тождественные преобразования [И.В. Гридасова

Делить многочлены можно также ‘уголочком’. При этом делитель может иметь степень большую единицы, в отличии от схемы Горнера. Деление происходит по правилам аналогичным методу деления уголочком известному для действительных чисел. Например, разделим P (x) = 2x3 + 3x2 − 5x + 1 на x2 − x + 2. Получили

2x3 + 3x2 − 5x + 1 = (x2 − x + 2)(2x + 5) − 4x − 9.

Число α называется корнем многочлена P (x) крат-

ности k, если верно P (x) = (x−α)kQ(x) и α не явля-

2x3 +

3x2 −

5x

+ 1

x2 − x + 2

ется корнем многочлена Q(x). Из основной теоремы

2x3

−

2x2

+

4x

2x + 5

алгебры следует, что у каждого многочлена степени

5x2

−

9x

n существует n корней (вообще говоря, комплекс-

5x2

−

5x + 10

ных) с учетом кратности. Таким образом, если α

—

−

4x

−

9

кратности (

), то

n

n( − 1) ·

j

− k)

.

n(

· (

, 1 +

+ k

корни многочлена

Pn(x) =

an−mxn−m, а sj

— их

m=0

j = 1, k

P x) = a x α s1 . . . x α sk s

. . . s = n

Приведем одно полезное утверждение, немного проясняющее ситуацию в вопросе, среди каких чисел искать корни многочленов определенного вида и называемое иногда теоремой Безу. Если многочлен Pn(x) имеет целые коэффициенты, причем первый коэффициент равен единице (то есть Pn(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, ak Z, k = 0, n), тогда все рациональные его корни являются целыми и содержатся среди делителей свободного члена. Таким образом, для многочленов такого вида всегда можно найти все рациональные корни. Если же первый коэффициент целый, но не равен единице, то можно рассмотреть Qn(x) = ann−1Pn(x), и, сделав замену t = an · x, прийти к многочлену, удовлетворяющему сформулированной теореме.

Для разложения многочлена на множители используют также метод вынесения общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращенного умножения.

§ 6. Тригонометрия

6.1. Определение и свойства тригонометрических функций. Единичной (тригонометрической) окружностью называется окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Каждому действительному числу t соответствует единственная точка Pt единичной окружности. Числу 0 ставится в соответствие точка P0(1; 0), а каждому числу t ставится в соответствие точка Pt, полученная в результате поворота точки P0(1; 0) на угол t вокруг начала координат: если t > 0, то поворот выполняется против хода часовой стрелки; если t < 0 — по часовой стрелке. Каждой точке Pt соответствует бесконечное множество чисел вида t + 2πn, где n Z.

П.А. Машаров]

§ 6. Тригонометрия

13

Всвязи с соответствием точек Pt тригонометрической окружности углам t наряду

спривычной уже градусной системой измерения углов возникает радианная. Радианная мера угла — это длина дуги тригонометрической окружности, пройденная точкой

P при повороте на соответствующий угол. Перевод градусной меры в радианную и

обратно осуществляется по формулам: α рад

=

π · α◦

; n◦ =

180◦

·

n рад .

π

Косинусом числа t называется абсцисса точ-

180◦

ки Pt единичной окружности: cos t = xPt . Сину-

сом числа t называется ордината точки Pt еди-

ничной окружности: sin t = yPt . Тангенсом чис-

sin t

t =

π

+πn, n Z .

ла t называется tg t = cos t

2

Ось тангенсов — прямая x = 1. Тангенс угла

t — ордината точки пересечения луча, выходя-

щего из начала координат и проходящего через

точку Pt с осью тангенсов. Котангенсом числа t

называется ctg t =

cos t

t

= πn, n Z . Ось

sin t

котангенсов — прямая

y = 1

. Котангенс угла

t

— абсцисса точки пересечения луча,

выходящего из начала координат и проходящего через точку Pt с осью котангенсов. Таким образом, на изображенной тригонометрической окружности координаты точек O(0; 0), B(1; 0), E(0; 1); если при этом углы BOPt = t, BONq = q, BOMs = s,BOKl = l, при этом l −2tπ− π Z и s −2qπ− π Z, то координаты остальных точек Pt(cos t, sin t), Nq(cos q, sin q), Ms(cos s, sin s), Kl(cos l, sin l), A(1; tg s) = (1; tg q), C(1; tg t) = (1; tg l), D(ctg t; 1) = (ctg l; 1), F (ctg q; 1) = (ctg s; 1).

6.2. Некоторые точные значения тригонометрических функций

Таблица 6.1: Значения тригонометрических функций некоторых углов

t, рад		0			π							π							π							π		π		3π		2π
			6							4							3								2				2
t, град		0	30◦							45◦							60◦								90◦			180◦	270◦			360◦
											√							√
sin t		0	1							2							3								1			0	−1			0
			2							2							2
				√							√
cos t		1					3						2				1								0			−1	0			1
				2							2						2
				√
			3															√							−					−
tg t		0								1							3											0				0
			3
				√														√
		−															3											−				−
ctg t			3							1															0				0
																	3

14

Глава III. Тождественные преобразования

[И.В. Гридасова

П.А. Машаров] § 6. Тригонометрия 15

6.3. Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

sin2 α + cos2 α = 1, α R;

sin α

π

tg α =

, α

=

+ πn, n Z;

cos α

2

ctg α =

cos α

, α = πn, n Z;

tg α · ctg α = 1, α =

πn

, n Z;

sin α

2

(6.1)

1 + tg2 α =

1

, α =

π

+ πn, n Z;

cos2 α

2

1 + ctg2 α =

1

, α = πn, n Z.

sin2 α

Формулы сложения

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;

cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β;

tg(α

±

β) =

tg α ± tg β

,

α, β, (α

±

β) =

π

+ πn, n

Z;

(6.2)

2

1

tg α

·

tg

β

ctg(α

±

β) =

ctg α · ctg β 1

, α, β, (α

±

β) = πn, n

Z.

ctg β

±

ctg α

Формулы двойного аргумента

cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α; sin 2α = 2 sin α · cos α;

tg 2α =

2 tg α

, α =

π

+ πn, α =

π

Z;

+ πn, n

(6.3)

1 − tg2 α

2

4

ctg 2α =

ctg2 α − 1

, α =

πn

, n

Z.

2 ctg α

2

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

	·		1			−
sin α		cos β =	1		sin(α		β) + sin(α + β) ;
			2
	·					−		−
sin α		sin β =	1							(6.4)
			2		cos(α		β)		cos(α + β) ;

cos α · cos β =

cos(α − β) + cos(α + β) .

2

Формули половинного аргумента (понижения

степени).

|cos α| =

;

|sin α| =

;

2

−

2

1

+ cos 2α

1

cos 2α

|

|

1 + cos 2α

2

1

+ cos 2α

tg α

=

1

− cos 2α

, tg

α =

sin 2α

, α =

π

+ πn, n

Z;

tg α =

1 − cos 2α

, α =

πn

, n

Z;

(6.5)

sin 2α

2

|ctg α| =

1

− cos 2α, ctg α = 1 − cos 2α, α = πn, n Z;

1

+ cos 2α

sin 2α

ctg α =

1 + cos 2α

, α =

πn

Z.

, n

sin 2α

2

16

Глава III. Тождественные преобразования

[И.В. Гридасова

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

cos α =

1 − tg2 α2

;

sin α =

2 tg α2

, α =

π + 2πn, n

Z

;

1 + tg2 α2

1 + tg2

α2

2 tg α2

π

(6.6)

tg α =

, α = π + 2πn, α =

+ πn, n Z;

1 − tg2 α2

2

ctg α =

1 − tg2 α2

, α = πn, n

Z

.

2 tg α2

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

sin α + sin β = 2 sin

α + β

·

cos

α − β

;

2

2

sin α

−

sin β = 2 sin

α − β

·

cos

α + β

;

2

2

cos α + cos β = 2 cos

α + β

·

cos

α − β

;

2

2

(6.7)

cos α

−

cos β =

−

2 sin

α + β

·

sin

α − β

;

2

2

tg α

tg β =

sin(α ± β)

, α, β =

π

+ πn, n

Z;

±

cos α

·

cos β

2

ctg α

±

ctg β =

sin(β ± α)

, α, β = πn, n Z.

sin α

·

sin β

6.4. Формулы приведения

применяют для преобразования тригонометрических

πk

Z) к тригонометрической функции от аргу-

функций от аргумента вида 2 ± α (k

мента α.

Таблица 6.2: Формулы приведения

Функция

Аргумент α .

π2 − α

π2 + α

π − α

π + α

3π

− α

3π

+ α

2π − α

2π + α

2

2

sin α

cos α

cos α

sin α

−

sin α

−

cos α

−

cos α

−

sin α

sin α

cos α

sin α

−

sin α

−

cos α

−

cos α

−

sin α

sin α

cos α

cos α

tg α

ctg α

− ctg α

− tg α

tg α

ctg α

− ctg α

− tg α

tg α

ctg α

tg α

−

tg α

−

ctg α

ctg α

tg α

−

tg α

−

ctg α

ctg α

Сформулируем правила, благодаря которым нет необходимости запоминать приведенную таблицу. Пусть β = πk2 , k Z, то есть точка Pβ находится в одной из точек (±1; 0) или (0; ±1), f — одна из тригонометрических функций, g — отличная от f в паре sin − cos, tg − ctg (иногда ее называют кофункцией). Тогда f(β + α) = знак·h(α), где знак соответствует знаку функции f(β+ε) при ε (0, π/2), а функция h равна f (не меняется) если Pβ {(±1; 0)}, и равна g (меняется на кофункцию) если

Pβ {(0; ±1)}.

П.А. Машаров] § 7. Упражнения к теме: ”Тождественные преобразования” 17

6.5. Обратные тригонометрические функции. Арксинусом числа a [−1, 1]

называется угол (число) t из промежутка

π

;

π

, синус которого равен a. То есть

−

2

2

arcsin a = t

означает, что

t

−2

2

и

=

. Арккосинусом числа

a

[−1

,

1]

t

π;

π

sin t

a

называется угол (число)

из

промежутка

0; π , косинус которого равен a. То есть

. Арктангенсом числа

называется

arccos a = t означает, что t

0; π

и cos t =

a

−

2

2

и

.

a

, тангенс которого равен a. То есть arctg a = t

угол (число) t из промежутка

π; π

означает, что t

π; π

−

2

2

tg t = a

Арккотангенсом числа a называется угол (число)

t

0;

и ctg

.

,

котангенс которого равен a. То есть arcctg a = t означает, что

0;

π

из промежутка

t

π

t = a

Отметим основные соотношения для обратных тригонометрических функций.

При a [−1; 1]:

sin(arcsin a) = a,

cos(arccos a) = a;

arcsin(−a) = − arcsin a,

(6.8)

arccos(−a) = π − arccos a;

arcsin a + arccos a =

π

.

2

При a R:

tg(arctg a) = a,

ctg(arcctg a) = a;

arctg(−a) = − arctg a,

arcctg(−a) = π − arcctg a;

arctg a + arcctg a =

π

(6.9)

.

2

Для указанных далее α:

− π

π

(6.10)

arcsin(sin α) = α, α

π

;

π

;

arccos(cos α) = α, α

0; π ;

2

2

arctg(tg α) = α, α −

;

;

arcctg(ctg α) = α, α 0; π .

2

2

§7. Упражнения к теме: ”Тождественные преобразования”

1.Разложите на множители методом выделения полного квадрата двучлена и решите уравнения.

a) x2 − 6x + 8 = 0;	b) x2 − x − 2 = 0;
c) 5x2 + 3x − 2 = 0;	d) 3x2 + 5x − 2 = 0
2. Найдите частное и остаток от деления многочлена
a) x3 − 3x2 + 7x − 8 на x − 1;	b) x4 + 3x2 − 5x + 1 на x + 2;

c) 2x5 − 6x4 + 3x3 − 2 на x2 − x − 2; d) x4 + 5x3 − 6x + 1 на x2 − 3x + 1.

3. Выделите целую часть из дробно-рационального выражения.

a)

3x2 − 6x + 7

;

b) x3 −22x2 + 7x + 5 ;

c) 2x − 1

;

x + 1

x − 4x + 2

3x + 1

5x

2

+ 3

2

5

d)

;

e) x

+ 4x + 3 ;

f) x

+ 1 .

x

2

+ x + 1

9 − x

2

x + 1

18

Глава III. Тождественные преобразования

[И.В. Гридасова

4. Внесите множитель под знак корня.

a)

√

√

√

3 3;

b) a 2;

c)

a

−a

;

d) (n − 2)

2 − n

;

e) 2 · √18;

f) −3√5.

1

1

5. Вынесите множитель из-под знака корня.

a)

√

;

b) √

;

c)

√

;

a3

ab6

a7b

d)

√

;

e)

;

f)

√4

.

8a2b7c9

a2b/9c4

−a4b5

6. Представьте выражение в виде степени с основанием x.

x 6

x√5 x

.

a) x ·

x√3

x;

b) x2 3 x4 x√x;

c) x2

3 x · √5 x2

7. Разложите на множители.

a) 4a2 +15x−9x2 +10a;

b) (2 + x)4 − 16; c) b2c2 − 4bc − b2 − c2 + 1;

d) x4 + 1;

e) x4 + x2 + 1;

f) (3a −5b)2 −6a(3a −5b) + 9a2;

g) x3 + 3x2 + x − 4;

h) x4 − 1;

i) 16x2 − 25y2 − 24ax + 9a2.

8. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

m√

1

1

1, 5 + 3, 5

n

a)

n√

;

b) √

+ √

+ √

√

−

√

(вычислите);

m

7

5

5

−

3

2

x

1

c)

√

√

;

d)

√3

√3

.

1 − x −

1 − 2x

1 − x + 1 + x

9. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяет

условию:

a) x2 + y2 = 4;

b) (x−2)2+(y+2)2 = 1;

c) x2 + y2 − 2x = 0;

d) x2 + y2 − x + y = 0;

e) xy = 1;

f) |x| + |y| = 1.

10. Упростите выражение.

a) 64a3

−

b3

: 16a2

+ 4ab + b2 ;

b)

x4 + x3 + x2 + x + 1

x2

−

x + 1

;

2

2

2

5

−

−

−

3

(4a

b)

b

16a

|b − 1|

x

1

− x + 1

a + b

a

a

+ b b

1

+ 2

2

;

d)

− b ;

c) m + b

m

m

b

| −

|1

a

·

b−a + b

b − 2 + b

m

b

−m + b

√

√

√

√

e)

3

+ 2

5

7

9

a b

a b − 2

a b − a b, где a < 0, b < 0;

f)

1

+

1

+

1

+

1

+

1

;

x(x + 1)

(x + 1)(x + 2)

(x + 2)(x + 3)

(x + 3)(x + 4)

(x + 4)(x + 5)

g)

1

1

a1,5 0,5a0,5

;

a2 − 4a + 4 − a

−

a2 − 4a + 4 + a

·

a−

−

1 − 4

h)

+ 3

·

+

4 ;

2a − 3√a + 1 − 2√a − 1

6 − √4a

a

2a

5√a

√a

√a